工程數(shù)學(xué)試卷及答案

1、一、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）在每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。2018年1月得分評卷人1某人打靶3發(fā)，事件ai 表示“擊中i發(fā)”，i=0,1,2,3. 那么事件a=a1a2a3表示(      )。 a. 全部擊中.   b. 至少有一發(fā)擊中.  c. 必然擊中   d. 擊中3發(fā)2對于任意兩個隨機(jī)變量x和y，若e(xy)=e(x)e(y)，則有(    )。a. x和y獨(dú)立

2、。 b. x和y不獨(dú)立。c. d(x+y)=d(x)+d(y)   d. d(xy)=d(x)d(y)3下列各函數(shù)中可以作為某個隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的是（ ）。a 。 b. c. d. ，4設(shè)隨機(jī)變量x, y, , 則有（ ）a. 對于任意的, p1=p2 b. 對于任意的, p1 < p2c. 只對個別的，才有p1=p2 d. 對于任意的, p1 > p25設(shè)x為隨機(jī)變量，其方差存在，c為任意非零常數(shù)，則下列等式中正確的是（） ad(x+c)=d(x). b. d(x+c)=d(x)+c. c. d(x-c)=d(x)-c d. d(cx)=cd(x)得分二

3、、填空題（每空3分，共15分）評卷人6 設(shè)3階矩陣a的特征值為-1，1，2，它的伴隨矩陣記為a*， 則|a*+3a2e|= 。7設(shè)a= ，則= 。8設(shè)有3個元件并聯(lián)，已知每個元件正常工作的概率為p，則該系統(tǒng)正常工作的概率為 。9設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則概率 。10設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，則系數(shù) 。得分三、計算題（每小題10分，共50分）評卷人11求函數(shù)的傅氏變換 (這里)，并由此證明：12發(fā)報臺分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號“1”和“0”。由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)出信號“1”時，收報臺未必收到信號“1”，而是分別以概率0.8和0.2收到信號“1”和“0”；同時，當(dāng)發(fā)

4、出信號“0”時，收報臺分別以概率0.9和0.1收到信號“0”和“1”。求（1）收報臺收到信號“1”的概率；（2）當(dāng)收報臺收到信號“1”時，發(fā)報臺確是發(fā)出信號“1”的概率。13設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率函數(shù)是求：（1）常數(shù)c；（2）概率p(xy )；（3）x與y相互獨(dú)立嗎？請說出理由。14將n個球隨機(jī)的放入n個盒子中去，設(shè)每個球放入各個盒子是等可能的，求有球盒子數(shù)x的數(shù)學(xué)期望。15設(shè)一口袋中依此標(biāo)有1，2，2，2，3，3數(shù)字的六個球。從中任取一球，記隨機(jī)變量x為取得的球上標(biāo)有的數(shù)字，求(1)x的概率分布律和分布函數(shù)。(2)ex得分四、證明題（共10分）評卷人16.設(shè)a=(a1,a2,an)t，a1

5、0,其長度為a，又a=aat,(1) 證明a2=a2a；(2) 證明a是a的一個特征向量，而0是a的n-1重特征值；(3) a能相似于對角陣嗎？若能,寫出對角陣.得分五、應(yīng)用題（共10分）評卷人17.設(shè)在國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量x是隨機(jī)變量,它在2000,4000( 單位：噸 )上服從均勻分布，又設(shè)每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但假如銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、 選擇題（每小題3分，共15分）1b2c3d4a5a 二、 填空題（每小題3分，共15分）6. 9 7. 1 8. 1(1p)3

6、 9. 3/4 10. 12三、計算題（每題10分，共50分）11.解答：函數(shù)f(t)的付氏變換為：f(w)= （3分） = (2分)由付氏積分公式有f(t)=f(w)= (2分) = = （2分）所以 （1分）12.解答: 設(shè) a1=“發(fā)出信號1”，a0=“發(fā)出信號0”，a=“收到信號1” （2分）(1)由全概率公式 （1分）有 p(a)=p(a|a1)p(a1)+p(a|a0)p(a0) （2分） =0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分）(2)由貝葉斯公式 （1分）有 p(a1|a)=p(a|a1)p(a1)/ p(a) （2分） =0.8x0.6/0.52=12/13 （1

7、分）13.解答:(1) 由聯(lián)合概率密度的性質(zhì)有即 （2分）從而 c=8 （2分）(2) （2分）(3) 當(dāng)x>0時， （2分）當(dāng)x<=0時, 同理有 （1分）因 故x與y相互獨(dú)立 （1分）14.解答：設(shè) i =1,2,n (2分)則 (1分)因 (2分) (2分)因而 (2分)所以 (2分)15.解答：（1）隨機(jī)變量的取值為1，2，3。 （1分）依題意有： （3分）的分布函數(shù) （1分）由條件知：當(dāng)時， （1分） 當(dāng)時， （1分）當(dāng)時， （1分）當(dāng)時， （1分）（2）ex=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6 （1分）四、證明題（共10分）(1) a2=aat·aat=ata ·aat =a2a （2分）(2)因 aa= aat ·a=ata·a= a2a （2分）故a是a的一個特征向量。又a對稱，故a必相似于對角陣 （1分）設(shè)a diag(1,2,n)=b, 其中1,2,n是a的特征值 (1分)因rank(a)=1, 所以 rank(b)=1 (1分)從而1,2,n中必有n-1個為0, 即0是a的n-1重特征值 （1分）(3) a對稱，故a必相似于對角陣，=diag(a2, 0,0) (2分)五、應(yīng)用題（共10分）解答:設(shè)y為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，這個數(shù)量可只介于2000與4000之間