專升本高數(shù)第一章極限與連續(xù)

1、第一章第一章 極限和連續(xù)極限和連續(xù)（一）（一） 數(shù)列的極限數(shù)列的極限1. 1. 數(shù)列數(shù)列 12:,1 2 32 4 622 3 41nnnxx xxxnnn數(shù)列常表示為其中稱為數(shù)列的通項。例如：， ， ， ， ， ；， ，單調(diào)數(shù)列：為單調(diào)增數(shù)列，則稱若nnnxxxn1,為單調(diào)減數(shù)列，則稱若nnnxxxn1,有界數(shù)列：mxnmn有使得若,01.1 極限極限2. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限如果當(dāng)n 無限增大時, xn 無限地接近于常數(shù) a , 那末稱 a 為數(shù)列xn的極限。lim()nnnxaxan 記作：或表示 n 很大時， xn 幾乎都凝聚在點 a 的近旁。數(shù)列極限的幾何解釋lim00nnnxann

2、nxa，當(dāng)時，總有有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，反之稱為發(fā)散數(shù)列。()a -n na +a定理2（有界性）收斂數(shù)列必有界()ab(二二) 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1（唯一性）若數(shù)列xn收斂，則其極限值唯一。3 (lim0 (0)0 (0 )nnnnxaaannnxx定理保號性)若且或則必存在 ，當(dāng)時恒有或0 (0 )lim0 (0)nnnnxxxaaa推論：若或且，則或0a() 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則準(zhǔn)則1.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。有界是數(shù)列收斂的必要條件，單調(diào)有界是數(shù)列收斂的充分條件。11.(1) nn例 數(shù)列的極限存在。1lim(1)2,7182818nnen2.(), xyznnn準(zhǔn)

3、則夾逼準(zhǔn)則 設(shè)有三個數(shù)列滿足條件：2) lim , limnnnnyazalimnnnxxa那么數(shù)列的極限存在，且1) (1,2,)nnnyxzn2.limlimnnnnxaaa推論若， 則 極限運算法則極限運算法則1.limlimlim()nnnnnnnxaybxyab法則若， 則2.limlimlim()nnnnnnnxaybxya b法則若， 則3.limlim0limnnnnnnnxaxaybbyb法則若，且， 則1.limlimnnnnxaccxca推論若， 為常數(shù)，則1231231.111(1)248(1)0.90.990.999xxxxxx 例 求下列數(shù)列的極限：， ；， 。32

4、322232.234112(1) lim(2) lim3521111(3) lim1 22 33 4(1)1(2) lim(sin !)32nnnnnnnnnnnnnnnn例求下列數(shù)列的極限：；。（三）（三） 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 lim( )( )()xf xaf xax 或lim( )( )()xf xaf xax或1. 1. 當(dāng)當(dāng) x 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限(1)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當(dāng) x 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x) 當(dāng) x 時的極限，記為：(3)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當(dāng) x- 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f

5、 (x) 當(dāng) x -時的極限，記為：lim( )( )()xf xaf xax 或(2)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當(dāng) x+ 時， f (x) 無限趨近于常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x) 當(dāng) x +時的極限，記為：無極限舉例：均存在且相等。及存在的充要條件是定理)(lim)(lim )(lim.xfxfxfxxx1( )f xx ，( )sinf xx，xxfarctan)(12.lim(1)1xx例；1lim(1)1xx ；lim(1)1xxe2. 當(dāng)當(dāng) x x0 時函數(shù)的極限時函數(shù)的極限00lim( )( )()xxf xaf xa xx或(1)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當(dāng) x

6、無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)當(dāng) x x0時的極限，記為：00lim( )( )()xxf xaf xa xx或00lim( )( )()xxf xaf xa xx或(3)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當(dāng) x 從x0右邊無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)當(dāng) x x0時的右極限，記為：(2)定義 對于函數(shù) f (x)，如果當(dāng) x 從x0左邊無限地趨近于 x0 時，函數(shù) f (x)無限地趨近于一個常數(shù)a，則稱a為函數(shù) f (x)當(dāng) x x0時的左極限，記為：11213. ( )021x

