第十一章函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、第十一章第十一章 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 通項(xiàng)為函數(shù)的級數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)通項(xiàng)為函數(shù)的級數(shù)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù).1 函數(shù)序列的一致收斂性函數(shù)序列的一致收斂性1.概念概念定義定義. 設(shè)設(shè) 是定義在是定義在 上的函上的函數(shù)數(shù), 并假定并假定 , 有極限有極限, 記記這時稱這時稱 在在 上逐點(diǎn)收斂上逐點(diǎn)收斂(或簡稱收斂或簡稱收斂)于于 , 稱稱 為極限函數(shù)為極限函數(shù).( )(, ,)nfx n 1 21 2 xxx ( )nfx( )lim( ).nnf xfx ( )nfxx( )f x( )f x 假定假定 在在 上逐點(diǎn)收斂于上逐點(diǎn)收斂于 .我們將討論下列問題我們將討論下列問題(1) 如果如果 , 在在

2、連續(xù)連續(xù), 那么那么 是否是否 在在 連續(xù)連續(xù)?(2) 如果如果 , 在在 可積可積, 那么是否那么是否 也可積也可積, 并有并有(3) 如果如果 , 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 那么那么 是否是否 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 并有并有( )nfxx( )f x( )nfx( )f x( )nfxn x0 0 x0 0n , a b( )f xlim( )lim( )( )?bbbnnaaannfx dxfx dxf x dxn ( )nfx( )f xx0 0 x0 0/()lim()?nnfxfx 00002.函數(shù)序列的一致收斂性函數(shù)序列的一致收斂性定義定義. 給定給定 . , 是定義在是定義在 上的上的函數(shù)

3、函數(shù), 又設(shè)又設(shè) 也是也是 上函數(shù)上函數(shù). 若若 ,使得當(dāng)使得當(dāng) 時時, , 都有都有則稱當(dāng)則稱當(dāng) 時時, 在在 上一致收斂于上一致收斂于 .( )nfxn ( )nfxx( )f xx, n 0 0nn xx ( )( )nfxf x n ( )nfxx( )f x注注. 一致收斂性與函數(shù)所涉及的集合有關(guān)一致收斂性與函數(shù)所涉及的集合有關(guān). 同同一序列與同一極限函數(shù)一序列與同一極限函數(shù), 可能在一個集合上一可能在一個集合上一致收斂致收斂, 但在較大的集合上不一致收斂但在較大的集合上不一致收斂.定義定義. 設(shè)設(shè) 是一個開區(qū)間或半開半閉區(qū)間是一個開區(qū)間或半開半閉區(qū)間, 是定義在是定義在 上的函數(shù)序

4、列上的函數(shù)序列. 若若 在在 中的任意一個閉子區(qū)間中的任意一個閉子區(qū)間 上一致收上一致收斂斂, 則稱則稱 在在 中內(nèi)閉一致收斂中內(nèi)閉一致收斂.x( )nfxx( )nfxx , a b( )nfxx定理定理1.1.(m-判別法或判別法或weierstrass判別法判別法) 設(shè)設(shè) 是定義在是定義在 上函數(shù)序列上函數(shù)序列. 又設(shè)又設(shè) 是定義在是定義在 上函數(shù)上函數(shù). 若存在數(shù)列若存在數(shù)列 , 滿足滿足且使得且使得則則 在在 上一致收斂于上一致收斂于 .( )nfxx( )f xxnm(, ,),lim,nnnmnm01 2001 20( )( ),nnfxf xmxxn x( )nfx( )f x

5、 若若 , 使得當(dāng)使得當(dāng) 時時, , 都有都有則當(dāng)則當(dāng) 時時, 在在 上一致收斂于上一致收斂于 ., n 0 0nn xx ( )( )nfxf x n ( )nfxx( )f x 定理定理1.2. 設(shè)設(shè) 是一個開區(qū)間或半開半閉區(qū)間是一個開區(qū)間或半開半閉區(qū)間.若若 在在 上一致收斂于上一致收斂于 , 且且 在在 連續(xù)連續(xù), 則則 在在 連續(xù)連續(xù) . xxx( )nfx( )f x( )nfx(, ,)n 1 21 2 ( )f xx定理定理1.3. 若若 在在 連續(xù)連續(xù), 且且 在在 一致收斂于一致收斂于 , 則則( )(, ,)nfx n 1 21 2 ( )nfx , a b , a b(

