幾何概型（第一課時(shí)）

1、問(wèn)題問(wèn)題2 2：若：若A=(0,9, ,則從則從A中任意取出一個(gè)數(shù)中任意取出一個(gè)數(shù), ,這這個(gè)數(shù)不大于個(gè)數(shù)不大于3的概率是多少？的概率是多少？ 它們的相同點(diǎn)它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)分別和不同點(diǎn)分別是什么？是什么？怎樣求問(wèn)題怎樣求問(wèn)題2 2的概率？的概率？一、自主探究一、自主探究問(wèn)題問(wèn)題1：若若A=1,2,3,4,5,6,7,8,9, ,則從則從A中任取出中任取出一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù), ,這個(gè)數(shù)不大于這個(gè)數(shù)不大于3的概率是多少？的概率是多少？問(wèn)題問(wèn)題3 3：取一根長(zhǎng)度為：取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，如果拉直后在的繩子，如果拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 1

2、m的的概率有多大概率有多大? ?解：記解：記“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m”為事件為事件A. .把繩子三等分把繩子三等分, ,于是當(dāng)剪斷位置處在中于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時(shí)間一段上時(shí), ,事件事件A發(fā)生發(fā)生. .由于繩子上各由于繩子上各點(diǎn)被剪斷是等可能的，且中間一段點(diǎn)被剪斷是等可能的，且中間一段的長(zhǎng)等于繩子的的長(zhǎng)等于繩子的 ，即，即 . .31)( AP31的的區(qū)區(qū)域域長(zhǎng)長(zhǎng)度度實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)的的全全部部結(jié)結(jié)果果所所構(gòu)構(gòu)成成的的區(qū)區(qū)域域長(zhǎng)長(zhǎng)度度構(gòu)構(gòu)成成事事件件 AAP )(二、合作探究二、合作探究答：剪得兩段的長(zhǎng)都不小于答：剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率為的概率為 .31問(wèn)題問(wèn)題4

3、 4：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)。從外向：射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色得分環(huán)。從外向內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色。金色靶內(nèi)為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色。金色靶心叫心叫“黃心黃心”. .奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑為奧運(yùn)會(huì)射箭比賽的靶面直徑為122cm，靶心直徑為靶心直徑為12.2cm. .運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭外射箭. .假設(shè)射箭都假設(shè)射箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？中黃心的概率為多少？解：記解：記“射中黃心射中黃心”為事件為事件A，則，則答：射中黃心的概率為答：射中黃心的概率為0.0

4、1. . 的的區(qū)區(qū)域域面面積積試試驗(yàn)驗(yàn)的的全全部部結(jié)結(jié)果果所所構(gòu)構(gòu)成成的的區(qū)區(qū)域域面面積積構(gòu)構(gòu)成成事事件件 AAP 01. 0122412 .1241)(22 AP問(wèn)題問(wèn)題5 5：有一杯：有一杯1 1升的水升的水, , 其中含有其中含有1 1個(gè)細(xì)菌個(gè)細(xì)菌, , 用用一個(gè)小杯從這杯水中取出一個(gè)小杯從這杯水中取出0.10.1升升, , 求小杯水中含求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率有這個(gè)細(xì)菌的概率. .解：記解：記“小杯水中含有這小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌個(gè)細(xì)菌”為事件為事件A, ,事件事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率 1 . 011 . 0)( 杯杯中中所所有有水水的的體體積積取取出出水水的的體體積積AP 的的區(qū)

5、區(qū)域域體體積積試試驗(yàn)驗(yàn)的的全全部部結(jié)結(jié)果果所所構(gòu)構(gòu)成成的的區(qū)區(qū)域域體體積積構(gòu)構(gòu)成成事事件件AAP 答：小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為答：小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率為0.1. .（2 2）試驗(yàn)的概率是如何求得的？）試驗(yàn)的概率是如何求得的？（1 1）類比古典概型）類比古典概型, ,談?wù)勅齻€(gè)試驗(yàn)有什么共同點(diǎn)？談?wù)勅齻€(gè)試驗(yàn)有什么共同點(diǎn)？探究：探究： 借助幾何圖形的借助幾何圖形的長(zhǎng)度、面積、體積的比值長(zhǎng)度、面積、體積的比值分分 析事件析事件A發(fā)生的概率發(fā)生的概率. .1.1.試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè)；基本事件有無(wú)限多個(gè)；2.2.每個(gè)基本事件的發(fā)生都是每個(gè)基本事件的發(fā)生都是

6、等可能的等可能的. . 設(shè)設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、是一個(gè)可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等）。每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域立體圖形等）。每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣；隨機(jī)事件隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個(gè)內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域指定區(qū)域d中的點(diǎn)。中的點(diǎn)。 這時(shí)，事件這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與發(fā)生的概率與d的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，與體積等）成正比，與d的形狀和位置無(wú)關(guān)的形狀和位置無(wú)關(guān). .我們把滿足我們把滿

