3.2.1直線的方向向量與直線的向量方程

1、3.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無(wú) 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來(lái) 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！勤勞的孩子展望未來(lái)勤勞的孩子展望未來(lái), 但懶惰的孩子享受現(xiàn)在但懶惰的孩子享受現(xiàn)在!什什 么么 也也 不不 問(wèn)問(wèn) 的的 人人 什什 么么 也也 學(xué)學(xué) 不不 到到 !普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)2-1(選修選修)第三章第三章 空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何3.2.1 直線的方向向量與直線的向直線的方向向量與直線的向量方程量方程

2、概念概念概念概念1.1.位置向量位置向量已知空間內(nèi)一點(diǎn)已知空間內(nèi)一點(diǎn)A A，決定它的相對(duì)位置需再選一定點(diǎn)，決定它的相對(duì)位置需再選一定點(diǎn)O(O(根據(jù)根據(jù)情況自己決定情況自己決定) )，則向量，則向量 稱作點(diǎn)稱作點(diǎn)A A的的位置向量位置向量。OAa A AO Oa如果如果O O點(diǎn)點(diǎn)( (也可以稱為基點(diǎn)也可以稱為基點(diǎn)) )給定，我們就可以用不同的位置給定，我們就可以用不同的位置向量表示空間內(nèi)的不同的點(diǎn)了。向量表示空間內(nèi)的不同的點(diǎn)了。3.2.13.2.1直線的方向向量與直線的向量方程直線的方向向量與直線的向量方程這時(shí)點(diǎn)P的位置被完全確定，容易看到，當(dāng)t在實(shí)數(shù)集R中取遍所有值時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是一條通過(guò)點(diǎn)A

3、且平行于向量a的一條直線l.反之，在直線l上任取一點(diǎn)P，一定存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使向量方程通常稱作直線l的參數(shù)方程.向量a稱為該直線的方向向量量. 給定一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)向量a，如圖所示，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t,以A為起點(diǎn)作向量 .taAP .taAP alAP注: 向量方程兩要素:定點(diǎn)A,方向向量 t為參數(shù),且t是實(shí)數(shù), . a反向和同向和aAPtaAPt00例例位置關(guān)系是的與，則，的方向向量為，直線，的方向向量直線212211)202()101 (llVlVlA.相交 B.平行 C.垂直 D.不能確定 課堂練習(xí)課堂練習(xí)(1)兩直線的方向向量分別為V1=(2,0,3),V2=(-3,0,2), 則兩直線

4、的位置關(guān)系是什么？ 直線的向量方程,還可作如下的表示:對(duì)空間任一個(gè)確定的點(diǎn)O(如圖所示),點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在惟一的實(shí)數(shù)t,滿足等式 如果在l上取 則式可化為 即 或或都叫做空間直線的向量參數(shù)方程.taOAOP, aAB )(OAOBtOAABtOAOPOBtOAtOP)1 (AaOMBPlta注注: : 當(dāng)t= 時(shí), .此時(shí)P是線段AB的中 點(diǎn),這就是線段AB中點(diǎn)的向量表達(dá)式. 中 有共同的起點(diǎn). 中 的系數(shù)之和為1.21OBOAOP2121OBOAOP、OBOA、例例1 1 已知點(diǎn)A(2,4,0),B(1,3,3),以 的方向?yàn)檎较?在直線AB上建立一條數(shù)軸,P,Q為軸上的兩點(diǎn)

5、,且分別滿足條件: AP:PB=1:2 AQ:QB=-2 求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo).AB,1)311,35(,1,311,35,),3 , 3 , 1 (31)0 , 4 , 2(32z)y,(x,z),y,(x,.3132),(2,2,) 1 ( :的坐標(biāo)是點(diǎn)因此所以得則上式換用坐標(biāo)表示坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)即得由已知解PzyxPOBOAOPOAOPOPOBAPPBAQBPyzxlO例例1 1(0,2,6).,6, 2, 0)6 , 2 , 0()3 , 3 , 1 (2)0 , 4 , 2(2),(),(,2),(2,2AQ, 2:)2(的坐標(biāo)是點(diǎn)因此即得則上式換用坐標(biāo)表示，的坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)所以因?yàn)镼zyxzy

