空間向量與立體幾何知識點歸納總結(jié)

1、學習必備歡迎下載一對一授課教案學員姓名：年級：所授科目：上課時間：年月日時分至時分共小時老師簽名學生簽名教學主題空間向量與立體幾何上次作業(yè)檢查本次上課表現(xiàn)本次作業(yè)一知識要點。1. 空間向量的 概念 ：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向線段表示 同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不變性2. 空間向量的 運算 。定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下（如圖）。OB OA AB a b ; BA OAOBa b ; OPa(R)運算律： 加法交換律： abba加法結(jié)合律： (a b ) c a (b c )數(shù)乘分配律

2、： (a b )ab運算法則 ：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則3. 共線向量。（ 1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合 ，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a 平行于 b ，記作 a / b 。（ 2）共線向量定理 ：空間任意兩個向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在實數(shù) ，使 a b 。（ 3）三點共線 ： A 、B 、C 三點共線 <=> ABAC<=> OCxOA yOB(其中xy 1)（ 4）與 a 共線的單位向量為aa4. 共面向量（ 1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共

3、面的。（ 2）共面向量定理 ：如果兩個向量a, b 不共線， p 與向量 a,b 共面的條件是存在實數(shù)x, y 使 p xayb 。（ 3）四點共面：若 A 、 B 、C、 P 四點共面 <=> APxABy AC<=> OPxOA yOB zOC (其中 xy z1)5.空間向量基本定理：如果三個向量 a, b , c 不共面，那么對空間任一向量p ，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x, y, z，使 pxa yb zc 。若三向量 ab,c不共面，我們把 a, b , c 叫做空間的一個 基底， a,b , c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向?qū)W習必備歡迎下載量都可以構(gòu)成

4、空間的一個基底。推 論 ： 設 O, A, B,C 是 不 共 面 的四 點 ， 則 對 空 間 任 一 點 P ， 都 存 在 唯 一的 三 個 有 序 實數(shù) x, y, z ， 使O Px O Ay OBzO。C6. 空間向量的直角坐標系：（ 1）空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系 Oxyz 中，對空間任一點 A ，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 (x, y, z) ，使 OAxi yi zk ，有序?qū)崝?shù)組 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標系 Oxyz 中的坐標，記作 A(x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標， z 叫豎坐標。注：點 A（x,y,z ）關(guān)于 x

5、軸的 的對稱點為 (x,-y,-z), 關(guān)于 xoy 平面的對稱點為(x,y,-z). 即點關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。在y 軸上的點設為 (0,y,0),在平面 yOz 中的點設為 (0,y,z)（2）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1，這個基底叫單位 正交基底 ，用 i, j, k 表示?？臻g中任一向量 a xiy jzk =（ x,y,z）（ 3）空間向量的直 角坐標運算律：若 a (a1 ,a2 , a3 ) ， b (b1, b2 ,b3) ，則 a b (a1 b1 , a2b2 , a3 b3 ) ，a b (a1b1, a2b2 , a3

6、 b3 ) ，a ( a1, a2 , a3)(R) ，a b a1b1a2b2 a3b3 ，a / ba1b1, a2b2 , a3b3 ( R) ，a b a1b1a2b2a3b3 0 。若 A( x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則 AB ( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) 。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。定比分點公式：若A( 1x , 1y , 1z，) B( x2 , y2 , z2 )， APPB，則點 P坐 標 為( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推導 ：設 P（ x,y

7、,z）則 (xx yy , zz )(xx, yy,zz),顯然，1111,11222當 P 為 AB 中點時， P( x1x2 , y1y2 , z1z2 )222ABC中 ，A（x, y, z）,B( x , y, z), C( x, y ,z)，三角形重心P 坐標 為111222333P( x1x2x3 , y1y2y3 , z1z2z3 )322 ABC的五心 ：內(nèi)心 P：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點。AP( ABAC ) （單位向量）ABAC外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點。PAPBPC垂心 P：高的交點： PA PB PA PCPBPC （移項，內(nèi)積為0，則垂直）重心 P：中線

8、的交點，三等分點（中位線比）1(AB AC)AP3中心：正三角形的所有心的合一。學習必備歡迎下載（ 4）模長公式 ：若 a(a1, a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2, b3 ) ，則 | a |a a222， |b |b bb12b22b32a1a2a3（ 5）夾角公式：cos a ba bab11a2b2 a3b3。a1 2a2 2a32 b12b22 b32| a | | b |ABC中 ABAC0 <=>A 為銳角 ABAC0 <=>A 為鈍角，鈍角（ 6）兩點間的距離公式：若A( x1 , y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，則|

9、AB|2( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2 ，AB或 dA,B( x2x1) 2( y2y1) 2( z2z1 ) 27. 空間向量的數(shù)量積。（ 1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b ，在空間任取一點 O ，作 OAa ,OB b，則AOB 叫做向量a與 b 的夾角，記作a,b ；且規(guī)定 0a ,b，顯然有 a ,bb , a；若,，則稱aa b2與 b 互相垂直，記作： ab 。（ 2）向量的模：設OA a ，則有向線段 OA 的長度叫做向量 a 的長度或模，記作：| a | 。（ 3 ） 向 量 的數(shù) 量 積 ： 已 知 向 量 a, b ， 則 | a |

