2021-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課(一)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)案新人教A版選修2-2

1、復(fù)習(xí)課(一)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用?？键c一導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義的應(yīng)用(1) 近幾年的高考中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線問題是?？純?nèi)容，各種題型均有可能出現(xiàn).(2) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程時關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點.考點精要(1) 切點A(xo, f(xo)求斜率k，即求該點處的導(dǎo)數(shù)值：k = f(Xo)；(2) 斜率k,求切點A(xi, f(xi)，即解方程f(xi) = k；(3) 過某點 Mxi,f(xi)(不是切點)的切線斜率為k時，常需設(shè)出切點 A(xo, f(xo), 利用 k= f(xi)-f(xo)求解.Xi xo典例(全國卷n )f (x)為偶函數(shù)，當(dāng)xW0時，f(x) = ex i

2、 x，那么曲線y=f(x) 在點(i,2)處的切線方程是.解析 設(shè) x0，那么xv 0, f ( x) = ex i+ x.T f (x)為偶函數(shù)，f ( x) = f (x),x i f (x) = e + x.當(dāng) x0 時，f (x) = ex i+ i, f (i) = eii+ i = i +1 = 2.曲線y = f (x)在點(i,2)處的切線方程為 y 2= 2(x i)，即2x y = 0.答案2x y= 0類題通法(1) 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決切線問題的兩種情況 假設(shè)點是切點，那么在該點處的切線斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù). 如果點不是切點，那么應(yīng)先出切點，再借助兩點連線的斜率公式進(jìn)

3、行求解.(2) 曲線與直線相切并不一定只有一個公共點，例如，y= x3在(i,i)處的切線I與y =x3的圖象還有一個交點(一2, 8).題組訓(xùn)練xi. 曲線y= xr在點(i， i)處的切線方程為()A. y = 2x+ iB. y= 2x iC. y = 2x 3D. y= 2x 2解析：選A.y = x (x + 2) -x(x+ 2)(x+ 2)22(x + 2)2，2:k= 題型既有選擇題、填空題也有解答題，假設(shè)以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，那么難度以中、低檔為主，假設(shè)以解答題形式出現(xiàn)， 難度那么以中等偏上為主， 主要考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、 證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性等問題。 = ( -

4、1 + 2)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中,只能在定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.特別要注意寫單調(diào)區(qū)間時，區(qū)間之間用“和或“，隔開，絕對不能用“U連接.考點精要函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)值的關(guān)系 = 2,切線方程為：y+ 1 = 2(x + 1)，即 y= 2x + 1.22. 曲線 y = x+ in x在點(1,1)處的切線與曲線y= ax +(a+ 2) x+ 1相切，那么a =1解析：T y = x + in x ,. y = 1 + x， z.y | x=1=2.曲線y = x + in x在點(1,1)處的切線方程為y- 1=

5、 2( x 1)，即 y= 2x- 1.法一： y = 2x- 1 與曲線 y= ax2 + (a+ 2) x+ 1 相切， az0(當(dāng)a= 0時曲線變?yōu)閥= 2x +1與直線平行).y= 2x- 1,由 2y = ax + (a+ 2)x + 1,消去 y,得 ax2+ ax+ 2 = 0.2由 A = a 8a= 0,解得 a= 8.22法二：設(shè) y = 2x 1 與曲線 y = ax + (a+ 2)x+ 1 相切于點(xo, axo+ (a+ 2)xo+ 1).ty= 2ax+ (a+ 2),. y | x = xo = 2axo+ ( a+ 2).2ax o+ (a + 2) = 2

6、, 由 21Xo=_ 二, 解得2ax。+ (a + 2) Xo+1 = 2xo 1,a= 8.答案：8常考點二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性假設(shè)函數(shù)f(x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，貝y f (X)在(a, b)任意子區(qū)間內(nèi)部不恒等于0.f(x) 0?函數(shù)f (x)在(a, b)上單調(diào)遞增；f ( x) v 0?函數(shù)f (x)在(a, b)上單調(diào)遞減.反之，函數(shù)f (x)在(a, b)上單調(diào)遞增？f (x) 0；函數(shù)f (x)在(a, b)上單調(diào)遞減？ f(x) w 0.即f(x) 0(f(x) v 0)是f (x)為增(減)函數(shù)的充分不必要條件.a典例 函數(shù)f (x) = x + x + b(x豐0)，其

7、中a, b R.x(1) 假設(shè)曲線y = f(x)在點P(2 , f(2)處的切線方程為y= 3x + 1,求函數(shù)f (x)的解析式；(2) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間.a解f(x) = 1-孑(1) 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f=3，即1-a= 3,a= 8.由切點P(2 , f (2)在直線y= 3x + 1 上,得 f (2) = 3X 2+ 1= 7 那么一2+ b = 7,解得 b= 9,8函數(shù) f (x)的解析式為 f(x) = x -+ 9(xm0).x(2) 當(dāng) a0(x*0),這時f (x)在(一g, 0) , (0 ,+s)上是增函數(shù).當(dāng) a0 時，由 f(x) = 0