7、xf xx例討論函數(shù)在處是否有極限。?1212lim)(lim1100 xxxxxf解：=1?110021lim( )lim121xxxxf x110021lim( )lim121xxxxf x ，0002. lim( )lim( ) lim( )xxxxxxf xf xf x定理存在，均存在且相等。0lim( )xf x不存在。104. ( )00010 xxf xxxxx，例討論函數(shù)，在處是否有極限。，00lim( )lim(1)1xxf xx解：，00lim( )lim(1)1xxf xx ，00lim( )lim( )xxf xf x，0lim( )xf x不存在。無極限舉例： 在討論

8、分段函數(shù)的分割點的極限時， 一定要考慮左、右極限。11) ( )0f xxx，2) ( )0 xf xxx，13) ( )sin0f xxx，14) ( )arctan0f xxx，(四四) 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)004 ()lim( )0 (0 )( )0 ( )0 )xxf xaaaxf xf x定理保號性 若且或，則在點的某個鄰域內(nèi)，有或。0( )0 ( )0 )lim( )0 (0)xxf xf xf xaaa推論：若或且，則或。03()lim( )xxf x定理唯一性 若存在，則極限值必唯一。000005()( )( )( )()( )( )( )lim( )lim ( )li

9、m( )xxxxxxf xg xh xxxg xf xh xg xh xaf xa定理夾逼定理 設(shè)函數(shù)，在點的某個鄰域內(nèi)可除外 滿足條件：且有，則。002.lim( )lim( )nnxxxxf xaf xa推論若， 則 極限運算法則極限運算法則0001.lim( )lim( )lim ( )( )xxxxxxf xag xbf xg xab法則若， 則0002.lim( )lim( )lim ( )( )xxxxxxf xag xbf xg xa b法則若， 則0003.lim( )lim( )0( )lim( )xxxxxxf xag xbbf xag xb法則若，且，則001.lim(

10、)lim( )xxxxf xaccf xca推論若， 為常數(shù)，則21313. lim1xxxx例計算215. lim1nxxxxnx例計算3x-8134.lim2xx例計算0116.limnxxx例計算4222) 1( nnn1 “0”是作為無窮小的唯一的常數(shù)。( (五五) ) 無窮小無窮小( (量量) )和和( (無窮大量無窮大量) )1. 1. 無窮小無窮小( (量量) )定義：極限為零的數(shù)列和函數(shù)稱為無窮小。 為無窮小。，則稱數(shù)列如果nnnxx0lim時的無窮小。為，則稱函數(shù)如果xxfxfx)(0)(lim時的無窮小。為，則稱函數(shù)如果0)(0)(lim0 xxxfxfxx。為小為了討論方

11、便，記無窮0lim1210uu定理若 為無窮大，則 為無窮小，若為無窮小且，則為無窮大。定義：絕對值無限增大的數(shù)列或函數(shù)稱為無窮大。2. 無窮大無窮大 ()limlim0uaua定理1 極限與無窮小的關(guān)系的充要條件是， 其中。 3. 無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小與無窮大的關(guān)系定理2. 設(shè) 為無窮小，u 有界，則 u 也是無窮小。推論1. 常數(shù)乘以無窮小仍是無窮小。推論2. 無窮小乘以無窮小仍是無窮小。推論. 有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小。有限個無窮小的乘積仍是無窮小。3.limuau推論若為無窮小， 則也為無窮小lim(0)ua au若為無窮小， 則也為無窮小。定理1. 設(shè) 和 為無窮小，則

12、也是無窮小4. 4. 無窮小無窮小( (量量) )的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)1. 1. 兩個重要極限兩個重要極限1sinlim10 xxx：重要極限( (六六) ) 兩個重要極限兩個重要極限12lim(1)xxex重要極限 ：，10lim(1)xxxe201 cos8.limxxx例求21)22sin(21lim2sin2limcos1lim2022020 xxxxxxxxx解：22cos222sinlim2tanlim00 xxxxxxx解：0tan27.limxxx例求329.lim(1)xxx例求23223)21 (211lim)21 (limexxxxxxx解：2110.lim()21xxx

13、x例求1 e( )lim( ) 1( )lim( )1lim ( )lim( )g xf xg xf xg xf xe 設(shè)，且，則0ln(1)12.limxxx例求21011.lim(cos )xxx例求2011lim(cos1)2xxxee 解：原式1ln)1ln(lim10exxx解：原式1ln(1) 00 xetxtxt 解：令，則，當(dāng)時，0113.limxxex例求1)1ln(lim1lim00ttxetxx3000sin1 coslim1 lim0 limxxxxxxxxx 而，兩個無窮小的商實際反映了在變化過程中趨于零的速度快慢程度。為此引入定義等都是無窮小。時例如：當(dāng)3,cos1

