考研數(shù)學(xué)典型例題解讀

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載解讀教材典型例題，打通數(shù)學(xué)任督二脈考研數(shù)學(xué)典型例題解讀極限篇如何利用教材進(jìn)行有效的復(fù)習(xí)， 是大部分同學(xué)面臨的主要問題。 考研數(shù)學(xué)主要是對(duì)同學(xué)們“三基”的考查，因此復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)候要抓住教材，好好利用教材。怎樣才能更有效地利用教材進(jìn)行復(fù)習(xí)，下面就如何來復(fù)習(xí)教材中的典型例題進(jìn)行解讀。本文主要的目的： 教會(huì)如何更有效地讀懂例題、 利用例題及模仿例題； 學(xué)習(xí)如何來復(fù)習(xí)理解數(shù)學(xué)及解題方法。注：本文以同濟(jì)五版高等數(shù)學(xué)為藍(lán)本。極限【求分式極限 lim( x) 整體思路】 共分為三種情況： （令 Ilim(x) ）( x)( x)（1）若 lim( x)0，則有 Ilim(x)lim；( x)（

2、2）若 lim( x)0， lim( x)0，則有 I；（3）若 lim( x)0 ， lim( x)0 ，則屬于0 型未定式，則可用羅比達(dá)法則、等價(jià)無窮0小代換等進(jìn)行求解。求解分式極限時(shí)，首先要快速判斷屬于（ 1）（ 2）（ 3）哪種情況，對(duì)號(hào)入座，然后決定解決問題的方法及方式。1例 1 （P58例(1x2 ) 315）求 limcos x1x0111解： 當(dāng) x0時(shí)， (1x2 ) 31 x2 ， cosx1 x2 ，所以3211x2lim (1 x2 ) 31lim32x 0 cosx1x 0123x2【解讀】 當(dāng) x0 時(shí)，【注釋 1：說等價(jià)無窮小時(shí)，一定要標(biāo)明是在哪種極限形式下的等價(jià)

3、無窮小，這是因?yàn)榈葍r(jià)無窮小是用極限來定義的；此處說的是“當(dāng) x0 時(shí)”?！?1 1 x2 ，(1 x2 )33學(xué)習(xí)必備歡迎下載【 注釋2： 看到此式，首先要想到要求必須記住的一個(gè)常用的等價(jià)無窮小代換公式1x1 1 x( x0) 和 n 1x 1 1 x ( x0) （此處也可以寫成11 2n1(0)和 n 11 1(0) ），由此套用公式立即可以得到2n1(1 x2 )3 1 1 x2 ?！?cosx1 1 x2，2【 注釋3： 看到此式，首先要想到要求必須記住的一個(gè)常用的等價(jià)無窮小代換公式1 cosx 1 x2( x0) （此處也可以寫成1 cos1 2 (0) ），由此套用公式立22即可以

4、得到 cosx1 1x2 ?！?所以112lim (1x2 ) 31lim3 x2x 0cosx1x 01x232【注釋 4：此題完全用等價(jià)無窮小代換解決。當(dāng)然也可以用Taylor 公式進(jìn)行求解，不過過程比較麻煩一些。 此題為0 型未定式， 若用羅比達(dá)法則會(huì)相當(dāng)麻煩，不過大家可以嘗試一下。 】0【注釋 5：做完此題后，要掌握注釋中的三個(gè)等價(jià)無窮小代換公式，做到熟練應(yīng)用，最好能達(dá)到條件反射。 】3例 2（ P68 例 8）求 lim(12x) sin xx 0解:因?yàn)?1xx12 x) 2 x(12x)sin x(166ln(12 x)2 x sin xe sin x利用定理 3 及極限的運(yùn)算法

5、則，便有x13lim6ln(12x )2 xlim(1 2x)sin xx0sin xe6ex 031xx1ln(12 x)2 x【解讀】 因?yàn)?(12x) sin x(1662x) 2x sin xe sin x【注釋 1：上式的第一步是要湊出來重要極限，因此要對(duì)第二個(gè)重要極限的形式非常熟悉才11行。第二個(gè)重要極限如下：lim1e和 lim1e 。之所以寫成這樣的形式，0是讓大家能明白， 只要我們能湊成這兩種標(biāo)準(zhǔn)形式之一就可以用這個(gè)公式，不用管 里是什么。最后一步應(yīng)用的是換底公式，見注釋4】學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用定理3 及極限的運(yùn)算法則，便有【注釋2：定理3 表明當(dāng)外函數(shù)連續(xù)時(shí)，極限號(hào)可以和外

6、函數(shù)調(diào)換位置，這里的ex 是外函數(shù)?！?3lim 6xln(1 2x )2 xlim(1 2x)sin xx 0sin xee6x 0【注釋 3：極限的運(yùn)算法則指的是兩個(gè)乘積函數(shù)的極限都存在時(shí)可以寫成兩個(gè)函數(shù)極限的乘x1x1積。即 lim 62 xlim ln(1 2x) 2 x611 6】ln(1 2x)6limx 0sin xx 0 sin xx 0【注釋 4：此題總的解題思路是：這是求冪指函數(shù)的極限，存在兩種情況：一是用第二個(gè)重要極限，二是用換底公式。我們要熟練掌握這兩種情況， 特別是第二種情況，它的適用范圍更廣。】【注釋5：換底公式主要是針對(duì)類似于u(x)v( x ) (u( x)0,

7、 u( x) 不恒等于 1) 的冪指函數(shù)。對(duì)于這類函數(shù)可以采用以下方式進(jìn)行求解：lim u( x)v( x)elim v( x)ln u( x)即轉(zhuǎn)化成求lim v( x)ln u(x) 的極限?！坷?3 （P136例 10）求 lim tan x xx 0x2 sin x解： lim tan x xlim tan xxxlim tan xxx0 x2 sin xx0x3sin xx0x3lim sec2 x1lim 2sec2 x tan x1 lim tan x1x 03x2x 06x3 x 0x3【解讀】 lim tan xxlim tan xxxlim tan x xx 0x2 sin xx0x3sin xx0x3【注釋 1：通過題目可以看出這是0 型極限，所以首先可以考慮用羅比達(dá)法則，但是由于分0母比較復(fù)雜，求導(dǎo)不方便，所以需要進(jìn)行變換一下再用羅比達(dá)法則】limsec2 x13x2x 0【注釋 2：對(duì)上式應(yīng)用羅比達(dá)法則而得。得到的仍然是0 型極限?！?lim2sec2x tan xx 06x【注釋 3：再次應(yīng)用羅比達(dá)法則，這時(shí)發(fā)現(xiàn)limsec2 x1 ， lim tan x1（注意這是重要極x0x 0x限 lim sin x1 的一個(gè)變形，最好也要記?。?。因此有 】x 0x學(xué)習(xí)必備歡迎下載1tan x1limx