探索與表達(dá)規(guī)律典型例題

1、探索與表達(dá)規(guī)律典型例題例1觀察下列數(shù)表：1234第一行2345第二行3456 第三行4567第四行第第第第一一一二二二-三四列列列列根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第六行第六列的交叉點(diǎn)上的數(shù)是多少？第 n行第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)是多少？例2用含n (n為自然數(shù))的等式表示你對下列等式隱含的規(guī)律性的估計(jì)：13= 113 + 23= 913 + 23 + 33 = 3613+ 23 + 33 + 43= 100例 3 計(jì)算：1+ 2 -3-4+ 5+ 6-7- 8+ 9+ 10- 11 12+ + 1993+ 1994- 1995 -1996+ 1997.例4 (江西省中考題)如圖用黑白兩種顏色的正六邊形地

2、面磚按如下所示的規(guī)律，拼成若干個圖案：第1個第2個第3個(1) 第4個圖案中有白色地面磚 ;(2) 第n個圖案中有白色地面磚 .例5下表為楊輝三角系數(shù)表，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如(a b)n (其 中n為正整數(shù))展開式的系數(shù)，請你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，填出 (a b)4展開式中所缺的系數(shù).1 1 /1 2 1X / /1331(a b) = a b(a b)-a2 2ab b233223(a b) = a 3a b 3ab b貝 U (a +b)4 =a4 +a3b +6a2b2 +4ab3 +b4例6 (廣西中考試題)閱讀下列一段話，并解決后面的問題.觀察下面一列數(shù)：1, 2, 4,

3、 8，我們發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于 2.一般地，如果一列數(shù)從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù)，這一列數(shù)就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.(1) 等比數(shù)列5, 15, 45，的第4項(xiàng)是;(2) 如果一列數(shù)ai,a2,a3,a4 ,是等比數(shù)列，且公比為q,那么根據(jù)上述的規(guī)定，有a2a3a4q, q, q ,aia2a3所以aaiq ,2a3 二 a2q = (aiq)q 二 aiq a4 二a3q = (aiq )q = aiq ,an =用ai與q的代數(shù)式表示)(3) 一個等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).參考答案例1

4、分析：從左上角到右下角數(shù)的排列是 1, 3, 5, 7，所以，第六行第六列 的交叉點(diǎn)上的數(shù)是11,第n行第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)是2n -1.解：第六行第六列的交叉點(diǎn)上的數(shù)是11,第n行第n列交叉點(diǎn)上的數(shù)是2n -1. 說明：一個偶數(shù)可以寫成2n形式，一個奇數(shù)可以寫成2n_1形式，其中n是整數(shù). 例2分析：等號右邊分別是12 , 32 , 62, 102,，由1 + 2= 3, 1+ 2 + 3= 6猜 想左邊各底數(shù)之和，恰為右邊寫為幕的形式后的底數(shù)，而第四個等式恰與此猜想 相符。解：13 23 33 43n3 =(1 2 3 4n)2說明：讀者已經(jīng)在第二章見到過類似的題目，這里得到的結(jié)果更具有普遍

5、性。 例3分析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，如果從前開始四個數(shù)合為一組，每一組都是連 續(xù)四個自然數(shù)，前兩個自然數(shù)的和減去后面兩個自然數(shù)，最后再加上1997,像這樣四個數(shù)一組共有1996詔=499組.而當(dāng)我們設(shè)每一組第一個數(shù)是n時，其中任何組都可以寫成：n (n 1) -(n 2) -(n 3-4，由此可求出結(jié)果.解：設(shè)其中的一組中最小的數(shù)為n ,則這一組就可以寫成 n (n 1) -(n 2) -(n 3)二4 .所以 1 + 2-3- 4+ 5+ 6- 7-8 + 9+ 10- 11 12+ 1993+ 1994- 1995 1996+ 1997=( - 4) X1996F+ 1997= 1.說明：(

6、1)這類項(xiàng)很多的式的運(yùn)算一般都是有規(guī)律可循的；(2)當(dāng)我們設(shè)一 組中最小數(shù)是n時，我們是把每一組四個數(shù)看成是正數(shù)的加減混合運(yùn)算； (3)這 四個數(shù)中任意一個設(shè)為n都可以求出相同的結(jié)果.例4分析：第1個圖案中有白色 地面磚6塊；第2個圖案中有白色 地面磚(6 + 4)塊；第3個圖案中有白.色 地面磚(6 + 4X2)塊； 由此可推遲出第n個 圖案中有白色地面磚的塊數(shù).解：(1)第4個圖案中有白.色.地面磚：6+ 4X3= 18 (塊)；(2)第n個圖案中有白色地面磚:6 4（n -1） =4n 2 （塊）.說明：解答本題的關(guān)鍵在于尋找規(guī)律，其方法有多種，下面我們從另一視角 去觀察：第1個圖案中有

7、白色地面磚（4+ 2）塊；第2個圖案中有白色地面磚（4& + 2）塊；第3個圖案中有白色地面磚（4X3+ 2）塊； 由此可推，第4個圖 案中有白色地面磚（4X+ 2= 18）塊；第n個圖案中有白色地面磚（4n 2）塊.例5解 由楊輝三角形所給出的部分中，不難發(fā)現(xiàn)，下一行第二個數(shù)是上一行 第一、二兩數(shù)之和，籠統(tǒng)地講，下一行中間的數(shù)均是上一千該數(shù)上方兩數(shù)之和.由此，可猜測第五行的數(shù)字規(guī)律為1，4，6，4，1 .從而則（a b）4 =a4 4ab 6a2b2 4ab b4 .故橫線上應(yīng)填 4.說明：能過觀察題設(shè)中所提供的信息，認(rèn)真分析，找出其中規(guī)律是解答這類題的 關(guān)鍵所在.例 6 解：（1）- 135(2)n -1ag(3) a2 =