柱、錐、臺體的表面積和體積

1、柱、錐、臺體的表面積和體積1.3 1.3 空間幾何體的表面積和體積空間幾何體的表面積和體積柱、錐、臺體的表面積和體積 在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你在初中已經(jīng)學(xué)過了正方體和長方體的表面積，你知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積空間問題空間問題平面問題平面問題柱、錐、臺體的表面積和體積 正方體、長方體是由多個平面圍成的幾何體，它正方體、長方體是由多個平面圍成的幾何體，它們的表面積就是各個面的面積的和們的表面積就是各個面的面積的和 因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平

2、面因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？柱、錐、臺體的表面積和體積 棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖柱、錐、臺體的表面積和體積 棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？面積？側(cè)面展開正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐

3、的側(cè)面展開圖柱、錐、臺體的表面積和體積 棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表面積？面積？側(cè)面展開hh正棱臺的側(cè)面展開圖正棱臺的側(cè)面展開圖柱、錐、臺體的表面積和體積 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面表面積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和h柱、錐、臺體的表面積和體積OOr)(2222lrrrlrS圓柱表面積lr2圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形柱、錐、臺體

4、的表面積和體積圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形)(2lrrrlrS圓錐表面積r2lOr柱、錐、臺體的表面積和體積)(22rllrrrS圓臺表面積r2lOrO r2 r圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)柱、錐、臺體的表面積和體積lOrO rlOrlOOr)(2lrrS柱)(lrrS錐)(22rllrrrS臺 圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？關(guān)系？rr上底擴大上底擴大r0上底縮小上底縮小柱、錐、臺體的表面積和體積 以前學(xué)過特殊的棱柱以前學(xué)過特殊的棱柱正方體、長方體以及圓柱正方體、長方體以及圓柱的體積公式的體積公式, ,

5、它們的體積公式可以統(tǒng)一為：它們的體積公式可以統(tǒng)一為：ShV （S為底面面積，為底面面積，h為高）為高）一般棱柱體積也是：一般棱柱體積也是：ShV 其中其中S為底面面積，為底面面積，h為棱柱的高為棱柱的高柱、錐、臺體的表面積和體積探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系三棱錐與同底等高的三棱柱的關(guān)系三棱錐與同底等高的三棱柱的關(guān)系柱、錐、臺體的表面積和體積ShV31（其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于面面積乘高；棱錐

6、與圓錐的體積公式類似，都是等于底面面積乘高的底面面積乘高的 31 經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積的的 即棱錐的體積：即棱錐的體積：31柱、錐、臺體的表面積和體積 由于圓臺由于圓臺( (棱臺棱臺) )是由圓錐是由圓錐( (棱棱錐錐) )截成的，因此可以利用兩個錐截成的，因此可以利用兩個錐體的體積差得到圓臺體的體積差得到圓臺( (棱臺棱臺) )的的體積公式體積公式( (過程略過程略) )根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31柱、錐、臺體的表面積和體積棱

7、臺（圓臺）的體積公式棱臺（圓臺）的體積公式hSSSSV)(31 其中其中 ， 分別為上、下底面面積，分別為上、下底面面積，h為圓臺為圓臺（棱臺）的高（棱臺）的高SS柱、錐、臺體的表面積和體積柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV SS S分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺體高為臺體高ShV310SS為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴大上底擴大上底縮小上底縮小柱、錐、臺體的表面積和體積例例1 1 已知長方體銅塊的長、寬、高分別為已知長方體銅塊的長、寬

8、、高分別為8 8、4 4、 2 2，將它溶化后鑄成一個正方體（不計耗損），將它溶化后鑄成一個正方體（不計耗損），求鑄成銅塊的表面積和體積。求鑄成銅塊的表面積和體積。柱、錐、臺體的表面積和體積例例2 2（1 1）已知棱長為）已知棱長為a a，各面均是等邊三角形的四面體，各面均是等邊三角形的四面體S-ABCS-ABC，求它的體積和表面積；，求它的體積和表面積；（2 2）已知圓錐的高為）已知圓錐的高為2 2，其側(cè)面展開圖是一個弧長，其側(cè)面展開圖是一個弧長為為66的扇形，求圓錐的表面積和體積；的扇形，求圓錐的表面積和體積；（3 3）將圓心角為）將圓心角為120120，面積為，面積為33的的扇形作為的的

