二重積分的計(jì)算83498

1、第二節(jié)第二節(jié) 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 x1 1、型區(qū)域型區(qū)域 )(2xy abd)(1xy dba)(2xy )(1xy 特點(diǎn)：特點(diǎn)： . ),()(:)1(21bxaxyxd . )2(的邊界于兩點(diǎn)的邊界于兩點(diǎn)的直線交的直線交軸軸內(nèi)任一點(diǎn)作垂直于內(nèi)任一點(diǎn)作垂直于過過dxd如何求積分如何求積分 ?),( ddyxf. ),(,),(,為頂?shù)那斨w的體積為頂?shù)那斨w的體積以曲面以曲面為底為底的值等于以的值等于以根據(jù)幾何意義根據(jù)幾何意義yxfzddyxfd a0 xbzyx)(xa),( yxfz)(1xy)(2xy按平行截面面積

2、已知的按平行截面面積已知的 立體體積的計(jì)算公式：立體體積的計(jì)算公式： badxxav)(而而 )()(21),()(xxdyyxfxadxdyyxfdyxfdbaxx )()(21),(),(*) ),()()(21 xxbadyyxfdx由此得二重積分計(jì)算公式：由此得二重積分計(jì)算公式： 即化二重積分為二次積分。即化二重積分為二次積分。 (*)式表示先對(duì)式表示先對(duì) )()(21 ),(xxdyyxf積分，積出來后得積分，積出來后得 x的函數(shù)，將其作為被積函數(shù)放到第的函數(shù)，將其作為被積函數(shù)放到第 到一個(gè)關(guān)于到一個(gè)關(guān)于 一個(gè)積分里再積；而不是兩個(gè)積分的簡單乘積。一個(gè)積分里再積；而不是兩個(gè)積分的簡單

3、乘積。 y2 2、型區(qū)域型區(qū)域 )(2yx )(1yx dcdcd)(2yx )(1yx d特點(diǎn)：特點(diǎn)： ;),()(:)1(21dycyxyd . )2(的邊界于兩點(diǎn)的邊界于兩點(diǎn)軸的直線交軸的直線交內(nèi)任一點(diǎn)作垂直于內(nèi)任一點(diǎn)作垂直于過過dyd類似于前面的方法，可得到二重積分的計(jì)算公式：類似于前面的方法，可得到二重積分的計(jì)算公式： dydxyxfdyxfddcyy )()(21),(),( )()(21),(yydcdxyxfdy3d2d1d如果積分區(qū)域如右圖，則需分割為：如果積分區(qū)域如右圖，則需分割為： 321dddd 由積分的可加性，得由積分的可加性，得 .321 dddd例例1 1、 .,

4、 2, 1,所圍所圍由直線由直線其中其中計(jì)算計(jì)算xyxydxydxdyd 例例2 2、 .,)(222所圍所圍由拋物線由拋物線其中其中計(jì)算計(jì)算yxxyddxdyyxd 例例3 3、 .1, 1,122所圍所圍由由其中其中計(jì)算計(jì)算 yxxyddxdyyxyd（1 1）畫出積分區(qū)域）畫出積分區(qū)域d。 （2 2）選擇恰當(dāng)?shù)姆e分區(qū)域類型。）選擇恰當(dāng)?shù)姆e分區(qū)域類型。 （3 3）定出積分限，通過二次積分求出二重積分。）定出積分限，通過二次積分求出二重積分。 投影穿刺法投影穿刺法計(jì)算二重積分的一般步驟：計(jì)算二重積分的一般步驟： 例例4 4、 .)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(,22為頂點(diǎn)的三角

5、形區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形區(qū)域是以是以其中其中計(jì)算計(jì)算ddxdyexdy 例例5 5、 .,: ,)()()()(:dycbxaddyygdxxfdxdyygxfdcdba 其中其中證明證明例例6 6、交換下列逐次積分的次序。、交換下列逐次積分的次序。 .),( ),()3(;),()2( ;),()1xxxyyxdyyxfdxdyyxfdxdxyxfdydyyxfdx例例7 7、 214112121.dxedydxedyiyyxyyxy計(jì)算積分計(jì)算積分例例8 8、 . 10 , 10:,2 yxddxdyxyd其中其中計(jì)算計(jì)算例例9 9、用二重積分求下列曲（

6、平）面所圍成立體的體積。、用二重積分求下列曲（平）面所圍成立體的體積。 . 0, 0, 1,)3(; 0, 1, 0, 0),()2(;,)1(222222 yxyxxyzyxzzxyxyxyxxzrzxryx求體積關(guān)鍵：畫出投影區(qū)域求體積關(guān)鍵：畫出投影區(qū)域d，想象出曲頂。，想象出曲頂。 例例1010、求下列積分。、求下列積分。 others , 020 , 10 , 1),( ),(1yxyxfdxdyyxfxy）（ others , 020 , 20 ,),( ),(22xyxxyyxfdxdyyxfzyx）（練練 習(xí)習(xí) 題題 .)()(,)(,1 , 0)(. 3.1:. 2),()4(

7、 ),(),()2( ),()3( ),(),()1(:. 110101101440442182820221020212032222 xyyyyxxxaaxxaxxxxdyyfxfdxadxxfcxfdxxdydxyxfdydyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfdx求求并設(shè)并設(shè)設(shè)設(shè)計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分更換下列積分次序更換下列積分次序作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題7-27-2（1 1）：）：1 1（奇數(shù)題）、（奇數(shù)題）、5 5 （奇數(shù)題）（奇數(shù)題）二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 aoddrr r d 如右圖，極坐標(biāo)下面積元素：如右圖，極坐標(biāo)下面積元素： r

