平面向量中的三角形四心問題

1、平面向量中的三角形四心問題向量是高中數(shù)學(xué)中引入的重要概念，是解決幾何問題的重要 工具。本文就平面向量與三角形四心的聯(lián)系做一個歸納總結(jié)。在給出結(jié)論及證明結(jié)論的過程中， 可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對稱性與推論的 相互關(guān)系。一、重心(barycenter)三角形重心是三角形三邊中線的交點。重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2: 1。在重心確定上，有著名的帕普斯定理結(jié)論1 :若G為ABC所在平面內(nèi)一點，則GAG是三角形的重心證明：設(shè)BC中點為D,則2GD GBGA GB GC 0 GA GB GCGA 2GD,這表明，G在中線AD上同理可得G在中線BE,CF上故G為ABC的重心i結(jié)論2:1 右P為 AB

2、C所在平面內(nèi)一點，則 PG (PA PB PC)3G是ABC的重心、一 rr -1 -證明：PG -(PA PB PC) (PG PA) (PG PB) (PG PC) 0 3GA GB GC 0G是ABC的重心二、垂心(orthocenter)三角形的三條高線的交點叫做三角形的垂心o結(jié)論3:HB HCHC HA若H為ABC所在平面內(nèi)一點，則HA HBH是ABC的垂心證明：HA HB HB HC HB >ItHB AC 0 HB AC 同理，有 HA CB,HC AB 故H為三角形垂心結(jié)論4:- 222 2 22若H為 ABC所在平面內(nèi)一點，貝U HA BC HB AC HC ABH是A

3、BC的垂心2 2- 2 p 22, 2, 2一 - -證明：由 HA BC HB CA 得,HA (HB HC)2 HB (HC HA)2HB HC HC HA同理可證得，HA HB HB HC HC HA由結(jié)論3可知命題成立三、夕卜心(circumcenter)三角形三條邊的垂直平分線(中垂線)的相交點。用這個點 做圓心可以畫三角形的外接圓。結(jié)論5:若。是ABC所在平面內(nèi)一點，則OA OB OC O是ABC的外心結(jié)論6:證明：由外心定義可知 命題成立若O是ABC所在平面內(nèi)一點，則 *Ar«-R-ib-*(OA OB) BA (OB OC) CB (OC OA) AC O是ABC的外

4、心7證明：(OA OB) BA (OA OB)(OA OB)F 2(Ob OC) cb Ob 2Oc(OC OA) AC, .,2 2 故 OA OB 2OCK 2OB.2 OC.2 OCOA2OB OC故O為ABC的外心四、內(nèi)心(incenter)三角形三條內(nèi)角平分線的交點叫三角形的內(nèi)心。即內(nèi)切圓的圓心。結(jié)論7:若P為ABC所在平面內(nèi)一點，則OP OAAB ACOBBABCOCCACBCB0)P是ABC的內(nèi)心BCCA證明：記AB,AC方向上的單位向量分別 為e1,e2OP OA 1ABACAP1 (e1 e2)& e2)在AB, AC邊夾角平分線上C的平分線上DA 即產(chǎn)iDB由平行四邊形法則知, 即P在A平分線上 同理可得，P在B, 故P為ABC的內(nèi)心結(jié)論8:若P是 ABC所在平面內(nèi)一點，則 aPA bPB cPC 0 P是ABC的內(nèi)心證明：不妨設(shè)PD PCaPA bPB cPC 0 a(PD DA) b(PD DB) cPC 0 (abc)PC(aDAbDB)0由于PC與D