02-07邊界約束的處理

1、§ 2-7邊界約束的處理一、邊界約束 由于總體剛度矩陣是一個(gè)奇特矩陣，在求得總剛矩陣和總體載荷列陣之后，仍不能立刻求解整體節(jié)點(diǎn)平穩(wěn)方程組；從數(shù)學(xué)上講，此時(shí)的總剛矩陣無逆矩陣，方程組沒有確定的解；從其物理意義來說，是由于整個(gè)結(jié)構(gòu)未引入邊界約束，為一自由結(jié)構(gòu)，對(duì)于一個(gè)定常力系的作用，沒有定常的位移；因此，為進(jìn)一步解得結(jié)構(gòu)位移，必需引入足夠的幾何邊界約束，以排除結(jié)構(gòu)的剛體位移；對(duì)于同一結(jié)構(gòu)， 在受相同載荷的條件下，由于不同的邊界約束，求得的結(jié)構(gòu)位移、應(yīng)力等會(huì)大不相同；因此，引入正確的邊界條件是獲得較高精度解的前提； 依據(jù)結(jié)構(gòu)的實(shí)際情形，離散顯現(xiàn)的邊界約束大致可分為如下三種：1基礎(chǔ)剛性支承大

2、多數(shù)結(jié)構(gòu)要支承在基礎(chǔ)上；當(dāng)基礎(chǔ)的剛性很大時(shí)，依據(jù)不同的支承類型，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)和基礎(chǔ)相連的節(jié)點(diǎn)的一個(gè)或幾個(gè)方向的自由度受到了限制，即位移重量為零；如一簡(jiǎn)支梁，可以認(rèn)為其支承點(diǎn)處的一個(gè)或二個(gè)方向的位移重量為零；2對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱部分支承當(dāng)結(jié)構(gòu)和外載荷均對(duì)稱于某些軸線時(shí)，為削減工作量或提高運(yùn)算精度，可只運(yùn)算結(jié) 構(gòu)的 1/2或 1/4 ；此時(shí)，為保持原有結(jié)構(gòu)特性，要在對(duì)稱剖分面的節(jié)點(diǎn)上施加垂直于剖分面的剛性約束，以限制該方向的位移；如軋機(jī)機(jī)架；3答應(yīng)產(chǎn)生給定位移的支承由于結(jié)構(gòu)本身或安裝的需要，在支承和結(jié)構(gòu)之間存在給定的間隙，在結(jié)構(gòu)受到實(shí)際約束之前，此節(jié)點(diǎn)處答應(yīng)產(chǎn)生該距離的位移；如高爐下降管的余外支承；

3、從數(shù)學(xué)意義上來講，上述三種支承 幾何約束 可以歸納為零位移約束和給定位移約束二種，而前者就又是后者的一個(gè)特例；二、邊界約束的處理依據(jù)邊界約束的類型及后續(xù)處理方法和要求的不同，邊界約束處理大致采納如下方法：1. 劃行劃列法 這種方法適用于預(yù)定邊界位移為零的約束條件；1 具體做法： 在用矩陣表示的線性方程組中，劃去相應(yīng)于己知為零的節(jié)點(diǎn)位移重量的行和列，以排除剛度位移；如圖 2-13所示的單元組合體，其邊界條件為u1u 2u4v4v5v60 ，足以排除結(jié)構(gòu)的剛體位移； 處理時(shí)，就是將以上各為零位移重量相應(yīng)的行與列劃掉，這樣，原先 12 階的線性方程組及其 12× 12 階的總體剛度矩陣，就

4、變成了 6 階的線性方程組及其 6× 6 階的總體剛度矩陣，即k11k 21k 31k310k 22k 32k 32k 52k 33k 33k 53對(duì)k 33k 53稱k 55v1r1 yv20u30v40u5000k 63k 63k 65k 66u60 這樣約束處理是必要的；（ 1）由于總體剛度矩陣在約束處理前是一個(gè)奇特矩陣，而經(jīng)過約束處理劃掉某幾行和幾列后變?yōu)榉瞧嫣鼐仃嚕醇s束處理后的總體剛度矩陣的行列式不等于零；（ 2）另外，假如不進(jìn)行約束處理，那么包括在總體節(jié)點(diǎn)載荷列矩陣中的約束反力必需事先求出，作為已知節(jié)點(diǎn)載荷；然而，對(duì)于外形較復(fù)雜一點(diǎn)的單元組合體，在高次超靜定情形下，約束