6、 )f xlim( )lim( )( )bbbnnaaannfx dxfx dxf x dx注注. 若若 在在 可積可積, 且且 在在 一致收斂于一致收斂于 , 則則 在在 可積可積, 且且( )(, ,)nfx n 1 21 2 ( )nfx , a b , a b( )f xlim( )lim( )( )bbbnnaaannfx dxfx dxf x dx , a b( )f x定理定理1.4. 若若 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 在在 連續(xù)連續(xù), 且且 在在 內(nèi)閉一致收內(nèi)閉一致收斂于連續(xù)函數(shù)斂于連續(xù)函數(shù) , 而而 在在 收斂于收斂于 , 則則 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且/( )(, ,)nfx n 1

7、21 2 /( )nfx( , )a b( , )a b( )g x( )nfx( , )a b( )nfx( , )a b( )f x( )f x( , )a b/( )( )lim( ).nnfxg xfx定理定理1.5.(cauchy收斂原理收斂原理) 在在 一致收斂的充要條件是一致收斂的充要條件是: 當(dāng)當(dāng) 時時, ( )nfxx,n 0 0nn ,pxx ( )( ).n pnfxfx 定義定義. 設(shè)設(shè) 是定義在是定義在 上函數(shù)上函數(shù), 令令( ),( )nfxf xx sup( )( ) :nnfffxf xxx2 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)1.概念概念定義定義. 設(shè)設(shè) 是定義在是定義在

8、上的函數(shù)序列上的函數(shù)序列. 稱作函數(shù)項(xiàng)級數(shù)稱作函數(shù)項(xiàng)級數(shù).稱為稱為 的部分和函數(shù)的部分和函數(shù).( )( )( )nnuxu xux 12121 1 ( )nuxx( )( )nnkksxux 1 1( )nnux 1 1 若若 使得使得 收斂收斂, 則稱則稱 為收為收斂點(diǎn)斂點(diǎn); 而若而若 發(fā)散發(fā)散, 則稱則稱 為發(fā)散點(diǎn)為發(fā)散點(diǎn).xx 0 0()nnux 0 01 1x0 0()nnux 0 01 1x0 0例例1. 討論討論nnxxx 2 20 01 1注注. 對有限和式對有限和式 .(1) 如果如果 在在 連續(xù)連續(xù), 那么和函數(shù)也連續(xù)那么和函數(shù)也連續(xù).(2) 如果如果 在在 可積可積, 那么

9、和函數(shù)也可那么和函數(shù)也可積積, 并有并有(3) 如果如果 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 那么和函數(shù)也在那么和函數(shù)也在 可導(dǎo)可導(dǎo), 并有并有( )nkkux 1 1i( )kux , a b( )( ).nnbbkkaakkux dxux dx 1111( )kuxxx( )kux/( )( ).nnkkkkuxux 11112.函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性定義定義. 設(shè)設(shè) 都是定義在都是定義在 上函數(shù)上函數(shù). 若若在在 上一致收斂于上一致收斂于 , 則稱則稱 在在 上一致收斂于上一致收斂于 .( )(, ,),( )nux ns x 1 21 2 x( )( )nnkksxux 1 1x(

10、 )s xx( )s x( )nnux 1 1定理定理2.1.(cauchy收斂原理收斂原理) 在在 一致收斂的充要條件是一致收斂的充要條件是: 當(dāng)當(dāng) 時時, ( )nnux 1 1x,n 0 0nn ,pxx ( )( )( ).n pn pnkk nsxsxux 1 1例例3. 證明證明: 在在 一致一致收斂收斂, 但在但在 不一致收斂不一致收斂.( , ), 0 10 1nnx 0 0, (, ) 1 11 1定義定義. 設(shè)設(shè) 是一個開區(qū)間或半開半閉區(qū)間是一個開區(qū)間或半開半閉區(qū)間. 若若 在在 中的任意一個閉子區(qū)間上一致中的任意一個閉子區(qū)間上一致收斂收斂, 則稱則稱 在在 中內(nèi)閉一致收斂

11、中內(nèi)閉一致收斂.xx( )nnux 1 1x( )nnux 1 1定理定理2.2.(m-判別法或判別法或weierstrass判別法判別法) 設(shè)設(shè) 定義在定義在 上上, 又設(shè)存在又設(shè)存在 使得使得若若 收斂收斂, 則則 在在 上一致收斂上一致收斂.( )(, ,)nux n 1 21 2 x( ),.nnuxaxxnn 0 0xn0 0( )nnux 1 1nna 1 1注注. m-判別法只適用于絕對一致收斂的級數(shù)判別法只適用于絕對一致收斂的級數(shù).例例5. 討論討論 , 其中其中 cossinnnnanxbnx 1 1.nnnab 22221 1定義定義. 設(shè)設(shè) 在在 有定義有定義. 若存在若

