第五章中心力場(chǎng)

1、編輯ppt1即角動(dòng)量即角動(dòng)量 是守恒量。因而是守恒量。因而 也是守恒量。也是守恒量。第五章第五章 中心力場(chǎng)中心力場(chǎng) 5.1 中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)中心力場(chǎng)中粒子運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)一、角動(dòng)量守恒與徑向方程一、角動(dòng)量守恒與徑向方程設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為 的粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則哈密頓量算符表示為：的粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則哈密頓量算符表示為：)(2)(2222rVrVpH222221( )22lHrV rrrrr 0,HLL2L對(duì)于勢(shì)能只與對(duì)于勢(shì)能只與 r r 有關(guān)而與有關(guān)而與, 無關(guān)的有心力場(chǎng)，使用球坐標(biāo)求無關(guān)的有心力場(chǎng)，使用球坐標(biāo)求 解較為方便。于是解較為方便。于是H H可改寫為：可改寫為：編輯

2、ppt2在求解中心力場(chǎng)中粒子的能量本征方程時(shí)，選用在求解中心力場(chǎng)中粒子的能量本征方程時(shí)，選用 為力學(xué)量完全集是很方便的。這是因?yàn)椋寒?dāng)選用了守恒量完為力學(xué)量完全集是很方便的。這是因?yàn)椋寒?dāng)選用了守恒量完全集（全集（ ， ， ）來對(duì)態(tài)進(jìn)行分類以后，屬于同一個(gè)能級(jí)）來對(duì)態(tài)進(jìn)行分類以后，屬于同一個(gè)能級(jí)的諸簡(jiǎn)并態(tài)的正交性問題將自動(dòng)得到保證。的諸簡(jiǎn)并態(tài)的正交性問題將自動(dòng)得到保證。H2LzLH2LzL能量本征方程為能量本征方程為: :ErV)(2222222221rLrrrr考慮到中心力場(chǎng)的特點(diǎn)：考慮到中心力場(chǎng)的特點(diǎn)：球?qū)ΨQ性球?qū)ΨQ性，選用球坐標(biāo)系是方便的，選用球坐標(biāo)系是方便的，此時(shí)利用此時(shí)利用 rxz球球

3、坐坐 標(biāo)標(biāo)r y編輯ppt3222221( )22lrV rErrrr左邊第一項(xiàng)稱為左邊第一項(xiàng)稱為徑向動(dòng)能算符徑向動(dòng)能算符，第二項(xiàng)稱為，第二項(xiàng)稱為離心勢(shì)能離心勢(shì)能。H的本征方程的本征方程 22222sin1)(sinsin1 L此式使用了角動(dòng)量平方此式使用了角動(dòng)量平方 算符算符 L2 的表達(dá)式：的表達(dá)式：編輯ppt4 , ,llmrR r Y 取取 :分離變量分離變量, ,徑向方程可寫為：徑向方程可寫為： 22222( )120lllEV rl ldRdRRdrr drrlmlllYzlm ,.,2, 1, 0,.2 , 1 , 0),(),(2的共同本征態(tài)。的共同本征態(tài)。是是 編輯ppt5徑

4、向波函數(shù)徑向波函數(shù) 或或 的歸一化條件可寫成的歸一化條件可寫成: :，（不慢于，（不慢于 ）求解方程時(shí)，可作以下替換，使得計(jì)算更方便，令：求解方程時(shí)，可作以下替換，使得計(jì)算更方便，令： 代入式得：代入式得：0r由于波函數(shù)要求有限，所以要求由于波函數(shù)要求有限，所以要求0r這就是這就是徑向方程的一個(gè)定解條件徑向方程的一個(gè)定解條件。 )(rR)(ru( )( )llrrR r編輯ppt6（1）不同的中心力場(chǎng)中粒子的能量本征波函數(shù)的差別）不同的中心力場(chǎng)中粒子的能量本征波函數(shù)的差別僅在于徑向波函數(shù)僅在于徑向波函數(shù)Rl(r)或或 l(r)，它們由中心勢(shì)它們由中心勢(shì)V(r)的性的性質(zhì)決定。一般而言，中心力場(chǎng)

