正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別

1、復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判斷：、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判斷：nnuuus 21)1 計(jì)算部分和：計(jì)算部分和：nns lim)2 計(jì)算極限計(jì)算極限 發(fā)散發(fā)散不存在，則不存在，則收斂收斂存在，則存在，則nnuu2、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散的判斷方法：、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散的判斷方法： 發(fā)散。發(fā)散。則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)若若nnnuu, 0lim)1發(fā)散。發(fā)散。發(fā)散，則發(fā)散，則收斂，收斂，若若 )()2nnnnvuvu斂散性斂散性、 01nnaq 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),1,1qq 1nn12、調(diào)和級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù).發(fā)散發(fā)散7.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 二、比較

2、判別法二、比較判別法 三、比值判別法三、比值判別法 四、四、*根值判別法根值判別法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義定義這種級(jí)數(shù)這種級(jí)數(shù)中各項(xiàng)均有中各項(xiàng)均有如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù), 01 nnnuu稱為稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件.ns正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂部部分分和和數(shù)數(shù)列列有有上上界界存在存在收斂，即收斂，即分析：分析：nsu n1nnlimnlimsn 根根據(jù)據(jù)單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限：存存在在。nnn1ns0sss nu）證證：有有上上界界知知是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增數(shù)數(shù)列列，而而已已ssnn1120,(1,2,),.(1)(1)(1)nnnnaanaaa 例例

3、設(shè)設(shè)證證明明級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂證證明明：1211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnaaaaaaaaa 111(1)a 11211(1)(1)(1)aaa 1211211(1)(1)(1)(1)(1)(1)nnaaaaaa 1211(1)(1)(1)naaa 1 ns有有界界. .ns顯顯然然，該該級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù). .從從而而原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂二、比較判別法二、比較判別法均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu注：注：大的收斂，則小的收斂；小的發(fā)散則大的發(fā)散。大的收斂，則小的收斂；小的發(fā)散則大的發(fā)散。注：注：比較判別法在使用時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)的不等式關(guān)系比較判

4、別法在使用時(shí)，兩個(gè)級(jí)數(shù)的項(xiàng)的不等式關(guān)系從從第一項(xiàng)第一項(xiàng)開始就要滿足，而有些級(jí)數(shù)也許一開始不開始就要滿足，而有些級(jí)數(shù)也許一開始不滿足而從滿足而從某一項(xiàng)某一項(xiàng)開始滿足，針對(duì)此給出下面推論開始滿足，針對(duì)此給出下面推論,nnnnucv 使使得得當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 有有則則.211發(fā)發(fā)散散發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)，）當(dāng)當(dāng)（ nnnnvu11,c,nnnnuvn 設(shè)設(shè)和和都都是是正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 且且存存在在常常數(shù)數(shù) 和和自自然然數(shù)數(shù);111收收斂斂收收斂斂時(shí)時(shí)，）當(dāng)當(dāng)（ nnnnuv1nnu 判判斷斷的的斂斂散散性性. .nu nv對(duì)欲求級(jí)數(shù)進(jìn)行放大應(yīng)放大為收收斂級(jí)數(shù)斂級(jí)數(shù). . nc對(duì)欲求級(jí)數(shù)進(jìn)行縮小應(yīng)縮小為發(fā)發(fā)散級(jí)數(shù)散級(jí)

5、數(shù).斂散性已知的級(jí)數(shù),如p級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)，幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)等.放大，縮小的方向放大，縮小的方向1,p 當(dāng)當(dāng)解解,11nnp .級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散則則 p1111111.234pppppnpnn 例例 討討論論級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性(0)p 1,p 當(dāng)當(dāng)oyx1234)1(1 pxyp1npndxx 21pdxx 12p32pdxx 13p1pn11111234nppppsn 231211111npppndxdxdxxxx 111npdxx 111111npp x 111111ppn 111 p,ns即即有有上上界界.級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂則則 pp-p-級(jí)數(shù)的結(jié)論級(jí)數(shù)的結(jié)論( (記住

