可用函數導數及其應用練習題

1、【感悟高考真題】1、（2011·福建卷文科·6）若關于x的方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是（ ）（A）. (-1,1) （B）. (-2,2) （C）. (-，-2) （2，+） （D）.（-，-1）（1，+）【思路點撥】方程x2+mx+1=0若有兩個不相等的實數根，需滿足其判別式，由此即可解得的取值范圍.【精講精析】選C. 方程有兩個不相等的實數根，需判別式，解得或.2、（2011·新課標全國高考文科·10）在下列區(qū)間中，函數的零點所在的區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 【思路點撥】結合函數的單調性，將4個選項中涉及的

2、端點值代入函數的解析式，零點所在的區(qū)間必在使得端點函數值異號的區(qū)間內.【精講精析】選C 是上的增函數且圖象是連續(xù)的，又，定在內存在唯一零點.3、（2011·陜西高考理科·T6）函數在內 （ ）（A）沒有零點 （B）有且僅有一個零點（C）有且僅有兩個零點 （D）有無窮多個零點【思路點撥】利用數形結合法進行直觀判斷，或根據函數的性質（值域、單調性等）進行判斷?！揪v精析】選B （方法一）數形結合法，令，則，設函數和，它們在的圖象如圖所示，顯然兩函數的圖象的交點有且只有一個，所以函數在內有且僅有一個零點；（方法二）在上，所以；在，所以函數是增函數，又因為，所以在上有且只有一個零點

3、4、（2011·山東高考文科·16）已知函數=當2a3b4時，函數的零點 .【思路點撥】由條件易知函數f(x)在（0,+）上為增函數，然后利用函數的零點存在定理求出函數的零點所在區(qū)間.【精講精析】因為函數在（0，上是增函數，即.5、（2010湖北理數）17（本小題滿分12分） 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關系：C（x）=若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元。設f（x）為隔熱層建造費用與

4、20年的能源消耗費用之和。（）求k的值及f(x)的表達式。（）隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值。思路解析：本小題主要考查函數、函數等基礎知識,同時考查運用數學知識解決實際問題的能力.解答:(I)設隔熱層厚度為xcm,由題設,每年能源消耗費用為.再由C(0)=8,得k=40,因此,而建造費用為.最后得隔熱層建造費用與20年能源消耗費用之和為(II)【考點精題精練】一、選擇題1、若函數f(x)=x3+x2-2x-2的一個正數零點附近的函數值用二分法逐次計算，參考數據如下表：f(1)=-2f(1.5)=0.625f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.260f(1.4

5、38)=0.165f(1.4065)=-0.052那么方程x3+x2-2x-2=0的一個近似根（精確到0.1）為（ C ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.52、若函數在區(qū)間a,b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法正確的是（ D ）A若，不存在實數使得；B若，存在且只存在一個實數使得；C若，有可能存在實數使得； D若，有可能不存在實數使得；解析：由零點存在性定理可知選項D不正確；對于選項B，可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在三個解”推翻；同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足，但其存在兩個解”；選項D正確，見實例“在區(qū)間上滿足，但其不存在實數解”3、關于“二分法”求方程的近似解，

6、說法正確的是（D）A“二分法”求方程的近似解一定可將在a,b內的所有零點得到；B“二分法”求方程的近似解有可能得不到在a,b內的零點；C應用“二分法”求方程的近似解，在a,b內有可能無零點；D“二分法”求方程的近似解可能得到在a,b內的精確解；解析：如果函數在某區(qū)間滿足二分法題設，且在區(qū)間內存在兩個及以上的實根，二分法只可能求出其中的一個，只要限定了近似解的范圍就可以得到函數的近似解，二分法的實施滿足零點存在性定理，在區(qū)間內一定存在零點，甚至有可能得到函數的精確零點。4、若函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25， 則可以是A. B. C. D. 答案 A解析 的零點為x=,的零點為x=1

7、, 的零點為x=0, 的零點為x=.現在我們來估算的零點，因為g(0)= -1,g()=1,所以g(x)的零點x(0, ),又函數的零點與的零點之差的絕對值不超過0.25，只有的零點適合，故選A。5、某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系式是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,xN)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是( )(A)100臺 (B)120臺 (C)150臺 (D)180臺【解析】選C.要使生產者不虧本，則有3 000+20x-0.1x225x,解上式得：x-200或x150,又0<x&l

8、t;240,xN，x的最小值為150.6、(2011·北京模擬)如圖所示，一質點P(x,y)在xOy平面上沿曲線運動，速度大小不變，其在x軸上的投影點Q(x,0)的運動速度V=V(t)的圖象大致為( )【解析】選B.由圖可知，當質點P(x,y)在兩個封閉曲線上運動時，投影點Q(x,0)的速度先由正到0、到負數，再到0，到正，故A錯誤；質點P(x,y)在終點的速度是由大到小接近0，故D錯誤；質點P(x,y)在開始時沿直線運動，故投影點Q(x,0)的速度為常數，因此C是錯誤的，故選B.7、(2011·濟南模擬)汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽

9、車的行駛路程s看作時間t的函數，其圖象可能是( )【解析】選A.從汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，可比較圖象中所反映的速度，速度是由慢到快，再到勻速，最后到減速，所以A選項正確.8、某商店已按每件80元的成本購進某商品1 000件,根據市場預測,銷售價為每件100元時可全部售完,定價每提高1元時銷售量就減少5件,若要獲得最大利潤,銷售價應定為每件( )(A)100元 (B)110元 (C)150元 (D)190元【解題提示】關鍵將利潤表示為提高售價x元的函數.【解析】選D.設售價提高x元,則依題意y=(1 000-5x)×(20+x)=-5x2+900x+20 0