8、drddxdyd由此得二重積分在極坐標(biāo)下由此得二重積分在極坐標(biāo)下 的表達(dá)式為：的表達(dá)式為： dddrdrdrrfdxdyyxfdyxf)sin,cos(),(),( d如何定限化二重積分為二次積分？如何定限化二重積分為二次積分？ ado情形情形1 1：特征如下圖特征如下圖 , ).()(21 rrr積分公式如下：積分公式如下： rdrrrfdrdrdrrfdrr)sin,cos()sin,cos()()(21 )(1 rr)(2 rraod)(2 rr)(1 rr情形情形2 2：特征如右圖特征如右圖 , ).(0 rraod)( rrrdrrrfdrdrdrrfdr)sin,cos()sin,

9、cos()(0 積分公式如下：積分公式如下： 情形情形3 3：特征如右圖特征如右圖 ).(0 rrdoa)( rr,20 積分公式如下：積分公式如下： rdrrrfdrdrdrrfdr)sin,cos()sin,cos(20)(0 （1 1）直角坐標(biāo)下：）直角坐標(biāo)下： （2 2）極坐標(biāo)下：）極坐標(biāo)下： . drdrd; ddxdy例例1 1、 . 10 ,11:, ),(2 xxyxddxdyyxfd其中其中的極坐標(biāo)形式的極坐標(biāo)形式寫出積分寫出積分例例2 2、 .2:)2(. 0, 0,:,)1(0222)(222 dxeyxayxddxdyexdyx證明證明計(jì)算積分計(jì)算積分面積公式：面積公式

10、： 例例3 3、 . 03, 034,2,)(222222的平面閉區(qū)域的平面閉區(qū)域所圍成所圍成及直線及直線為圓為圓其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分 xyyxyyxyyxddxdyyxd例例4 4、 . 222222所圍體積所圍體積與圓柱面與圓柱面求球面求球面axyxazyx 例例5 5、 . )(2)(222222222所圍成的圖形的面積所圍成的圖形的面積和和求曲線求曲線ayxyxayx .,22方法積分方法積分時(shí)通常可以考慮極坐標(biāo)時(shí)通?？梢钥紤]極坐標(biāo)式中含有式中含有表達(dá)表達(dá)當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)域當(dāng)被積函數(shù)和積分區(qū)域由上面例子可以看到由上面例子可以看到y(tǒng)x aaaaadxxfdxxfxfdxxfxf0.

11、)(2)(,)( ; 0)(,)( :)1(為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí)定積分中定積分中 ddyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxfxdyyxf1),(),( ),(2),(),( 0),( ,),( :)2(則則軸對(duì)稱軸對(duì)稱關(guān)于關(guān)于積分區(qū)域積分區(qū)域的奇偶函數(shù)的奇偶函數(shù)為為二重積分中二重積分中.1在上半平面部分在上半平面部分為為dd關(guān)于積分中對(duì)稱性的應(yīng)用：關(guān)于積分中對(duì)稱性的應(yīng)用： ddyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxfydxyxf2),(),( ),(2),(),( 0),(,),(則則軸對(duì)稱軸對(duì)稱關(guān)于關(guān)于積分區(qū)域積分區(qū)域的奇偶函數(shù)的奇偶函數(shù)為為.2

12、在右半平面部分在右半平面部分為為dd ddyxfyxfdxdyyxfyxfyxfdxdyyxfdyxyxf1),(),( ),(2),(),( 0),(,),(則則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱積分區(qū)域積分區(qū)域的奇偶函數(shù)的奇偶函數(shù)同時(shí)為同時(shí)為.1在上半平面部分在上半平面部分為為dd dddxdyxyfdxdyyxfxyd.),(),(,則則對(duì)稱對(duì)稱關(guān)于直線關(guān)于直線若若例例6 6、 2121212132223221212. 4. 4. 4.) (,)( ,)(, 20 , 10: ; 22, 11:21iidiiciibiiadxdyyxidxdyyxiyxdyxddd 則有則有又又設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域c例例

13、8 8、 . 41:,)sin(222222 yxddxdyyxyxd計(jì)算積分計(jì)算積分例例7 7、 0 . )sincos(4 .2 . sincos2 .) ()sincos(,)1, 1()1 , 1(),1 , 1(1111ddxdyyxxycxydxdybydxdyxadxdyyxxyddxoyddddd 等于等于則則在第一象限的部分在第一象限的部分是是的三角形區(qū)域的三角形區(qū)域?yàn)轫旤c(diǎn)為頂點(diǎn)和和面上以面上以是是設(shè)設(shè)a三、利用換元法計(jì)算二重積分三、利用換元法計(jì)算二重積分 定理：定理： .),(),(),(),(,:)3(; 0),(),(),()2();(),(),()1(:,),(),(

14、:,),()1(dudvvujvuyvuxfdxdyyxfddtvuyxvujdcvuyvuxdxoyduovvuyyvuxxtdxoyyxfdd 則有則有是一對(duì)一的是一對(duì)一的變換是變換是且滿足且滿足面上的面上的變?yōu)樽優(yōu)槊嫔系拈]區(qū)域面上的閉區(qū)域?qū)⒆儞Q變換上連續(xù)上連續(xù)面上的閉區(qū)域面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)例例1 1、 .2,所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域和直線和直線軸軸軸軸為由為由其中其中計(jì)算積分計(jì)算積分 yxyxddxdyedxyxy例例2 2、 . 1:,122222222 byaxddxdybyaxd計(jì)算積分計(jì)算積分dxyo2 yxd uvovu vu 2 v練練 習(xí)習(xí) 題題 作業(yè)作業(yè)習(xí)題習(xí)題7-27-2（2 2）：）：2 2（1 1）（）（3 3）、）、3 3