5、反力很難求出；經(jīng)過約束處理后，在劃去總體節(jié)點(diǎn)位移列矩陣與總體剛度矩陣中相應(yīng)于已知節(jié)點(diǎn)位移重量為零行與列的同時(shí)，總體節(jié)點(diǎn)載荷列矩陣中未知的約束反力的行也都被劃掉；這樣一來，無論次數(shù)多高的超靜定問題，約束反力都不必事 先求出； 這種約束處理也是可行的；（ 1）由于線性方程組是由各節(jié)點(diǎn)平穩(wěn)方程建立起來的，而方程組的未知量就是節(jié)點(diǎn)位移重量，那么受約束的節(jié)點(diǎn)有一個(gè)或兩個(gè)位移重量已知為零，就不必再去求它，因此該節(jié)點(diǎn)的一個(gè)或兩個(gè)平穩(wěn)方程就可不要，即可以把它們所在的行劃去；（ 2）同時(shí)， 在其它方程中， 與已知零位移重量和相應(yīng)的載荷重量，即相應(yīng)剛度矩陣元素和此位移的乘積也為零，所以該列也可劃去；由此可見 ，劃

6、行劃列的約束處理方法是完全可行的，并不影響運(yùn)算結(jié)果； 劃行劃列約束處理使總體剛度矩陣發(fā)生了兩個(gè)變化：（ 1）總體剛度矩陣的階數(shù)下降；如單元組合體有n 個(gè)節(jié)點(diǎn)和r 個(gè)約束， 就總體剛度矩陣在約束處理前為2n× 2n 階，約束處理后變?yōu)?n-r2n-r階；（ 2）總體剛度矩陣的奇特性發(fā)生變化；約束處理前是奇特矩陣；約束處理后變?yōu)榉瞧?異性矩陣； 而對(duì)總體剛度矩陣的對(duì)稱性，稀疏性和帶形分布等特性并無影響；由2于約束處理時(shí)在劃去某行的同時(shí)劃去同序號(hào)的列，所以總體剛度矩陣仍保持其對(duì)稱性；另外一般單元組合體的r/2n比值是很小的，所以約束處理后總體剛度矩陣仍保持稀疏性和帶形分布的特點(diǎn)； 經(jīng)過約束

7、處理后，所建立起來的線性方程組的個(gè)數(shù)與要求解的未知節(jié)點(diǎn)位移重量的個(gè)數(shù)都是 2n-r個(gè)； 特點(diǎn)：這種處理方法，由于舍棄了相應(yīng)于已知位移重量為零的行與列各元素，這樣就轉(zhuǎn)變了各方程及元素的編排序號(hào)；另外，如是求出各節(jié)點(diǎn)位移 之后，需運(yùn)算約束反力，就需重新運(yùn)算相應(yīng)行中各剛度矩陣元素；以上二點(diǎn)是利用此法在編寫程序時(shí)要留意的；2. 劃 0 置 1 法 適用： 這種方法適用于邊界節(jié)點(diǎn)位移重量為已知 含為 0 的各種約束； 做法：（ 1）將總剛矩陣 k中相應(yīng)于已知位移行主對(duì)角線元素置1，其他元素改為零；同時(shí)將載荷列陣r中相應(yīng)元素用已知位移置換；這樣，由該方程求得的此位移值肯定等于已知量；（ 2）將 k中已知位

8、移相應(yīng)的列的非主對(duì)角成元素也置0，以保持 k的對(duì)稱性；當(dāng)然， 在已知位移重量不為零的情形下，這樣做就轉(zhuǎn)變了方程左端的數(shù)值，為保證方程成立， 須在方程右端減去已知位移對(duì)該方程的奉獻(xiàn)已知位移和相應(yīng)總剛元素的乘積；如約束為零位移約束時(shí)，此步就可省去； 舉例：為具體說明，現(xiàn)舉一具有四個(gè)方程 二個(gè)節(jié)點(diǎn) 的簡(jiǎn)例；其節(jié)點(diǎn)平穩(wěn)方程為k 11k 11k 12k 12k11k11k12k12k 21k 21k 22k 22k 21k 21k 22k 22u1r1 xv1r1 yu2r2 xv2r2 y設(shè)結(jié)構(gòu)在1 點(diǎn)受到約束u 1=1 ,v1 =2 ，就上式中r1 x 、 r1 y 為未知的約束反力；利用劃 0 置