10、00=-5(x-90)2+60 500.故當x=90時,ymax=60 500,此時售價為每件190元.9、(2011·淄博模擬)某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定價20元，羽毛球每個定價5元，該店制定了兩種優(yōu)惠方法：買一副球拍贈送一個羽毛球；按總價的92%付款.現某人計劃購買4副球拍和30個羽毛球，兩種方法中，更省錢的一種是( )(A)不能確定 (B)同樣省錢(C)省錢 (D)省錢【解析】選D.方法用款為4×20+26×5=80+130=210(元)方法用款為(4×20+30×5)×92%=211.6(元)210211.6，故

11、方法省錢.10、在一次數學試驗中，采集到如下一組數據：則x,y的函數關系與下列哪類函數最接近？(其中a，b為待定系數)( )(A)y=a+bx (B)y=a+bx(C)y=ax2+b (D)y=a+【解題提示】先觀察兩組數據的關系，然后代入選項后驗證即可.【解析】選B.由表格數據逐個驗證，知模擬函數為y=a+bx.11、方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（ C ）A(0，1) B.(1，2) C(2，3) D(3，+)解析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標，顯然在區(qū)間(1，3)內，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑

12、直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時，lgx=lg2，3-x=1。由于lg21，因此2，從而判定(2，3)，故本題應選C。12、國家規(guī)定個人稿費納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全部稿酬的11%納稅.已知某人出版一本書，共納稅420元，這個人應得稿費(扣稅前)為( )(A)2 800元 (B)3 000元(C)3 800元 (D)3 818元【解題提示】由題意寫出分段函數的解析式，然后由函數值求自變量的值.解答:選C.設扣稅前應得稿費為x元，則應納稅額y為分段函數，由題意，得如果稿費為4

13、 000元應納稅為448元，現知某人共納稅420元，所以稿費應在8004 000元之間，(x-800)×14%=420,x=3 800.二、填空題1、一種產品的成本原為a元，在今后的m年內，計劃使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是經過年數x(0<xm)的函數，其關系式y=f(x)可寫成_.【解析】依題意有y=a(1-p%)x(0<xm).答案：y=a(1-p%)x(0<xm)2、某出租車公司規(guī)定乘車收費標準如下：3公里以內為起步價8元(即行程不超過3公里，一律收費8元)；若超過3公里，除起步價外，超過的部分再按1.5元/公里計價；若司機再與某乘客約定按四舍五入以

14、元計費不找零錢已知該乘客下車時乘車里程數為7.4公里，則該乘客應付的車費為_.【解析】依題意得，實際乘車車費為：8+1.5×(7.4-3)=14.6，應付車費15元.答案：15元3、(2011·焦作模擬)計算機的價格大約每3年下降,那么今年花8 100元買的一臺計算機，9年后的價格大約是_元.【解析】設計算機價格平均每年下降p%,由題意可得=(1-p%)3,p%=1-，9年后的價格y=8 1001+-19=8 100×()3=300(元).答案:3004、如圖所示，向高為H的水瓶A，B，C，D同時以等速注水，注滿為止：(1)若水深h與注水時間t的函數圖象是下圖中的

15、a，則水瓶的形狀是_;(2)若水量v與水深h的函數圖象是下圖中的b，則水瓶的形狀是_;(3)若水深h與注水時間t的函數圖象是下圖中的c，則水瓶的形狀是_;(4)若注水時間t與水深h的函數圖象是下圖中的d，則水瓶的形狀是_.【解析】(1)該題圖中的a說明了注入水的高度是勻速上升的，只有C中的容器能做到，所以應填C；(2)該題圖中的b說明了水量v隨著水深h的增長越來越快，在已知的四個容器中，只有A中的容器能做到，所以應填A；(3)該題圖中的c說明水深h與注水時間之間的對應關系，且反映出來的是升高的速度是由快到慢再到快，在已知的四個容器中，只有D中的容器能做到，所以應填D；(4)該題圖中的d說明水深

16、h與注水時間t之間的對應關系，且反映出來的是水深升高的速度是先慢后快，在已知的四個容器中，只有B中的容器能做到，所以應填B答案:(1)C (2)A (3)D (4)B三、解答題1、(2011·濰坊模擬)某企業(yè)擬在2011年度進行一系列促銷活動，已知其產品年銷量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例，當年促銷費用t=0萬元時，年銷量是1萬件已知2011年產品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件產品需再投入32萬元的生產費用，若將每件產品售價定為：其生產成本的150%與“平均每件促銷費的一半”之和，則當年生產的商品正好能銷完(1)將2011年的利潤y(萬元)表

17、示為促銷費t(萬元)的函數；(2)該企業(yè)2011年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)年利潤最大？(注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用)【解析】(1)由題意：3-x=，將t=0,x=1代入得k=2,x=3-,當年生產x(萬件)時，年生產成本=32x+3=32(3-)+3,當銷售x(萬件)時，年銷售收入=150%32(3-)+3+t,由題意，生產x萬件產品正好銷完年利潤=年銷售收入-年生產成本-促銷費即y=(t0).(2)y=50-()50-2=42(萬件)當且僅當即t=7時，ymax=42,當促銷費定在7萬元時，利潤最大.2、設函數，其中常數為整數。（1）當為何值時，；（2）定理：若函數在上連續(xù)，且與異號，則至少存在一點，使得試用上述定理證明：當整數時，方程在內有兩個實根。解析：（1）函數f(x)=xln(x+m),x(m,+)連續(xù)，且當x(m,1m)時,f （x）<0,f(x)為減函數,f(x)>f(1m)當x(1m, +)時,