5、中粒子的能級(jí)至少為質(zhì)決定。一般而言，中心力場(chǎng)中粒子的能級(jí)至少為2l+1重簡(jiǎn)并的。重簡(jiǎn)并的。 注意：注意：（2）在一定邊界條件下求解徑向方程，即可得出能）在一定邊界條件下求解徑向方程，即可得出能量本征值量本征值E。對(duì)于非束縛態(tài)，對(duì)于非束縛態(tài)，E是連續(xù)變化的。對(duì)于是連續(xù)變化的。對(duì)于束縛態(tài)，則束縛態(tài)，則E取離散值。取離散值。（3）在求解徑向方程時(shí)，由于束縛態(tài)邊界條件，將出）在求解徑向方程時(shí)，由于束縛態(tài)邊界條件，將出現(xiàn)徑向量子數(shù)現(xiàn)徑向量子數(shù)nr. 編輯ppt7二、二、兩體問題化為單體問題兩體問題化為單體問題 兩個(gè)質(zhì)量?jī)蓚€(gè)質(zhì)量分別為分別為m1和和m2的粒子，相互作用的粒子，相互作用 只依賴于只依賴于相對(duì)

6、距離。這個(gè)二粒子體系的能量本征方程為：相對(duì)距離。這個(gè)二粒子體系的能量本征方程為：12()V rr22221212121212()( ,)( ,)22TV rrr rEr rmm ET為體系的總能量。引入質(zhì)心坐標(biāo)為體系的總能量。引入質(zhì)心坐標(biāo) 和相對(duì)坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo) Rr1 12 212m rm rRmm12rrr 1x+r1r2rR 2Oyz二體運(yùn)動(dòng)二體運(yùn)動(dòng)可化為：可化為：I I 一個(gè)具有折合質(zhì)量的粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)一個(gè)具有折合質(zhì)量的粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng) II II 二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。二粒子作為一個(gè)整體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。 編輯ppt8222212121111RmmM 可以證明：可以證明：其中其中

7、體系的總質(zhì)量，體系的總質(zhì)量， 約化質(zhì)量或折合質(zhì)量。約化質(zhì)量或折合質(zhì)量。 12Mmm1212m mmm2222222RXYZ 2222222xyz 對(duì)兩個(gè)粒子坐標(biāo)的微商變換成對(duì)相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)的微商。對(duì)兩個(gè)粒子坐標(biāo)的微商變換成對(duì)相對(duì)坐標(biāo)和質(zhì)心坐標(biāo)的微商。 編輯ppt9則二粒子體系的能量本征方程則二粒子體系的能量本征方程可可化為：化為：2222( )22RTV rEM 此方程可分離變量，令此方程可分離變量，令( ) ( )Rr 得：得：22( )( )2RCRERM22( ) ( )( )2V rrEr TCEEE編輯ppt10分解為二個(gè)本征方程分解為二個(gè)本征方程: 描述描述質(zhì)心運(yùn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，是

8、能量為，是能量為EC的自由粒子的能量本征方程，的自由粒子的能量本征方程，EC是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量。即質(zhì)心按能量為是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)能量。即質(zhì)心按能量為EC的自由粒子的方式的自由粒子的方式運(yùn)動(dòng)。這沒有提供與體系內(nèi)部狀態(tài)有關(guān)的任何信息。運(yùn)動(dòng)。這沒有提供與體系內(nèi)部狀態(tài)有關(guān)的任何信息。 描述描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，E是相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量?？梢钥闯雠c單粒子能是相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量。可以看出與單粒子能量本征方程形式上相同，只不過應(yīng)把量本征方程形式上相同，只不過應(yīng)把m理解為約化質(zhì)量，理解為約化質(zhì)量，E理解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量。理解為相對(duì)運(yùn)動(dòng)能量。編輯ppt115.4 氫原子氫原子量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之量子力學(xué)發(fā)展史上最突出得成就之一是

