利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問(wèn)題

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)和邏輯關(guān)系一、函數(shù)的單調(diào)性求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法：1) 確定函數(shù)的f(X)的定義區(qū)間；2) 求f'(x)，令f'(x)0 ,解此方程，求出它在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根；3) 把函數(shù)f(x)的無(wú)定義點(diǎn)的橫坐標(biāo)和上面的各實(shí)數(shù)根按由小到大的順序排列起來(lái)，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)f(x)的定義區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間；4) 確定f '(x)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，由f '(x)的符號(hào)判定函數(shù)f x在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值求函數(shù)的極值的三個(gè)基本步驟1) 求導(dǎo)數(shù)f '(X)；2) 求方程f'(x)0的所有實(shí)數(shù)根；3)

2、檢驗(yàn)f'(x)在方程f'(x)0的根左右的符號(hào)，如果是左正右負(fù)(左負(fù)右正) ，則f(x)在這個(gè)根處取得極大(小)值 三、求函數(shù)最值1) 求函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上的極值；2) 將極值與區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值f(a), f(b)比較，其中最大的一個(gè)就是最大值，最小的一個(gè)就是最小值.四利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1）利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）.因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù) 的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的.即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)

3、性.具體有如下幾種形式： 直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（小），來(lái)證明不等式成立. 把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的.2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)的最值 .因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu) 造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得 該不等式恒成立.從而把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題解題方法總結(jié)和題型歸類(lèi)利用導(dǎo)數(shù)研究含參變量函數(shù)的恒成立問(wèn)題1）其中關(guān)鍵是根據(jù)題目找到給

4、定區(qū)間上恒成立的不等式，轉(zhuǎn)化成最值問(wèn)題。2）首先找不等式。一般來(lái)說(shuō)，有以下五類(lèi)題型：在某個(gè)區(qū)間上“單調(diào)遞增減”：表明f（X）0（ f（X）0 ）恒成立； “無(wú)極值點(diǎn)”，表明f(X)0恒成立或f(X)0恒成立； “曲線(xiàn)y f(x)在曲線(xiàn)y g(x)上方(下方)”：表明 f (x) g(x) 0 ( f (x) g(x) 0)恒成立；“無(wú)零點(diǎn)”:表明f(x) 0恒成立或f(x) 0恒成立； 標(biāo)志詞：“任意”，“所有”，“均有”，“恒成立”等等，此時(shí)題干已給出不等式例1 :設(shè)函數(shù)f(x) = ax 1 所以g(x)在區(qū)間0, 上單調(diào)遞增，在區(qū)間，1上單調(diào)遞減, =4，從而 a >4. 1當(dāng) x

5、<0，即 x 1,0)時(shí)，同理 aw"；：x2 x3g(x)在區(qū)間1,0)上單調(diào)遞增，g(x)min = g( 1) = 4，從而 a<4 ,綜上可知a= 4. 3x + 1 (x R),若對(duì)于任意 x 1,1，都有f(x)O成立，則實(shí)數(shù)a的值為?【解析】若x = 0,則不論a取何值，f(x)>0顯然成立;3131當(dāng) x>0，即 x (0,1時(shí)，f(x) = ax3 3x + 1 >0 可化為 a>= 設(shè) g(x)=： , x2 x3x2 x331 2x因此g(x) max = g【點(diǎn)評(píng)】首選考慮參量分離。得到a F (x)或aF(x),然后求F(

6、x)的最值則 g'(x)=【答案】a= 4.【難度】*【題】設(shè)函數(shù) f(x) = (x a)2lnx , a R(I)若X = e為y f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a ；2(n)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的x ( 0,3 e，恒有f(x) ve成立.注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).難度】*例2 :已知a R，函數(shù)f(x) = ( x2 + ax)eX (x R, e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)當(dāng)a = 2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(一1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng) a= 2 時(shí),f(x) = (x2+ 2x)ex,所以 f '(x)=