6、xzyxQOBOAOQOQOBOAOQQBQBAQ小結(jié)小結(jié)直線的向量參數(shù)方程.,)1 (,)2(.,.) 1 (如圖即方程又可寫為則直線向量使上取兩點(diǎn)若在直線件是上的充要條在直線如圖，點(diǎn)對(duì)于空間任一點(diǎn)的方程為：的直線，方向向量為過(guò)點(diǎn)OBtOAtOPABtOAOPaABBAltaOAOPlPOtaAPlaAaOMBPlta課堂練習(xí)課堂練習(xí)三點(diǎn)是否共線？則CBAOCOBOA,32.,2)(223:三點(diǎn)共線所以即解CBABCCAOBOCOCOBCOOA1 -2 321 -3ABAB例1：已知兩點(diǎn)（， ， ），（ ， ， ），求 ， 連線與 三坐標(biāo)平面的交點(diǎn)。517 10,0)334 4（ ，），(1

7、10AByozCyz分析：設(shè)連線與平面的交點(diǎn)為（ ， ， ），1OCt OAtOB 由（）得111101(1,-2,3)(2,1,-3)0(1-23 3-6yzttyzttt（ ， ， ）（）（ ， ， ），）59OC（0， ， ）.)6(.)5().(21,21)4(. 1)3(點(diǎn)共線判斷點(diǎn)的位置，判定三用直線的向量參數(shù)方程兩直線的位置關(guān)系用直線的方向向量判斷即的中點(diǎn)，則是線段點(diǎn)中點(diǎn)的向量表達(dá)式：設(shè)且上的充要條件為在直線點(diǎn)OBOAOMABAMABMyxOByOAxOPABP小結(jié)小結(jié)在在數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)22立體幾何初步立體幾何初步中我們學(xué)習(xí)了空間里的平行中我們學(xué)習(xí)了空間里的平行關(guān)系，即線線平行、線面平

8、行和面面平行。請(qǐng)同學(xué)們回憶關(guān)系，即線線平行、線面平行和面面平行。請(qǐng)同學(xué)們回憶一下它們的定義、判定定理和性質(zhì)定理。一下它們的定義、判定定理和性質(zhì)定理。三、概念三、概念概念概念3.3.用向量證明直線與直線平行、直線與平面平用向量證明直線與直線平行、直線與平面平行，平面與平面平行行，平面與平面平行公理公理4 4：在空間，平行于同一條直線的兩條直線平行。：在空間，平行于同一條直線的兩條直線平行。線面平行的判定定理：平面外的一條直線如果和平面內(nèi)的線面平行的判定定理：平面外的一條直線如果和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行。一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行。面面平行的判定定理：如

9、果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行。平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行。在空間，我們?cè)鯓佑孟蛄康姆椒ㄗC明這些平行關(guān)系呢？在空間，我們?cè)鯓佑孟蛄康姆椒ㄗC明這些平行關(guān)系呢？三、概念三、概念概念概念3.3.用向量證明直線與直線平行、直線與平面平用向量證明直線與直線平行、直線與平面平行，平面與平面平行行，平面與平面平行1.1.用向量的方法證明線線平行用向量的方法證明線線平行設(shè)直線設(shè)直線 和和 的方向向量分別為的方向向量分別為 和和 ，則，則1l2l12 121212/ llll或 與 重合1l2l12 121212/ lll

10、l或 與 重合也可寫成也可寫成設(shè)兩個(gè)不共線向量設(shè)兩個(gè)不共線向量 和和 與平面與平面 共面，直線共面，直線 的一個(gè)的一個(gè)方向向量為方向向量為 ，則，則三、概念三、概念概念概念3.3.用向量證明直線與直線平行、直線與平面平用向量證明直線與直線平行、直線與平面平行，平面與平面平行行，平面與平面平行2.2.用向量的方法證明線面平行用向量的方法證明線面平行l(wèi)12 112/, llx yRxy或使l12 推論：如果推論：如果A,B,CA,B,C三點(diǎn)不共線，三點(diǎn)不共線，則點(diǎn)則點(diǎn)M M在平面在平面ABCABC內(nèi)的充要條件內(nèi)的充要條件是，存在一對(duì)實(shí)數(shù)是，存在一對(duì)實(shí)數(shù)x,yx,y使得使得 成立。成立。AMxABy

11、AC三、概念形成三、概念形成概念概念3.3.用向量證明直線與直線平行、直線與平面平用向量證明直線與直線平行、直線與平面平行，平面與平面平行行，平面與平面平行3.3.用向量的方法證明面面平行用向量的方法證明面面平行12/ 或 與 重合且12 設(shè)兩個(gè)不共線向量設(shè)兩個(gè)不共線向量 和和 與平面與平面 共面，則共面，則12 三、概念三、概念概念概念3.3.用向量證明直線與直線平行、直線與平面平用向量證明直線與直線平行、直線與平面平行，平面與平面平行行，平面與平面平行例：例： 如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，點(diǎn)，點(diǎn)M M，N N分別是面對(duì)角線分別