9、對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予一是對(duì)氫原子光譜和化學(xué)元素周期律給予了相當(dāng)滿意得解釋。氫原子是最簡(jiǎn)單的原了相當(dāng)滿意得解釋。氫原子是最簡(jiǎn)單的原子，其子，其 SchrodingerSchrodinger方程可以嚴(yán)格求解，方程可以嚴(yán)格求解，氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)氫原子理論還是了解復(fù)雜原子及分子結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。編輯ppt12氫原子的原子核是一個(gè)質(zhì)子，帶電氫原子的原子核是一個(gè)質(zhì)子，帶電+e，在在它的周圍有一個(gè)電子繞著它運(yùn)動(dòng)它的周圍有一個(gè)電子繞著它運(yùn)動(dòng) 。它與。它與電子的庫侖吸引能為（取無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)）電子的庫侖吸引能為（取無窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)）)10(8cmr2( )eV rr 這是一個(gè)

10、兩體問題。這是一個(gè)兩體問題。 1x+r1r2rR 2Oyz編輯ppt13( )( )llrrR r具有一定角動(dòng)量的氫原子的徑向波函數(shù)具有一定角動(dòng)量的氫原子的徑向波函數(shù)滿足下列方程：滿足下列方程： 22222120lll ldeEdrrr邊界條件：邊界條件：(0)0l 為電子的約化質(zhì)量，為電子的約化質(zhì)量， epepm mmmme和和mp分別為電子和質(zhì)子的質(zhì)量。分別為電子和質(zhì)子的質(zhì)量。 (1) 編輯ppt14一、氫原子的能級(jí)一、氫原子的能級(jí)氫原子的能量本征值：氫原子的能量本征值：42212neEn 2212ea n (2)(2)玻爾半徑：玻爾半徑：22ae0.53oA主量子數(shù)：主量子數(shù)：n n見見

11、110110頁：頁：氫原子的能級(jí)圖氫原子的能級(jí)圖編輯ppt15編輯ppt16與與En相應(yīng)的歸一化的徑向波函數(shù)為：相應(yīng)的歸一化的徑向波函數(shù)為：二、氫原子的波函數(shù)二、氫原子的波函數(shù) /2( )1,22,lnlnlRrNeFnll 2rna3/23/201(1)!221 !2 (1)!lnlnnNaln nl 220( )1nlRrr dr合流超幾何函數(shù)合流超幾何函數(shù)編輯ppt17氫原子的束縛態(tài)能量本征函數(shù)為：氫原子的束縛態(tài)能量本征函數(shù)為：),()(),(lmnlnlmYrRr1,2,3,.0,1,2.1;0, 1, 2,nlnml 、),()(),(lmnlnlmYrRrH2lzl定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波

12、函數(shù)的共同本征函數(shù)。的共同本征函數(shù)。是氫原子體系是氫原子體系和和主量子數(shù)主量子數(shù)角動(dòng)量量子數(shù)角動(dòng)量量子數(shù)磁量子數(shù)磁量子數(shù)編輯ppt18 raaraaaraaaraaraaaraaaaaaerrRrerrRerrrRnrerRerrRneRn03100031000031000021000210002/3021158112/32311381132722/323121274342/33130312/3212112/32120/210)()()()(2)(3)()2()(21 編輯ppt1922( , , )(1)( , , )nnlmnlmzHElrl lrml 集。集。構(gòu)成正交，歸一，完備構(gòu)成正交