7、足這種條件的概率模型稱為這種條件的概率模型稱為幾何概型幾何概型. .在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率計(jì)算公式為的概率計(jì)算公式為三、建構(gòu)數(shù)學(xué)三、建構(gòu)數(shù)學(xué)()dP AD 的的測(cè)測(cè)度度的的測(cè)測(cè)度度(2(2)“)“測(cè)度測(cè)度”的意義依的意義依D確定；確定；說(shuō)明說(shuō)明：(1(1) ) D的測(cè)度不能為的測(cè)度不能為0；(3) (3) 事件發(fā)生的概率與事件發(fā)生的概率與d的形狀和位置無(wú)關(guān)的形狀和位置無(wú)關(guān). .例例1.1.取一個(gè)長(zhǎng)為取一個(gè)長(zhǎng)為2a的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)的正方形及其內(nèi)切圓，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率率. .四、數(shù)學(xué)運(yùn)用四、數(shù)學(xué)運(yùn)用

8、(1)(1)豆子落在正方形內(nèi)的每一點(diǎn)都是一豆子落在正方形內(nèi)的每一點(diǎn)都是一個(gè)基本事件個(gè)基本事件；分析分析: :(2)(2)由于是隨機(jī)地丟豆子，所以基本事由于是隨機(jī)地丟豆子，所以基本事件有無(wú)限個(gè)，且每個(gè)基本事件的發(fā)生件有無(wú)限個(gè)，且每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的；都是等可能的；(3)(3)正方形區(qū)域可視為區(qū)域正方形區(qū)域可視為區(qū)域D，圓形區(qū)，圓形區(qū)域可視為區(qū)域域可視為區(qū)域d. .例例2.2.在在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中取出的種子，從中取出10mL，含有麥銹病種子的概，含有麥銹病種子的概率是多少？率是多少？解：記解：記“取出取出10mL麥種，其中含

9、有病種子麥種，其中含有病種子”為事件為事件A，麥銹病種子在這麥銹病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機(jī)的，種子中的分布可以看做是隨機(jī)的，取得的取得的10mL種子可視為區(qū)域種子可視為區(qū)域d，所有種子可視為區(qū)域，所有種子可視為區(qū)域D. . 則有則有1001100010)( 所有種子的體積所有種子的體積取出種子的體積取出種子的體積AP答：含有麥銹病種子的概率是答：含有麥銹病種子的概率是 . .1001例例3.3.在直角三角形在直角三角形ABC中，中，CAB=60，在斜邊在斜邊AB上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)M, ,求求AM小于小于AC的概率的概率. . ABCC在在AB上截取上截取AC=AC. .當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)

10、M位于線段位于線段AC內(nèi)，內(nèi)，AMAC，故線段故線段AC即為區(qū)域即為區(qū)域d，于是，于是 由于點(diǎn)由于點(diǎn)M隨機(jī)地落在線段隨機(jī)地落在線段AB上，故可以認(rèn)為點(diǎn)上，故可以認(rèn)為點(diǎn)M落在落在線段線段AB上任一點(diǎn)是等可能的，可將線段上任一點(diǎn)是等可能的，可將線段AB 看做區(qū)域看做區(qū)域D. .解：記解：記“在斜邊在斜邊AB上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)M，AMAC”為事件為事件A, , 21)( ABACABCAAP答：答：AM小于小于AC的概率為的概率為 . .21確定區(qū)域確定區(qū)域d的關(guān)鍵是的關(guān)鍵是確定臨界位置！確定臨界位置！M變式：在上一題構(gòu)造的直角三角形變式：在上一題構(gòu)造的直角三角形ABC的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上, ,過(guò)直過(guò)直角頂點(diǎn)角頂點(diǎn)C在在ACB內(nèi)部任作一條射線內(nèi)部任作一條射線CM, ,與線段與線段AB交交于點(diǎn)于點(diǎn)M, ,求求AMAC的概率的概率. M在在AB上截取上截取AC=AC,則則ACC=60. 由于射線由于射線CM隨機(jī)地落在隨機(jī)地落在ACB內(nèi)內(nèi)部部, ,故可以認(rèn)為射線故可以認(rèn)為射線CM落在落在ACB內(nèi)部任一位置都是等可能的內(nèi)部任一位置都是等可能的. .解：記解：記“在在ACB內(nèi)部任作一內(nèi)部任作一條射線條射線CM, ,與線段與線段AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)M ，AMAC”為事件為事件A, , ABCC329060)( ACBCACAP答：這時(shí)答：這時(shí)AM小于小于AC的概率為的概率為 . 321. 1.