12、存在常數(shù)常數(shù) , 使得使得則稱則稱 在在 一致有界一致有界.( )(, ,)nfx n 1 21 2 xm 0 0( ),nfxmxxn ( )nfxx定理定理2.3.(abel判別法判別法) 設(shè)設(shè) 定義在定義在 上上. 若若(1) 關(guān)于關(guān)于 單調(diào)單調(diào), 且且 在在 一致有界一致有界;(2) 在在 一致收斂一致收斂,則則 在在 一致收斂一致收斂.( ),( )(, ,)nnax bx n 1 21 2 x,( )nxxax n( )naxxxx( )nnbx 1 1( )( )nnnax bx 1 1定理定理2.4.(dirichlet判別法判別法) 設(shè)設(shè) 定義在定義在 上上. 若若(1) 關(guān)

13、于關(guān)于 單調(diào)單調(diào), 且且 在在 一致收斂于一致收斂于 ;(2) 在在 一致有界一致有界, 其中其中則則 在在 一致收斂一致收斂.( ),( )(, ,)nnax bx n 1 21 2 x,( )nxxax n( )naxxxx( )( ),nnkkbxbx 1 1( )( )nnnax bx 1 10 0( )nbx例例8. 設(shè)設(shè) 收斂收斂. 證明證明: 在在 一致收斂一致收斂.nna 1 1nxnan 1 1( ,)0 0例例9. 設(shè)設(shè) 單調(diào)單調(diào), 且且 . 證明證明: 在在 一致收斂一致收斂, 其中其中na()nan 0 0sinnnanx 1 1 , 2 2( , ). 0 0例例10

14、. 證明證明: 在在 一致收斂一致收斂.()nnnxn 1 11 11 1 , 0 10 13. 關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的若干性質(zhì)關(guān)于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的若干性質(zhì)例例11. 證明證明: 在在 連續(xù)連續(xù).sinnnnx 1 12323(,) 定理定理2.6.(逐項(xiàng)求積分定理逐項(xiàng)求積分定理) 若若 在在 連續(xù)連續(xù), 且且 在在 一致收斂一致收斂, 則則 的積分可的積分可以通過對級數(shù)逐項(xiàng)積分求得以通過對級數(shù)逐項(xiàng)積分求得, 即即( )(, ,)nux n 1 21 2 , a b( )( ).bbnaans x dxux dx 1 1 , a b( )nnux 1 1( )( )nns xux 1 1注注. 類似于定

15、理類似于定理1.3,可推出可推出 在在 一致收斂于一致收斂于 .( )xnanu t dt 1 1( )xas t dt , a b定理定理2.7.(逐項(xiàng)求導(dǎo)定理逐項(xiàng)求導(dǎo)定理) 若若 滿足滿足(1) 在在 收斂于收斂于 ;(2) 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且 在在 連續(xù)連續(xù);(3) 在在 一致收斂一致收斂,則則 在在 可導(dǎo)可導(dǎo), 且且( )(, ,)nux n 1 21 2 ( )nnux 1 1 , a b( )s x( )nux , a b , a b , a b , a b/( )nux/( )nnux 1 1( )s x/( )( ), , .nnsxuxxa b 1 1例例13.證明證明:

16、 的和函數(shù)在的和函數(shù)在 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù).()nnxnen 1 11 11 1( ,)0 0例例14. 處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù).3 冪級數(shù)冪級數(shù)稱作冪級數(shù)稱作冪級數(shù), 其中其中 是常數(shù)是常數(shù), 是是常數(shù)常數(shù), 它的通項(xiàng)是冪函數(shù)它的通項(xiàng)是冪函數(shù) .()()()nnnaxxaa xxaxx 2 20010200010200 0(, ,)nan 0 10 1 x0 0()nnaxx 0 01.收斂區(qū)間和收斂半徑收斂區(qū)間和收斂半徑引理引理3.1. 若若 在在 收斂收斂, 則則當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂收斂.()nnnaxx 0 00 0 xx 1010()nnnaxx 0 0

17、0 0 xxxx010010推論推論3.1. 若存在若存在 , 使使 發(fā)散發(fā)散, 則對一切滿足則對一切滿足 的的 , 發(fā)散發(fā)散.()nnnaxx 0 00 0 xx 2020()nnnaxx 0 00 0 xxxx020020 x 給定給定 .令令 收斂收斂稱稱 為為 的收斂半徑的收斂半徑, 稱為收斂區(qū)間稱為收斂區(qū)間.()nnnaxx 0 00 0()nnnaxx 0 00 0r(,)xr xr0000 sup:()nnnrxxaxx 00000 0 .定理定理3.1. 設(shè)設(shè) 是是 的收斂半徑的收斂半徑. 則該冪級數(shù)在則該冪級數(shù)在 收斂收斂, 在在 發(fā)散發(fā)散.()nnnaxx 0 00 0r(