13、，歸一，完備),( rnlm1,2,3,.0,1,2.1;0, 1, 2,nlnml 編輯ppt201、能級(jí)簡(jiǎn)并度、能級(jí)簡(jiǎn)并度氫原子的能級(jí)氫原子的能級(jí)222aneEn 只與主量子數(shù)只與主量子數(shù)n n有關(guān)，有關(guān)，對(duì)應(yīng)的本征態(tài)對(duì)應(yīng)的本征態(tài) nlmlmnl , 2, 1, 0; 1.2 , 1 , 021021)1(21)12(nnnlnl 有：有：因此能級(jí)是簡(jiǎn)并的（除因此能級(jí)是簡(jiǎn)并的（除n=1n=1外），簡(jiǎn)并度為外），簡(jiǎn)并度為2n討論：討論：編輯ppt212、氫原子核外電子的幾率分布、氫原子核外電子的幾率分布),(rddrdrdsin2當(dāng)氫原子處于當(dāng)氫原子處于 nlm態(tài)時(shí)，在態(tài)時(shí)，在點(diǎn)周圍的體積元

14、點(diǎn)周圍的體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的幾率為:2*( , , )( , , )nlmnlmnlmnlmdWrdrdd 人們常常形象地把這個(gè)幾率分布叫做人們常常形象地把這個(gè)幾率分布叫做“幾率云幾率云”或或“電子云電子云” .編輯ppt22（1）在）在(r, r+dr)球殼中找到電子的幾率球殼中找到電子的幾率徑向概率分布徑向概率分布 22200( )( )sinnldW rr drrdrd d 02022202022sinsinddYdrrRddrdrYRlmnllmnldrrrRnl22)( 22( )( )nlnlrRr r稱為稱為徑向幾率密度或徑向分布函數(shù)徑向幾率密度或徑向分布函數(shù)。取

15、最大值的半徑稱為取最大值的半徑稱為最可幾半徑最可幾半徑。使使( )nlr編輯ppt23例如：氫原子處于基態(tài)例如：氫原子處于基態(tài)0010100YR，求最可幾半徑，求最可幾半徑? ?解：解： 100ddr令令 , 0 arar 經(jīng)檢驗(yàn)為最大值時(shí)ar 是最可幾半徑是最可幾半徑 arearrR2322210104 10 所以所以編輯ppt241，02，03，04，00 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36r / a0a0Wn l(r)0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1Wn l (r) r 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系n，lRn l (r) 的節(jié)點(diǎn)數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù) n r =

16、n 1編輯ppt252，13，14，10 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48r / a0a0Wn l(r)0.24 0.20 0.16 0.12 0.08 0.04Wn l (r) r 的函數(shù)關(guān)系的函數(shù)關(guān)系n，lRn l (r) 的節(jié)點(diǎn)數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù) n r = n 1編輯ppt26討論：討論：、關(guān)于描述氫原子核外電子分布問題、關(guān)于描述氫原子核外電子分布問題舊量子論：舊量子論：電子在核外作軌道運(yùn)動(dòng)電子在核外作軌道運(yùn)動(dòng) 量子力學(xué)：量子力學(xué)： 由于電子的波粒二象性使軌道概念由于電子的波粒二象性使軌道概念失去了意義，氫原子核外電子是以幾率分布的失去了意義，氫原子核外電子是

17、以幾率分布的形式出現(xiàn)。形式出現(xiàn)。、關(guān)于氫原子的第一玻爾軌道半徑、關(guān)于氫原子的第一玻爾軌道半徑 22ae量子力學(xué)幾率分布的觀點(diǎn)解釋量子力學(xué)幾率分布的觀點(diǎn)解釋a的物理意義的物理意義：當(dāng)氫原子處于當(dāng)氫原子處于1 1s s態(tài)時(shí)，在態(tài)時(shí)，在r r= =a a處找到電子的幾率處找到電子的幾率最大，在最大，在r r a a的區(qū)域仍有電子分布，只不過的區(qū)域仍有電子分布，只不過幾率較小而已。幾率較小而已。 編輯ppt27 dddrrrdrWnlmnlmsin| ),(|),(22 對(duì)對(duì) r r ( 0) 積分積分drrrRdYdWnllmlm202)(| ),(|),( )1(| ),(|2 dYlm dPNm