6、記住!)!) 發(fā)散發(fā)散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)收斂收斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1,11:1ppnpnp的特例！的特例！級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)均為均為和和級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 11211-p11npnnnnn11nn 5141nn 211.(1)nnn 例例 判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性解解：2211(1)nnn 211,nn 且且收收斂斂.所所以以原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂11.ln(1)nn 例例 判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性解解：11ln(1)1nn 11,1nn 且且發(fā)發(fā)散散.所所以以原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1.21nnnn 例例 判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的斂斂散散性性解解：21nnn 11,2nn 且且收收斂斂.所所以以原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂

7、12n 44111.nnn 例例 判判斷斷級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)- -的的斂斂散散性性解解：4411nn- -212,nn 且且收收斂斂.所所以以原原級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂44211nn 421n 22n 三、比較判別法的極限形式三、比較判別法的極限形式定理定理( (比較判別法的極限形式比較判別法的極限形式) )nnn11,lim,nnnnuul 設(shè)設(shè)與與均均為為正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 且且有有則則nn11(1)0,nnlu 若若則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)與與同同時(shí)時(shí)收收斂斂或或發(fā)發(fā)散散, 0)2( l若若,)3( l若若nn11,;nnu 且且收收斂斂 則則收收斂斂nn11,nnu 且且發(fā)發(fā)散散 則則發(fā)發(fā)散散n1,nu 一一般般是

8、是判判斷斷的的斂斂散散性性n1nv 選選擇擇合合適適的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)使使用用該該判判別別法法. .11nn 調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，11pnn p-p-級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，1.nnaq 幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)11sin.nn 例例 判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性解解因?yàn)橐驗(yàn)? 111sinlim nnn,11發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) nn11sin.nn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散11ln(1).nn 例例 判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性解解因?yàn)橐驗(yàn)?ln(1)lim1,1nnn ,11發(fā)散發(fā)散而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù) nn11ln(1).nn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散2151.23nnnn 例例 判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性解解因?yàn)橐驗(yàn)?51

9、23lim1nnnnn 11,nn 而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散1215.1312nnnn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散225lim23nnnnn 215lim1312nnnn 5 21.31nnn 例例 判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性解解因?yàn)橐驗(yàn)?3231lim1nnnn 322lim31nn nn 22lim31nnn 13 3121,nn 而而級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂21.31nnn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂.311的斂散性的斂散性判定級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù) nnnnnnn3131lim nnn311lim 解解, 1 ,311收斂收斂 nn故原級(jí)數(shù)收斂故原級(jí)數(shù)收斂.例例nnnn 33lim例例解解11,01nnaa 判定級(jí)數(shù)判定

10、級(jí)數(shù)的斂散性。的斂散性。11lim1nnnaa 1limnnnaa 1, 01, 11,21aaa11nna 收收斂斂，原級(jí)數(shù)收斂，原級(jí)數(shù)收斂，11nna 發(fā)發(fā)散散，原級(jí)數(shù)發(fā)散，原級(jí)數(shù)發(fā)散， 0111lim1nnaa時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)原級(jí)數(shù)發(fā)散。原級(jí)數(shù)發(fā)散。時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 a時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 a1lnnnn 1lnnnn 21lnnnn lnlim1nnnn limlnnn lnlim1nnnn 11,nn 發(fā)發(fā)散散1ln.nnn 發(fā)發(fā)散散,事事實(shí)實(shí)上上ln1(3),nnnn1111,nnnn且且發(fā)發(fā)散散11lnln,.nnnnnn發(fā)發(fā)散散limlnnn 11,nn 發(fā)發(fā)散散1ln.nnn 發(fā)發(fā)散散

11、ln1(3)nnnn21lnnnn 22lnlim1nnnn limlnnn 211,nn 而而收收斂斂21ln.nnn 的的斂斂散散性性依依據(jù)據(jù)該該定定理理無無法法判判別別232lnlim1nnnn 12lnlimnnn lnlimxxx 1lim12xxx 1lim 2xx 03121,nn 而而收收斂斂21ln.nnn 收收斂斂例：例：用比較判別法或其極限形式判斷用比較判別法或其極限形式判斷 斂散性。斂散性。 1lnnpnn解：解：,1p時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ),3(1ln nnnnpp發(fā)散，發(fā)散，而而 pn1所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 p )1(1lnlim00ppnnnppn