9、 1的約束處理方法，上式變?yōu)?0k 22k 22u21000u10100v1r2 x12k 211k 21 200k 22k22v2r2 yk211k 21 23 特點(diǎn)：（ 1）經(jīng)以上處理同樣可以排除剛性位移 約束足夠的前提下 ，去掉未知約束反力；（ 2）但這種方法不轉(zhuǎn)變方程階數(shù)，利于存貯；（ 3）不過，如是要求出約束反力，仍要重新運(yùn)算各個(gè)劃去的總剛元素；3. 乘大數(shù)法 適用： 這種方法同樣適用于邊界節(jié)點(diǎn)位移重量為已知 含為 0 的各種約束； 做法：（ 1）將整體剛度矩陣中與給定節(jié)點(diǎn)位移相應(yīng)的主對(duì)角線元素乘上一個(gè)大數(shù)，如10 20 ；（ 2）再將方程右端載荷列陣中的相應(yīng)元素用己知位移和該大數(shù)及

10、主對(duì)角線元素的乘積來置換；其余各項(xiàng)均保持不變； 舉例：如上例用此法進(jìn)行約束處理后，節(jié)點(diǎn)平穩(wěn)方程組變成20k 111020k11k 12k12u11 k 111020k11k111020k12k12v12 k1110k 21k 21k21k21k 22k 22k 22u2k 22v2r2 xr2 y 特點(diǎn)：（ 1）使用此一方法，只要大數(shù)選得足夠大，就可保證求得的位移有足夠的精度；（ 2）由于在處理過程中，不失去總剛矩陣的任一行 列 及各個(gè)元素， 便于進(jìn)行程序處理及約束反力運(yùn)算；小結(jié)：經(jīng)過約束處理，最終建立了系數(shù)矩陣正定的2n-r階 劃行劃列法 或是 2n 階 劃零置 1 法和乘大數(shù)法 方程組；三

11、、后續(xù)工作 下一步 即求解此方程組，最終獲得2n-r個(gè)未知的位移重量； 線性方程 的解法有直接法和和迭代法兩大類：直接法的優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算量比較小，所需機(jī)時(shí)短，其中常用的為消元法和矩陣分解法；迭代法具有算法簡(jiǎn)潔，易編制程序，可節(jié)約內(nèi)存等優(yōu)點(diǎn)，適用于求解大題目，但運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)，這種方法要求方程組的系數(shù)矩陣在主對(duì)角線上占優(yōu)勢(shì)；4四、總結(jié)前面各節(jié)， 我們對(duì)平面問題的三節(jié)點(diǎn)三角單元有限單元的位移法，進(jìn)行了比較具體的爭(zhēng)論與分析，下面就將其概括歸納幾點(diǎn)如下：(1) 基本原理；是把連續(xù)彈性體離散為有限個(gè)節(jié)點(diǎn)連接起來的單元組合體， 代替原先的彈性體， 然后通過彈性力學(xué)基本方程與虛功原理建立并求解以節(jié)點(diǎn)位移 為未知量

12、的、以總體剛度矩陣 k 為系數(shù)的線性方程組；(2) 解答特點(diǎn)是近似數(shù)值解；誤差主要反映在連續(xù)彈性體的離散化 包括單元位移函數(shù)的選取 上，但當(dāng)單元尺寸逐步取小時(shí)，有限單元法解答將收斂于正確解答；(3) 解題步驟；依據(jù)有限單元法基本原理和實(shí)際操作，概括地分為兩大步驟：一是連續(xù)彈性體的離散化，其中包括單元?jiǎng)澐?，?jié)點(diǎn)單元的編號(hào)，節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)位置， 載荷移置和約束處理 邊界條件 等，這些工作都需算題人員在上運(yùn)算機(jī)算題之前完成，所以也可稱為上機(jī)前的預(yù)備工作；二是依據(jù)基本原理建立與求解線性方程組k = r；將求得的2n-r個(gè)節(jié)點(diǎn)位移重量，再代入2-18式，即可求得各單元的應(yīng)力重量；經(jīng)過兩次遞代九步循環(huán)解出節(jié)點(diǎn)位移及單元應(yīng)力等，這些工作是按己編制好的程序由運(yùn)算機(jī)來完成，也可稱為上機(jī)運(yùn)算；現(xiàn)將有限單元法解題步驟歸納起來用框圖表示如下；平面問題的有限單元法，仍會(huì)遇到一些其他問題，如溫度應(yīng)力等等，其處理方法， 將在以后章節(jié)中間續(xù)介紹；5上機(jī)前預(yù)備工作1. 建立數(shù)學(xué)模型2. 單元?jiǎng)澐?. 載荷移置4. 約束簡(jiǎn)化兩次迭代、 十一步循環(huán)： 1 單元節(jié)點(diǎn)位移 e 作為未知量， 第一次迭代過程建立線性方程并求解；e2 單元節(jié)點(diǎn)位移 作為已知量， 其次次迭代過程求解單元位移、應(yīng)變、應(yīng)力及約束反力等其它參數(shù)；單元位移模式幾何方程u x, y 12 x3 y