18、llm22| )(cos| R Rnlnl(r)(r)已歸一已歸一電子在電子在 (,(, ) ) 附近立體角附近立體角 d = sin d d 內(nèi)的幾率內(nèi)的幾率右圖示出了各種右圖示出了各種 ,m,m態(tài)下，態(tài)下，W W m m( ( ) ) 關(guān)于關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系，由于它與的函數(shù)關(guān)系，由于它與 角角無關(guān)，所以圖形都是繞無關(guān)，所以圖形都是繞z z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的立體圖形。的立體圖形。該幾率與該幾率與 角無關(guān)角無關(guān)例例 1 . 1 . = 0 , m = 0= 0 , m = 0 ， 有， 有 ： W W0000 = (1/4 = (1/4 ) )，與，與 也無關(guān)，也無關(guān)，是一個(gè)球?qū)ΨQ分布。是一

19、個(gè)球?qū)ΨQ分布。xyz( , ) dddsin(2) 在在中找到電子的幾率中找到電子的幾率角向分布角向分布方向的立體角方向的立體角編輯ppt28例例2. 2. =1, m=1, m= 1 1時(shí)，時(shí)，W W1,1,1 1() = (3/8)sin() = (3/8)sin2 2 。在。在 = /2= /2時(shí)，時(shí)，有最大值。有最大值。 在在 = 0 = 0 沿極軸方向（沿極軸方向（z z向）向）W W1,1,1 1 = 0 = 0。例例3. 3. = 1, m = 0 = 1, m = 0 時(shí)，時(shí)，W W1,01,0( ( ) = 3/4 cos) = 3/4 cos2 2 。正好與例正好與例2 2

20、相反，在相反，在 = 0= 0時(shí)，最大；在時(shí)，最大；在 =/2=/2時(shí)，時(shí)，等于零。等于零。z zyx xyZ編輯ppt29m = -2m = +2m = +1m = -1m = 0 = 2編輯ppt306zLL ， 135 45 和和 證明：證明：的氫原子中的電子，在的氫原子中的電子，在的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。的方向上被發(fā)現(xiàn)的幾率最大。 dYdWmm2),( 2),(mmYW 6zLL ，1 , 2 m iieYeY cossin815),( cossin815),( 1221解：解： 的電子，其的電子，其 2sin3215cossin815),(222212 mYW當(dāng)當(dāng) 135 45 和

21、和 時(shí)時(shí) 321512 W為最大值。即在為最大值。即在 13545 ，方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率最大。0 3215 在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在在其它方向發(fā)現(xiàn)電子的幾率密度均在之間。之間。例題例題1編輯ppt313、類氫離子類氫離子 以上結(jié)果對(duì)于類氫離子（以上結(jié)果對(duì)于類氫離子（He+，Li+，Be+等，這些離子等，這些離子的原子核外，只有一個(gè)電子）也都適用。但需把核電荷的原子核外，只有一個(gè)電子）也都適用。但需把核電荷+e換換為為+Ze（Z是核所帶正電荷數(shù)），而是核所帶正電荷數(shù)），而 換為相應(yīng)的約化質(zhì)量。特?fù)Q為相應(yīng)的約化質(zhì)量。特別是類氫離子的能級(jí)公式為別是類氫離子的能級(jí)公式為

22、 42222ne ZEn 1,2,3,n 編輯ppt32設(shè)氫原子處于狀態(tài)設(shè)氫原子處于狀態(tài) 123211210010132211100612131612131),( YRYRYRr 求氫原子能量、角動(dòng)量平方、角動(dòng)量求氫原子能量、角動(dòng)量平方、角動(dòng)量z z分量的分量的可能值及其幾率，并求其平均值?？赡苤导捌鋷茁剩⑶笃淦骄?。例題例題2編輯ppt33的可能值為：的可能值為： ，解：能量的可能值為：解：能量的可能值為： 概率分別為：概率分別為：1/31/3，1/21/2，1/61/6aeE221 aeE822 aeE1823 2L22620 、概率分別為：概率分別為：1/31/3，1/21/2，1/6

