工程數(shù)學(xué)測(cè)試題及答案

1、第三章復(fù)變函數(shù)的積分一、選擇題：1設(shè) c 為從原點(diǎn)沿 y 2x 至 1i 的弧段，則( xiy 2 )dz( )c（A） 15 i（ B）15 i（ C）15 i（D） 15 i66666666z2設(shè) c 為不經(jīng)過(guò)點(diǎn)1 與 1 的正向簡(jiǎn)單閉曲線，則 dz 為 ( ) c (z 1)(z 1)2（ A） i（ B）i（ C）0（ D） (A)(B)(C) 都有可能223設(shè) c1 : z1 為負(fù)向， c 2: z3正向，則sin2zdz ()cc1c2 z（ A）2 i（B） 0（ C） 2 i（ D） 4 i4設(shè) c 為正向圓周z2 ，則cosz()(1z)2 dzc（ A）sin 1（ B）

2、sin 1（ C）2i sin 1（D） 2i sin11z3 cos15設(shè) c 為正向圓周zz 2 dz( )，則(12cz) 2（A） 2i ( 3 cos1sin 1)（B） 0（C）6i cos1（D） 2i sin 16設(shè) f ( z)ed ，其中z4 ，則 f(i） ()z4（ A）2 i（ B）1（ C） 2 i（D） 17 設(shè) f (z) 在單連通域B 內(nèi)處處解析且不為零，c 為 B 內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線，則積分f ( z) 2 f ( z)f (z)dz ()cf ( z)（ A）于 2 i（ B）等于2 i（ C）等于 0（ D）不能確定8設(shè) c 是從 0 到 12i 的直

3、線段，則積分czez dz（）（A）1e(B)1e(C)1e i(D)1e i2222sin(z)9設(shè) c 為正向圓周 x2y22x0 ，則4dz( )z2c1（ ）2 i（ ）2 i（ ）0（ ）2iA2BCD210設(shè) c 為正向圓周 zi1, ai ，則zcos z()c (a i ) 2 dz（ A）2 ie（B） 2i（C）0（ D） i cosie11設(shè) f (z) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析， c 為 D 內(nèi)任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，它的內(nèi)部全屬于D 如果f ( z) 在 c 上的值為2，那么對(duì) c 內(nèi)任一點(diǎn) z0 , f ( z0 ) ()（ A）等于 0（B）等于 1（ C）等于 2（ D

4、）不能確定12下列命題中，不正確的是( )（ A）積分1dz 的值與半徑 r (r0) 的大小無(wú)關(guān)z ar z a（ B）( x 2iy 2 )dz2 , 其中 c 為連接i 到 i的線段c（ C）若在區(qū)域 D 內(nèi)有 f( z)g(z) ，則在 D 內(nèi) g ( z) 存在且解析（ D）若 f (z) 在 0z1 內(nèi)解析，且沿任何圓周c : zr (0 r 1) 的積分等于零，則f (z) 在 z0 處解析13 設(shè) c 為任意實(shí)常數(shù)，那么由調(diào)和函數(shù)ux 2y 2 確定的解析函數(shù)f ( z)uiv 是()(A) iz 2c（ B）iz 2ic（ C） z2c（ D） z2ic14下列命題中，正確的

5、是()（ A）設(shè) v1 , v2 在區(qū)域 D 內(nèi)均為 u 的共軛調(diào)和函數(shù)，則必有v1v 2（ B）解析函數(shù)的實(shí)部是虛部的共軛調(diào)和函數(shù)（ C）若 f (z)uiv 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，則u 為 D 內(nèi)的調(diào)和函數(shù)x（ D）以調(diào)和函數(shù)為實(shí)部與虛部的函數(shù)是解析函數(shù)15設(shè) v( x, y) 在區(qū)域 D 內(nèi)為 u( x, y) 的共軛調(diào)和函數(shù)，則下列函數(shù)中為D 內(nèi)解析函數(shù)的是()（ A） v( x, y)iu ( x , y)（ B） v( x , y)iu ( x, y)（ C） u( x , y) iv ( x , y)（ D） ui vxx二、填空題1設(shè) c 為沿原點(diǎn) z0 到點(diǎn) z1 i 的直線段

6、，則2zdzc2設(shè) c 為正向圓周 z41 ，則z23z 2dz( z4) 2csin(2)3設(shè) f ( z)d, 其中z2 ，則 f( 3)z24設(shè) c 為正向圓周z3，則5設(shè) c 為負(fù)向圓周z4，則e z5 dzc (zi )6解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的7設(shè) f ( z) 在單連通域 B 內(nèi)連續(xù)，且對(duì)于B 內(nèi)任何一條簡(jiǎn)單閉曲線c 都有f ( z)dz 0 ，那c么 f ( z) 在 B 內(nèi)8調(diào)和函數(shù)( x, y)xy 的共軛調(diào)和函數(shù)為9若函數(shù) u( x , y)x 3axy 2為某一解析函數(shù)的虛部，則常數(shù)a10設(shè) u( x , y) 的共軛調(diào)和函數(shù)為v( x, y) ，那么 v(

7、 x , y) 的共軛調(diào)和函數(shù)為三、計(jì)算積分1.6zdz, 其中 R0, R1 且 R2 ;R ( z21)( zz2)2.dz2 z42z22z四、設(shè) f (z) 在單連通域 B 內(nèi)解析，且滿足1f ( z)1 ( xB). 試證在 B 內(nèi)處處有f (z)0；對(duì)于 B 內(nèi)任意一條閉曲線c ，都有f(z) dz0cf ( z)五、設(shè) f (z) 在圓域 zaR 內(nèi)解析，若 maxf ( z)M (r )(0 r R ) ，z ar( n )(a)n! M (r )1,2,) .則 frn(n六、求積分ezdz ，從而證明0ecos cos(sin)d.z 1 z七 、 設(shè) f ( z) 在 復(fù)

8、 平 面 上 處 處 解 析 且 有 界 ， 對(duì) 于 任 意 給 定 的 兩 個(gè) 復(fù) 數(shù) a,b ， 試 求 極 限limf ( z)f (b) （劉維爾 Liouville定理） .dz 并由此推證 f (a)Rz R ( za)( zb)八、設(shè) f ( z) 在 zR ( R 1) 內(nèi)解析，且 f (0)1, f(0) 2，試計(jì)算積分2f ( z)( z 1)z2 dzz 122f (ei )d之值 .并由此得出cos02九、設(shè) f ( z) uiv 是 z 的解析函數(shù)，證明2 ln( 122 ln( 1242f (z) )f ( z) )f (z).x 2y 2f (z) 2(1) 2十、若 uu( x 2y 2 ) ，試求解析函數(shù)f ( z)uiv .答案第三章復(fù)變函數(shù)的積分一、 1（ D）2（ D）3（ B）4（ C）（ B）（ A）（ C）（ A）（A）10（ C）11（ C）12（ D）13（ D）14（ C）15（ B）二、 122 10 i3 04 6i5i6平均值127解析8 1 ( y 2x 2 ) C9310 u( x , y)2三、 1當(dāng) 0R 1