12、是面對(duì)角線A A1 1B B與面對(duì)角線與面對(duì)角線A A1 1C C1 1的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。(1)(1)求證：求證：MN/ADMN/AD1 1且且 ；(2)(2)求證：求證：MN/MN/側(cè)面?zhèn)让鍭DAD1 1 。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1112MNADM MN N幾何證法幾何證法向量證法向量證法三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.用向量證明兩條直線垂直或求兩條直線所稱用向量證明兩條直線垂直或求兩條直線所稱的角的角我們用向量的方法也可以求空間兩條直線的夾角和證明空我們用向量的方法也可以求空間兩條直線的夾角和證明空間兩條直線垂直間兩條直線垂直( (當(dāng)夾

13、角為當(dāng)夾角為9090時(shí)時(shí)) )設(shè)直線設(shè)直線 和和 的方向向量分別為的方向向量分別為 和和 ，則，則1l2l12 1212120 ll2l12 1l設(shè)兩條直線所成角為設(shè)兩條直線所成角為，則，則12cos|cos,| 2 11l2l 再見(jiàn)三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.用向量證明兩條直線垂直或求兩條直線所稱用向量證明兩條直線垂直或求兩條直線所稱的角的角例子：例子： 如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，點(diǎn)，點(diǎn)M M，N N分別是分別是B B1 1B B與與CACA1 1的中點(diǎn)。求證：的中點(diǎn)。求證：MNBBMNBB1 1 ；MNMNA A

14、1 1C C 。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1M MN N三、概念形成三、概念形成概念概念4.4.用向量證明兩條直線垂直或求兩條直線所稱用向量證明兩條直線垂直或求兩條直線所稱的角的角例子：例子： 已知三棱錐已知三棱錐O-ABC(O-ABC(如圖如圖) )，OA=4OA=4，OB=5OB=5，OC=3OC=3，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，COA=90COA=90，M M，N N分別是棱分別是棱OAOA，BCBC的的中點(diǎn)，求異面直線中點(diǎn)，求異面直線MNMN與與ACAC所成角的余弦。所成角的余弦。O OA AB BC CM MN N四、應(yīng)用舉例

15、四、應(yīng)用舉例例例1.1.平行六面體平行六面體 中，中，O O是是B B1 1D D1 1的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求證：證：B B1 1C/C/平面平面ODCODC1 1 。1111ABCDA BC DA AB BC CD DA A1 1B B1 1D D1 1C C1 1O O 立體幾何中平行與垂直的位置關(guān)系的證明題，應(yīng)用向立體幾何中平行與垂直的位置關(guān)系的證明題，應(yīng)用向量運(yùn)算的方法，雖然證明過(guò)程書寫較長(zhǎng)，但因不添加輔助量運(yùn)算的方法，雖然證明過(guò)程書寫較長(zhǎng)，但因不添加輔助線而減少了思考時(shí)間。線而減少了思考時(shí)間。六、課堂總結(jié)六、課堂總結(jié)2.2.用空間向量證明空間的平行關(guān)系；用空間向量證明空間的平行關(guān)系；1

16、.1.用向量表示空間直線或點(diǎn)在直線上的位置；用向量表示空間直線或點(diǎn)在直線上的位置；3.3.用空間向量證明空間的垂直關(guān)系及異面直線所稱用空間向量證明空間的垂直關(guān)系及異面直線所稱的角；的角；4.4.思想方法：用向量計(jì)算或證明幾何問(wèn)題時(shí)，可以思想方法：用向量計(jì)算或證明幾何問(wèn)題時(shí)，可以先建立直角坐標(biāo)系，然后把向量、點(diǎn)坐標(biāo)化，借助先建立直角坐標(biāo)系，然后把向量、點(diǎn)坐標(biāo)化，借助向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或證明。向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算或證明。例例2 2MCyMBxMA 已知空間中四點(diǎn)M,A,B,C,滿足 , x,y是實(shí)數(shù),且x+y=1. 求證:A,B,C三點(diǎn)共線證明:三點(diǎn)共線所以即即所以因?yàn)镃BACBxCAMCMBxMCMAMCMCMBxMCxMBxMAxyyx,)()()1(1,1 要證明直線與平面平行，應(yīng)用向量方法：只要證明該直線的方要證明直線與平面平行，應(yīng)用向量方法：只要證明該直線的方向向量與平面內(nèi)的兩不共線的向量共面，即可利用共面向量定理向向量與平面內(nèi)的兩不共線的向量共面，即可利用共面向量定理證明；證明；只要證明該直線的方向向量