23、1/6概率分別為：概率分別為：1/31/3，1/21/2，1/61/6 zL 、0的可能值為：的可能值為： ，2_103432eEa 222 L31 zL平均值分別為：平均值分別為：編輯ppt34設(shè)氫原子處于狀態(tài)設(shè)氫原子處于狀態(tài)),()(23),()(21),(11211021 YrRYrRr求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量求氫原子能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能值，這些分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值?？赡苤党霈F(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。例題例題3編輯ppt350/301),(arear氫原子處在基態(tài)氫原子處在基態(tài)，求：，求： (1)r的平均值；(2)勢(shì)能 的平均

24、值；re2 (3)最可幾半徑； (4)動(dòng)能的平均值； 例題例題4編輯ppt36drddrreadrrrar sin1),(02200/23020 0/233004draraar01!naxnandxex04030232! 34aaa 解：解：(1) 02203020/23020200/230202002/23022214 4 sin sin1)()2(000aeaaedrreaeddrdreaeddrdreraereUararar 編輯ppt37 02022 sin),()(ddrdrrdrrdrreaar2/230042/23004)(rearar0/2030)22(4)(arreraadr

25、rd0321 , , 0 0)(arrrdrrd ，(3)電子出現(xiàn)在r+dr球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為 令令 0)( , 0 21rrr時(shí)，0/222003022)482(4)(areraraadrrd08)(230220eadrrdar當(dāng)當(dāng)為幾率最小位置 0ar 是最可幾半徑。是最可幾半徑。 編輯ppt38222221pT 02002/2/302 sin)(1200ddrdreeaTarar 02002/22/302 sin)(11200ddrdredrdrdrdreaarar0/020302 )2(1(240drearraaar20220204022)442(24aaaa(4) 22222111(

26、)(sin)sinsinrrrr 編輯ppt39 解：解： l（1 1）三維諧振子）三維諧振子 Hamilton Hamilton 量量zyxHHHzyxdzddyddxdH)(22222212222222 例例1. 求三維諧振子能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情況求三維諧振子能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情況 222122222212222221222222zdzdHydydHxdxdHzyx 其其中中5.3 二維、三維各向同性諧振子二維、三維各向同性諧振子 （105頁）頁） 編輯ppt40（2 2）本征方程及其能量本征值）本征方程及其能量本征值 )()()()()()(333222111zEzHyEyHxExH

27、nnnznnnynnnx 321232332121)()(3 , 2 , 1)(nnnNNnnnEinENini 其其中中 )()()(zyxEEEEzyx 解得能量本征值為：解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量則波函數(shù)三方向的分量 分別分別滿足如下三個(gè)方程：滿足如下三個(gè)方程：因此，設(shè)能量本征方程的解為：因此，設(shè)能量本征方程的解為： )()()(321111321zyxEEEEnnnnnnnnn 如果系統(tǒng)如果系統(tǒng) Hamilton Hamilton 量可以寫成量可以寫成 則必有：則必有：zyxHHHH 編輯ppt41（3 3）簡(jiǎn)并度）簡(jiǎn)并度 對(duì)對(duì)給給定定 N N= = n n1 1 + + n n2 2 + + n n3 3 的的組組合合方方式式數(shù)數(shù)列列表表分分析析如如下下： n n1 1 n n2 2 組組合合方方式式數(shù)數(shù) 0 0 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N N N+ +1 1 1 1 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N- -1 1 N N 2 2 0 0, , 1 1, , . . . ., , N N- -2 2 N N- -1