7、 ( 2x + 2)ex+ ( x2 + 2x)ex=(x2 + 2)e x.令 f (x)>0，即(一x2+ 2)ex>0，因?yàn)?ex>0 ,所以x2 + 2>0，解得一 j2<x<- ,：2.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是2,'2.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(1,1)上單調(diào)遞增， 所以f (x)>0對(duì)x ( 1,1)都成立.因?yàn)?f '(x)= ( 2x + a)ex+ ( x2 + ax)ex=x2+ (a 2)x + aex,所以x2+ (a 2)x+ aex>0 對(duì) x (1,1)都成立.因?yàn)?ex>0 ,所以一x2 +

8、 (a 2)x + a » 對(duì) x ( 1,1)都成立,x2 + 2x=(X + 1)二;對(duì) X (- 1,1)都成立.令 y FX+1)-陽(yáng)，則 y 7+1X+ 12>0.133所以 y<(1 +1)-芮=2，即"2.因此a的取值范圍為【點(diǎn)評(píng)】(1 )數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)遞增 (減)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間上大(小)于或者等于零恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題解決.(2)在形式上的二次函數(shù)問(wèn)題中，極易忘卻的就是二次項(xiàng)系數(shù)可能等于零的情況， 這樣的問(wèn)題在導(dǎo)數(shù)單調(diào)性的討論中是經(jīng)常遇到的，值得特別注意.【答案】a的取值范圍為3 ah2【難度】【解析】已知函數(shù)f(x(i)若

9、曲線(xiàn)求函數(shù)(n)若對(duì)于-alnx 2 (a 0). xf (x)在點(diǎn)P(1, f(1)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)f (x)的單調(diào)區(qū)間;(0,)都有 f(X 2(a1)成立,試求(0,x 2垂直,a的取值范圍;因?yàn)閒 (x)_2_2a2 a 所以f (1)H £1，所以axx，1 1所以f(x)2 Inx 2 f (x)2xx由f(x)0解得x2;由f (x)0解得0 x2.所以f (x)的單調(diào)增區(qū)間是(2,)，單調(diào)減區(qū)間是(0, 2) 2aax 2,& m2(II)f (x)22 ，由 f(x) 0解得x xxx，a2x 一(I)直線(xiàn)y2的斜率為1函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? .4分;由f

10、(x)0解得所以f (x)在區(qū)間(2,a)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞減a2所以當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值,a)都有2yminf(-).因?yàn)閷?duì)于X (0,af (x)2(a 1)成立,所以 f (2)2(aa1)即可則2 aln? 2a2(a 1).由 a In 2 aa解得0 a2e.a所以a的取值范圍是(0,2-)e8分【點(diǎn)評(píng)】此題直接求最值。此時(shí)不等式般形如f (x)A或 f (x)A ,直接求f(x)的最值?！敬鸢浮縜的取值范圍是(0,-) e【難度】*例4:已知函數(shù)f (x)ln(1x) mx.(I)當(dāng)m 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;(II)求函 數(shù)f (x)的

11、極值；(山)若函數(shù)f (x)在區(qū)間0,e2 1上恰有兩個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.【解析】(I)依題意，函數(shù) f (x)的定義域?yàn)?,當(dāng) m 1 時(shí)，f(x) ln(1 x) x,1f (x)12 分1 x1x由f (x)0得10 ,即01 x1 x解得x 0或x 1,又 Q x 1 , x 0f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,).(II) f (x)m , (x1)(1) m 0時(shí)，f (x)0恒成立f(x)在(1,)上單調(diào)遞增，無(wú)極值.6分(2)m 0時(shí),由于丄m1 1所以f (x)在1,丄1 m1上單調(diào)遞增，在1,m上單調(diào)遞減,從而f (x)極大值1f(- m1) m ln m 1.9分(II