12、0lnlimppnnn 0lnlimppxxx 0)(1lim0ppxxpp 0 收斂，收斂， 01pn所以原級(jí)數(shù)收斂。所以原級(jí)數(shù)收斂。四、比值判別法四、比值判別法設(shè)設(shè) 1nnu是正項(xiàng)級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), ,如果如果)(lim1 為數(shù)或?yàn)閿?shù)或 nnnuu 比值收斂法的優(yōu)點(diǎn)：比值收斂法的優(yōu)點(diǎn)：不必找參考級(jí)數(shù)不必找參考級(jí)數(shù). . ,11發(fā)散發(fā)散級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)例例 nn,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn)1( 1limnnnuu 11lim1nnn lim1nnn 1 1limnnnuu 2211lim1nnn 2lim1nnn 1 1nnu 即即：收收斂斂1lim1.nnnuu 1nnu 發(fā)發(fā)散散1lim1.n

13、nnuu 11,nn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散,112收斂收斂級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) nn11nnuu ?1lim1.nnnuu 11,nn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散111nnunun 1lim1.nnnuu 1!(2)10nnn 11(1)!10limlim!10nnnnnnnunu 101lim nn 1!.10nnn 發(fā)發(fā)散散1(1)! 10lim10!nnnnn 10012(1)nnn 110011002(1)limlim2nnnnnnunun 11001002lim(1)2nnnnn 100100lim2(1)nnn 100lim21nnn 2 1, 10012.nnn 發(fā)發(fā)散散1!(3)nnnn 11(1)!(

14、1)limlim!nnnnnnnunnun 1(1)!lim(1)!nnnnnnn lim(1)nnnnn 1lim1nnnn 1lim1(1)nnn 1e 1, 1!.nnnn 收收斂斂lim1nnnn 121(4)2tan4nnn 221122tan4(1)limlim2tan4nnnnnnunun 22tan4(1)lim2tan4nnn 224(1)lim24nnn 22lim2(1)nnn 2lim21nnn 22 lim1nnn 211212tan.4nnn 發(fā)發(fā)散散221sin5(5)5nnnn 221122(1)(1) sin55limlimsin55nnnnnnnnunun

15、222(1)sin115lim5sin5nnnnn 222(1)115lim55nnnnn 411lim5nnn 115錯(cuò)誤做法！錯(cuò)誤做法！221sin5(5)5nnnn 222sin555nnnnn 21,5nnn 對(duì)對(duì)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)而而言言2112(1)5limlim5nnnnnnnunu 211lim5nnn 11521,5nnn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂221sin5.5nnnn 從從而而收收斂斂3,2n112( 1)22( 1) nnnnuu 但但12( 1)2nnn 收收斂斂. .1limnnnuu 不不存存在在。2( 1)2nnnu 解解：12( 1)2nnn 例例 13,2nn 而而收收斂斂

16、n為為偶偶數(shù)數(shù)16n為為奇奇數(shù)數(shù)32五、五、* *根值判別法根值判別法,1 ,1 nnn設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)例如例如1limlimnnnnnnun 1limnn 定理：定理：注：當(dāng)級(jí)數(shù)中含有注：當(dāng)級(jí)數(shù)中含有n次方時(shí)，通常采用根式判別法次方時(shí)，通常采用根式判別法.nn1,limnnnuur 對(duì)對(duì)于于正正項(xiàng)項(xiàng)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)若若有有r1(= ),當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;,1r級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng) 1r 時(shí)時(shí)不不能能判判斷斷. .0 1 11.nnn 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂解：解：12.32nnnn 例例 判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性2lim32nnnnn 2lim32nnn 21312.32nnnn 收收斂斂解：解：12( 1).2nnn 例例 判判定定級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性解：解：1limlim2( 1)2nnnnnnu n為為偶偶數(shù)數(shù)n為為奇奇數(shù)數(shù)1lim32nn 121lim12nn 121212( 1).2nnn 收收斂斂判斷級(jí)數(shù)斂散性的一般步驟：判斷級(jí)數(shù)斂散性的一般步驟：（1）?0lim nnu（2）比式判別法或根式判別法（通項(xiàng)中含有）比式判別法或根式判別法（通項(xiàng)中含有n次冪）次冪）（3）比較