14、 ,sin,0 xxxxx兩個無窮小的代數(shù)和、積仍為無窮小，那么兩個無窮小的商會是什么呢？2. 無窮小的比較無窮小的比較lim(0)kc ck如， 稱為 的 階無窮小。1.lim0 lim0定義 設(shè)，lim0( ) 如， 則稱為 的高階無窮小，記作，或稱為 的低階無窮小。lim(0)( )c co如， 則稱為 的同階無窮小，記作。lim1特別當(dāng)， 則稱為 的等價無窮小，記作。3. 無窮小的主部無窮小的主部21115.sinnnnn例 問當(dāng)時，是 的幾階無窮??？2.()lim0( )( ) 定義給定無窮小 ，若存在無窮小 ，使得為 的高階無窮小，即或，則稱為 的主部，此時。. 等價無窮小的代換定

15、理等價無窮小的代換定理.limlimlim定理1 如果 、 、均為無窮小，且存在，則。2.lim0定理如果 、為無窮小，且，則。當(dāng) x 0 時，常見的等價無窮小xxxxxxxxarctan,tan,arcsin,sin21cos,ln(1) ,12xxxxx ex1ln , 11,(1)1xnxaxaxxxn0ln(1)14.limsinxxx例求201 cos15.lim(1)ln(1 tan )xxxex例求20sincos116.limtanxxxxx例求1411 1.2 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性000lim0lim( )()xxxyf xf x 連續(xù)的等價定義：連續(xù)的三個要素：(一一)

16、 函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的概念定義1設(shè)函數(shù) f (x) 在點 x0 的某個鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量增量 x 趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)增量y = f ( x0+ x)f ( x0 )也趨于零，那末稱函數(shù) f (x)在 x0 處連續(xù)。f (x) 在 x0 點處有定義、有極限、極限值等于函數(shù)值。1. 函數(shù)在函數(shù)在點 x0 處連續(xù)處連續(xù)定理1.函數(shù) f (x) 在點 x0 處連續(xù)的充要條件是： 函數(shù) f (x) 在點 x0 處既左連續(xù)又右連續(xù)。)()()()0(0000 xfxfxfxf或即)()(lim00 xfxfxx左連續(xù)：左、右連續(xù))()(lim00 xfxfxx右連續(xù)：)()()()0(000

17、0 xfxfxfxf或即如果 f (x) 在 (a,b) 內(nèi)任意一點連續(xù)，則稱 f (x) 在(a,b)上連續(xù)，或稱 f (x) 為 (a,b) 上的連續(xù)函數(shù)。如果 f (x)在 (a,b) 上連續(xù)，且在 x=a 處右連續(xù)，在 x=b 處左連續(xù)，則稱 f (x) 在 a,b 上連續(xù)。1sin01. ( )000 xxf xxxx，例討論函數(shù)，在處的連續(xù)性。，2. 函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間a,b 上連續(xù)上連續(xù)3. 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點間斷點的常見類型如果函數(shù) f (x) 在 x0 處不 連續(xù)(即連續(xù)的三個要素中有一個不滿足)，那末稱 f (x) 在 x0 處間斷。處在111)(xxxf處在00,

18、 00,1sin)(xxxxxf無窮間斷點震蕩間斷點左、右極限均存在的間斷點,稱為第一類間斷點，其余的間斷點,稱為第二類間斷點。處在0,0, 00,1arctan)(xxxxxf處在0,sin)(xxxxf跳躍間斷點可去間斷點1112 . ( )111011xxf xxxxxx 例設(shè)，問，是否為間斷點？若是，確定其類型。1103. ( )1000 xxfxexx，例設(shè)，問是 否 為 間 斷 點 ？ 若 是 ，確 定 其 類 型 。(二二) 函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)處也連續(xù)。在點此時設(shè)那么處均連續(xù)在點如果函數(shù)定理000)0)()()(, )()(, )()(,)(, )(. 2xxgxgxfxgxfxgxfxxg