立體幾何中二面角的平面角的定位

1、立體幾何中二面角的平面角的定位 空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要 內(nèi)容 ，解決立體幾何 問題 的關(guān)鍵在于三定：定性 分析 定位作圖定量 計(jì)算 ，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而宣則是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來說，對其平面角的定位是問題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問題的解決徒勞無益，本文就是針對這一點(diǎn)，來談一談平日教學(xué)中體會(huì)。一、 重溫二面角的平面角的定義如圖（1），、是由出發(fā)的兩個(gè)平面,o是上任意一點(diǎn),oc，且oc；cd ，且od。這就是二面角

2、的平面角的環(huán)境背景，即cod是二面角的平面角，從中不難得到下列特征：、過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；另外，如果在oc上任取上一點(diǎn)a，作abod垂足為b,那么由特征可知ab.突出、oc、od、ab，這便是另一特征；、體現(xiàn)出一完整的垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背景。對以上特征進(jìn)行剖析由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線（面）”的問題。特征表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”，耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背景相互溝通，給計(jì)算提供方便。例1 已知正三棱錐vabc側(cè)棱長

3、為a，高為b，求側(cè)面與底面所成的角的大小。由于正三棱錐的頂點(diǎn)v在底面abc上的射影h是底面的中心，所以連結(jié)ch交ab于o，且ocab，則voc為側(cè)面與底面所成二面角的平面角如圖（2）。正因?yàn)檎忮F的特性，解決此問題，可以取ab的中點(diǎn)o為其平面角的頂點(diǎn)，而且使背景突出在面voc上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造得天獨(dú)厚的條件。特征指出，如果二面角的棱垂直某一平面與、的交線，而交線所成的角就是的平面角，如圖。由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”。例2 矩形abcd，ab=3，bc=4，沿對角線bd把a(bǔ)bd折起，使點(diǎn)a在平面bcd上的射影a落在bc上，求二面角abc-c的大小。這是一道由平面圖形折

4、疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后“變”與“不變”。結(jié)果在平面圖形中過a作aebd交bd于o、交bc于e，則折疊后oa、oe與bd的垂直關(guān)系不變。但oa與oe此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱垂直。由特征可知，面aoe與面abd、面cbd的交線oa與oe所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，a在面bcd上的射影必在oe所在的直線上，又題設(shè)射影落在bc上,所以e點(diǎn)就是a，這樣的定位給下面的定量提供了優(yōu)質(zhì)服務(wù)。事實(shí)上，ao=abad/bd=3*4/5=12/5，oa=oe=botgccbd，而bo=ab2/bd=9/5, tgcbd，故oa=27/20。在rtaao中，

5、aao=90所以cosaoa=ao/ao=9/16，tyaoa=arccos9/16即所求的二面arccos9/16。通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計(jì)算，特征從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角。“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量。特征顯示，如果二面角的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段ab，那么過垂足b作的垂線交于o，連結(jié)ao，由三垂線定理可知oa；或者由a作的垂線交于o，連結(jié)ob，由三垂線定理逆定理可知ob，此時(shí)，aob就是二面角的平面角，如圖。由此可見，地面角的平

6、面角的定位可以找“垂線段”。例3 在正方體abcda1b1c1d1中，棱長為2，e為bc的中點(diǎn)。求面b1d1e與面積bb1c1c所成的二面角的大小。例3的環(huán)境背景表明，面b1d1e與面bb1c1c構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)，下面，如果思維由特征監(jiān)控,背景中的線段c1d1會(huì)使眼睛一亮,我們只須由c1(或d1)作b1e的垂線交b1e于o,然后連結(jié)od1(或oc1),即得面d1be與面cc1b1e所成二面角的平面角c1od1，如圖，計(jì)算可得c1o=4*51/2/5。在rtd1c1o中，tgc1od=d1c1/c1o=51/2/2。故所求的二面角角為arctg51/2/2或

7、-arctg=51/2/2三、三個(gè)特征的關(guān)系以上三個(gè)特征提供的思路在解決具體總是時(shí)各具特色，其標(biāo)的是分別找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”。事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來。掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象力非常重要。1、 融合三個(gè)特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性。例3 將棱長為a的正四面體的一個(gè)面與棱長為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，則吻合后的幾何呈現(xiàn)幾個(gè)面？這是一道競賽題，考生答“7個(gè)面”的占99.9%，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？如圖，過兩個(gè)幾何體的高線vp、vq的垂足p、q分別作bc的垂線，則垂足重合于o，且o為bc的中點(diǎn)，op延長過a

8、，oq延長交ed于r。由特征，aor為二面角abcr平面角，結(jié)合特征、，可得vaor為平行四邊形，va/be，所以v、a、b、e共面，同理v、a、c、d共面，所以這道題的答案應(yīng)該是5個(gè)面！2、 三個(gè)特征，雖然客觀存在，互相聯(lián)系，但在許多同題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠三個(gè)“標(biāo)的”均藏而不露，在這種形勢下，逼你去作，那么作誰？由特征，有了“垂線段”便可定位。例4 已知rtabc的兩直角邊ac=2，bc=3，p為斜邊上一點(diǎn)，沿cp將此直角三角形折成直二面角acpb，當(dāng)ab=71/2時(shí)，求二面角pacb的大小。作法一：acpb為直角二面角，過b作bdcp交cp的延長線于d，則bddm apc。過d作de ac，垂足為e，連be。deb為二面角acpb的平面角。作法二：過p點(diǎn)作pdpc交bc于d，則pd面apc。過d作deac，垂足為e，邊pe，dep為二面角pacb的平面角。再說，定位是為了定理，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，有了“垂