18、,)xr xr0000 :xxxr0 0例例1. 證明證明: 僅在僅在 收斂收斂.!nnn x 0 0 x 0 02.收斂半徑的計(jì)算收斂半徑的計(jì)算例例4. 求求 的收斂半徑的收斂半徑.nnxn 1 1定理定理3.3.(收斂半徑的收斂半徑的dalembert公式公式)設(shè)設(shè) 是一個序列是一個序列, 當(dāng)當(dāng) 充分大時充分大時, , 且且 (可以是可以是 ). 則則 的收斂半徑的收斂半徑()nnnaxx 0 00 0limnnnala 1 1lrlll 0 00 01 10 0nanna 0 0注注. 可由可由dalembert判別法直接證明判別法直接證明.例例8. 求求 的收斂半徑的收斂半徑, 收斂區(qū)

19、間和收收斂區(qū)間和收 斂域斂域.()nnxn 1 13 33.冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)(3) 若若 在在 收斂收斂, 則它在任則它在任意閉區(qū)間意閉區(qū)間 一致收斂一致收斂.()nnnaxx 0 00 0 xr 0 0, ,)xr bxr xr000000定理定理3.5. 設(shè)設(shè) 的收斂半徑為的收斂半徑為 , 且且 . 則則 的和函數(shù)的和函數(shù) 在在 連續(xù)連續(xù). ()nnnaxx 0 00 0rr 0 0(,)xr xr0000()nnnaxx 0 00 0( )s x定理定理3.6. 設(shè)設(shè) 的收斂半徑為的收斂半徑為 , 且且 . 則對任意閉區(qū)間則對任意閉區(qū)間 ,特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) 時，時，()nnn

20、axx 0 00 0rr 0 0 , (,)a bxr xr0000()()bbnnnnaannaxxdxaxxdx00000000 xxr0 0()()xxnnnnxxnnatxdtatxdt000000000000若級數(shù)在若級數(shù)在 (或或 )收斂則上述公式收斂則上述公式中中 (或或 )可取為可取為 (或或 ).xr 0 0 xr 0 0 xr 0 0baxr 0 0引理引理3.3. 若若 與與 的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為 , 則則 .()nnnaxx 0 00 0()nnnnaxx 1 10 01 1/,r r/rr 推論推論3.2. 設(shè)設(shè) 的收斂半徑為的收斂半徑為 ,且且 , 則該

21、冪級數(shù)的和函數(shù)則該冪級數(shù)的和函數(shù) 在在 有任意階導(dǎo)數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù), 且且()nnnaxx 0 00 0rr 0 0( )s x(,)xr xr0000( )( )()()()kn knn ksxn nnkaxx 0 01111例例15. 設(shè)設(shè) . 證明證明: 滿足滿足()( )()!nnns xxn 1 121211 11 12121( )s x/( )( )sxs x 0 04 taylor級數(shù)級數(shù)1.taylor級數(shù)級數(shù)定理定理4.1. 設(shè)設(shè) 在在 是是 的和函數(shù)的和函數(shù), 即即則則 約定約定( )f x(,)()xr xrr00000 0()nnnaxx 0 00 0( )() ,(,)

22、,nnnf xaxxxxr xr 0000000 0( )(), ,!nnfxann0 00 10 1 ( )( )( ).fxf x 0 0定義定義. 設(shè)設(shè) 在在 有任意階導(dǎo)數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù).稱為稱為 在在 的的taylor級數(shù)級數(shù), 記作記作 當(dāng)當(dāng) 時時, 稱為稱為 的的maclaurin級數(shù)級數(shù).( )f xx0 0( )f xx0 0 x 0 00 0( )f x( )()()!nnnfxxxn 0 00 00 0( )()( )()!nnnfxf xxxn 0 00 00 0:( )()!nnnfxxn 0 00 0例例1. 討論討論( )xexf xx 2 21 10 000002.函數(shù)的函數(shù)的taylor展開展開 若若 在在 有任意階導(dǎo)數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù), 且在且在成立成立則稱則稱 在在 能展開成能展開成taylor級數(shù)級數(shù). 此時此時taylor級數(shù)稱為級數(shù)稱為 的的taylor展展開式開式.( )f xx0 0( )f x( )()( )()!nn