12、I)由(II)問(wèn)顯然可知，當(dāng)m 0時(shí)，f(x)在區(qū)間0,e21上為增函數(shù),2在區(qū)間0,e1不可能恰有兩個(gè)零點(diǎn).10分當(dāng)m 0時(shí)，由1(II)冋知f (x)極大值=f ( m1)，又 f (0)0 ,0為f (x)的一個(gè)零點(diǎn).11分若f (x)在0,e恰有兩個(gè)零點(diǎn)，只需2f (e 1)0丄1 me212 m(e211e1)13分【點(diǎn)評(píng)】首先考慮參量分離。得到a F (x)或 aF(x)，然后求F(x)的最值。直接求最值。此時(shí)不等式一般形如f(x) A或f(x) A，直接2e2 1求f (x)的最值【難度】例5:已知函數(shù)f(x).1 aIn x ax1 .x(I)當(dāng)i 0 a-時(shí),討論函數(shù)f (x

13、)的單調(diào)性;2【答案】2 1(n)設(shè) g(x) x 2bx 4，當(dāng) a 時(shí)，若對(duì)任意 x (0,2), f(x) g(x)恒成立, 4求實(shí)數(shù)b的取值范圍.2/11a ax x (1 a)八【解析】：(i) Jx) a 222分xxxax (1a)(x 1),小2 (x 0)x令 f/(x)0得 X11 ,X213 分a1當(dāng)a 時(shí)，f (x) 0，函數(shù)f (x)在(0,)上單減-4分21 1a當(dāng) 0 a -時(shí)，1 ,2 a在(0,1)和(一,)上，有f (x)0 ,函數(shù)f (x)單減,a在(1, 口)上,f (x) 0,函數(shù)f (x)單增 6分a11 a13(n)當(dāng) a 時(shí)，3, f (x) l

14、n xx14 a4 4x由(i)知，函數(shù) f (x)在(0,1)上是單減，在(1,2)上單增1所以函數(shù)f (x)在(0,2)的最小值為f(1)-8分若對(duì)任意捲(0,2)，當(dāng)X2 1,2時(shí)，f(x) g(x)恒成立,只需當(dāng)x 1,2時(shí),gmax(X)丄即可2g(1)所以g(2)-2-21111411所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是,4代入解得13分【點(diǎn)評(píng)】注意如果條件改為f(xj g(x2)”恒成立，怎么樣解答，還可以移項(xiàng)構(gòu)造新函數(shù)嗎?I答案】b的取值范圍是7，)【難度】*例6 :設(shè)I為曲線(xiàn)C: y 在點(diǎn)(1, 0)處的切線(xiàn).x(I) 求I的方程；(II) 證明：除切點(diǎn)(1，0)之外，曲線(xiàn)C在直線(xiàn)I的下方

15、【解析】(I)設(shè)f x 巴，則f' x匚竺.xx所以f' 11 所以L的方程為y X 1 （n）令 g x x 1x，則除切點(diǎn)之外，曲線(xiàn)C在直線(xiàn)L的下方等價(jià)于g x >0 x 0, x 1 g x滿(mǎn)足g 1 =0，且1 In xx當(dāng)0 vx v 1時(shí)，x2 1<0,ln xv 0,所以g x v 0,故g x單調(diào)遞減;當(dāng)x> 1時(shí)，x21>0,ln x>0,所以g x >0,故g x單調(diào)遞減.所以 g x > g 1 =0x 0, x 1所以除切點(diǎn)之外，曲線(xiàn) C在直線(xiàn)L的下方.【點(diǎn)評(píng)】構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化直接求最值。此時(shí)不等式一般形如f(x)

16、 A或f(x) 直接求f(x)的最值。【答案】(I) y x 1【難度】*2【題】已知函數(shù)f(x) ax (a 2)x In x . (I)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線(xiàn)方程；(H)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1 , e上的最小值為-2，求a的取值范圍；(川)若對(duì)任意xX2 (0,), x1 x2，且f (x!)+2x f(X2)+2x2恒成立，求a的取值范圍.：【難度】*1【題】己知函數(shù)f (x) x x【題】(2015北京理)已知函數(shù) f x In 1 x(I)求曲線(xiàn)y f x在點(diǎn)0, f 0 處的切線(xiàn)方程; x(n)求證：當(dāng) x 0, 1 時(shí)，f x 2 x ；:3 2a x2 (a