9、扇形作為圓錐的側(cè)面，求此圓錐的表面積和體積。圓錐的側(cè)面，求此圓錐的表面積和體積。柱、錐、臺體的表面積和體積例例3 3 （1 1）一個四棱臺，其上下底面均為正方形，邊長分）一個四棱臺，其上下底面均為正方形，邊長分別為別為8 8和和1818，側(cè)棱長為，側(cè)棱長為1313，求其表面積；，求其表面積；（2 2）已知直角梯形的上、下底，高分別為）已知直角梯形的上、下底，高分別為2,42,4， ，將直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺，將直角梯形繞垂直于底邊的腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成圓臺，求這個圓臺的體積和表面積。求這個圓臺的體積和表面積。5D DC CB BA A柱、錐、臺體的表面積和體積例例4

10、 4 如圖，在如圖，在ABCABC中，中，AC=3AC=3，BC=4BC=4，AB=5AB=5，以，以ABAB所在直線為軸，三角形面旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體，所在直線為軸，三角形面旋轉(zhuǎn)一周形成一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積。求此旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積。C CB BA A柱、錐、臺體的表面積和體積例例5 5 一空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何一空間幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的體積。體的體積。2 22 22 2正視圖正視圖2 22 22 2側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖柱、錐、臺體的表面積和體積 例例6 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重）六角螺帽

11、共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊形，邊長為形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個（問這堆螺帽大約有多少個（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體積與圓柱體積之差，即: :10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的個數(shù)為所以螺帽的個數(shù)為252)956. 28 . 7(10008 . 5（個）（個）答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有252252個個柱、錐、臺體的表面積和體積柱體、錐體、臺

12、體的表面積柱體、錐體、臺體的表面積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖)(22rllrrrS 圓臺圓臺圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐柱、錐、臺體的表面積和體積柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積ShV31錐體錐體hSSSSV)(31臺體臺體柱體柱體ShV SS 0S柱、錐、臺體的表面積和體積1.3.2 1.3.2 球的體積和表面積球的體積和表面積柱、錐、臺體的表面積和體積1.球的表面積球的表面積 球面面積（也就是球的球面面積（也就是球的表面積表面積）等于它）等于它的的大圓面積的大圓面積的4倍倍，即，即其中其中R R為球的半徑為球的半徑. .24SR球柱、錐、臺體的

13、表面積和體積343VR球2 2、球的體積、球的體積，其中，其中R R為球的半徑為球的半徑. .柱、錐、臺體的表面積和體積練習(xí)：練習(xí)：1 1三個球的半徑之比為三個球的半徑之比為 那么最大的球的體那么最大的球的體積是其余兩個球的體積和的積是其余兩個球的體積和的 倍；倍； 1:2:32.2.若球的大圓面積擴大為原來的若球的大圓面積擴大為原來的4 4倍，則球的體積倍，則球的體積比原來增加比原來增加 倍；倍；3.3.把半徑分別為把半徑分別為3 3，4 4，5 5的三個鐵球，熔成一個大的三個鐵球，熔成一個大球，則大球半徑是球，則大球半徑是 ；4.4.正方體全面積是正方體全面積是24,24,它的外接球的體積

14、是它的外接球的體積是 ，內(nèi)，內(nèi)切球的體積是切球的體積是 . .柱、錐、臺體的表面積和體積5.5.球球OO1 1、OO2 2、分別與正方體的各面、各條棱相切，、分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點都在球正方體的各頂點都在球OO3 3的表面上，求三個球的的表面上，求三個球的表面積之比表面積之比提示：球的表面積之比事實上就是半徑之比的平方，故提示：球的表面積之比事實上就是半徑之比的平方，故只需找到球半徑之間的關(guān)系即可只需找到球半徑之間的關(guān)系即可柱、錐、臺體的表面積和體積例例1. 1.如圖如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑. .求證：求證：(1)(1) 球的體積等于圓柱體積的球的體積等于圓柱體積的 ；23(2) (2) 球的表