10、b | co s a b,叫做 a,b 的 數(shù) 量 積 ， 記 作 a b ， 即a b | a | |b | cos a b, 。（ 4）空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： ae| a |cosa, e 。 a ba b 0 。 | a |2 a a 。（ 5）空間向量數(shù)量積運算律： (a) b( a b )a ( b ) 。 a bb a （交換律）。 a(bc ) a ba c （分配律）。 不滿足 乘法結(jié)合率： ( a b)c a(b c)二空間向量與立體幾何1線線平行兩線的方向向量平行1-1 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2 面面平行兩面的法向量平行2 線線垂直（共面與異面）兩線的方向

11、向量垂直2-1 線面垂直線與面的法向量平行2-2 面面垂直兩面的法向量垂直3 線線夾角 （共面與異面） 0O ,90 O 兩線的方向向量n1 , n 2的夾角或夾角的補角， coscosn1, n23-1 線面夾角 0O ,90 O ：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP 與面的法向量 n 的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角. sincos AP, n3-2 面面夾角（ 二面角） 0O ,180 O ：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量n1 , n2 的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角. coscosn1 , n24點面距離

12、 h ：求點 Px0 , y0 到平面的距離：在平面上去一點 Q x, y ，得向量 PQ ;； 計算平面的法學習必備歡迎下載向量 n ;.hPQnn4-1 線面距離（線面平行） ：轉(zhuǎn)化為點面距離4-2 面面距離（面面平行） ：轉(zhuǎn)化為點面距離【典型例題】1基本運算與基本知識（）例 1. 已知平行六面體ABCDABCD，化簡下列向量表達式，標出化簡結(jié)果的向量。 ABBC ；AB ADAA ； ABAD1CC ； 1(ABADAA)。23MG例2. 對空間任一點O 和不共線的三點OPxOAyOBzOC （其中xA, B,C ，問滿足向量式：yz1 ）的四點 P, A, B, C是否共面？例 3 已

13、知空間三點A （0， 2， 3）， B（ 2， 1， 6）， C（ 1， 1， 5）。求以向量AB, AC 為一組鄰邊的平行四邊形的面積S；若向量 a 分別與向量AB, AC 垂直，且 | a |3 ，求向量 a 的坐標。2基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運算）3坐標法（如何建立空間直角坐標系，找坐標）4幾何法例 4. 如圖，在空間四邊形OABC中， OA8 ， AB6 ， AC4 ， BC5 ，OAC45 ，OAB60 ，求 OA 與 BC 的夾角的余弦值。OACB說明：由圖形知向量的夾角易出錯，如OA, AC135 易錯寫成OA, AC45 ，切記！例5. 長方體 ABCDABCD中，ABBC4

14、，E為 AC與 BD 的交點，F(xiàn)為 BC與 B C 的交點，又11111 11 111學習必備歡迎下載AFBE ，求長方體的高BB1 ?！灸M試題】1. 已知空間四邊形ABCD ，連結(jié) AC , BD ，設 M , G 分別是 BC , CD 的中點，化簡下列各表達式，并標出化簡結(jié)果向量：（ 1） ABBCCD ；（2） AB1 (BDBC) ； （3） AG1( AB AC)。222. 已知平行四邊形 ABCD ，從平面 AC 外一點 O 引向量。OEkOA, OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（ 1）求證：四點 E, F ,G, H 共面；（ 2）平面 AC / 平面 EG 。13.

15、如圖正方體ABCDA1B1C1 D1 中， B1 E1D1F1A1B1 ，求 BE1 與 DF1 所成角的余弦。45. 已知平行六面體 ABCD A B C D 中，AB 4, AD3, AA5,BAD 90 ，BAADAA60，求 AC 的長。學習必備歡迎下載 參考答案 1.解：如圖，（1） ABBC CDACCDAD ；（2） AB1 (BD BC)AB1 BC1BD。222AB BMMGAG ；（3） AG1 (ABAC )AGAMMG 。22.解：（ 1）證明：四邊形 ABCD 是平行四邊形，AC AB AD，EG OGOE ，k OCk OA k (OCOA)k ACk (ABAD

16、)k(OBOAODOA)OFOEOH OEEFEH E,F ,G,H 共面；（ 2）解： EFOFOEk (OBOA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC 。所以，平面 AC / 平面 EG 。3. 解：不妨設正方體棱長為，建立空間直角坐標系Oxyz，131則 B(1,1,0) ， E1 (1,1) ， D (0,0,0)， F1 (0,1) ，44 BE1(0,1 ,1) ， DF1(0, 1 ,1) ，44 BE1DF117，41115BE1DF1 00 () 1 1。44161515cos BE1, DF116。171717444.分析：AB(2, 1,3), AC(1, 3,2),cosBACAB AC1| AB|AC|2 BA