8、,解得 x =.a.當(dāng) xv衛(wèi)或 x ,a時，f(x) 0;當(dāng) 一 .av xv 0 或 0v x v a時，f( x) v 0. f (x)在(一g, a), ( ,a,+)上是增函數(shù)，在(0 ,a), ( a, 0)上是減函數(shù).類題通法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法步驟(1) 確定函數(shù)f (x)的定義域.(2) 計算函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f ( x).(3) 解不等式f(x) 0,得到函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間；解不等式 f (x) v 0,得到函數(shù) f(x)的遞減區(qū)間.提醒 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間一定要先確定函數(shù)定義域，往往因無視函數(shù)定義域而導(dǎo)致錯誤.題組訓(xùn)練21. 設(shè)函數(shù)f(x) = x + 3x 4,那么

9、y= f(x + 1)的單調(diào)遞減區(qū)間為 .解析：由 f ( x) = x2+ 3x 4，令 f ( x) v 0，即 x2+ 3x 4 v 0，解得一4 v x0在R上恒成立，12x,/xt f (x)=尹 + 2x ae , f (x) = x+ 2 ae ,于是有不等式x+ 2 aex0在R上恒成立，2 一 x即a0在(a, b)上成立，是f(x)在(a, b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件.對于可導(dǎo)函數(shù)f (x) , f(Xo) = 0是函數(shù)f (x)在x= Xo處有極值的必要不充分條件. 2利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值應(yīng)注意三點(1) 求單調(diào)區(qū)間時應(yīng)先求函數(shù)的定義域，遵循定義域優(yōu)先的原那么；(2)

10、f (xo) = 0時，xo不一定是極值點；(3) 求最值時，應(yīng)注意極值點和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時應(yīng)分類討論.典例函數(shù)f (x) = ax + bx+ c在點x= 2處取得極值c 16.(1) 求a, b的值；(2) 假設(shè)f(x)有極大值28,求f(x)在3,3上的最小值.解(1)因為 f (x) = ax3 + bx + c,2故 f (x) = 3ax + b.由于f(x)在點x= 2處取得極值c 16,故有f (2) = 0,f (2) = c 16,12a+ b= 0,即8a+ 2b+ c= c 16,12a+ b= 0,化簡得4a+b=8,a= 1,解得b= 12.3由(1 )

11、知 f(x) = x 12x+ c;2f (x) = 3x 12 = 3(x 2)( x+ 2).令 f (x) = 0,得 X1 = 2, X2= 2.當(dāng) x ( a, 2)時，f (x)0,故f (x)在(a, 2)上為增函數(shù)；當(dāng) x ( 2,2)時，f (x)0 ,故f (x)在(2 ,+a )上為增函數(shù).由此可知f (x)在x = 2處取得極大值f ( 2) = 16 + c,f(x)在x = 2處取得極小值f (2) = c 16.由題設(shè)條件知16+ c = 28,解得c= 12.此時 f( 3) = 9+ c = 21,f(3) = 9+ c = 3, f(2) = 16 + c

12、= 4,因此f(x)在3,3上的最小值為f(2) = 4.類題通法1. 求函數(shù)的極值的方法(1) 確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f (x).(2) 求方程f (x) = 0的根.(3) 用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成假設(shè)干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f (x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么 f(x)在這個根處取得極大值；如 果左負(fù)右正，那么 f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在這個根處無極值.2求函數(shù)的最值的方法(1) 求f (x)在(a, b)內(nèi)的極值.(2) 將f(x)的各極值與f (a), f(b)比擬得出函數(shù)f (x)在

13、a, b上的最值.題組訓(xùn)練1. 函數(shù)f (x) = x aln x(a R),試求函數(shù)的極值.a x a解：f (x) = 1 =, x0.x x(1) 當(dāng)a0，函數(shù)f (x)為(0 ,+)上的增函數(shù)，函數(shù) f (x)無極值；(2) 當(dāng) a0 時，由 f ( x) = 0，解得 x = a.又當(dāng) x (0 , a)時，f (x)0 ,從而函數(shù)f (x)在x = a處取得極小值，且極小值為f(a) = a aln a,無極大值.綜上，當(dāng)aW0時，函數(shù)f (x)無極值；當(dāng)a0時，函數(shù)f (x)在x = a處取得極小值 a aln a,無極大值.1 + ln x2. 函數(shù) f (x) =(x 1),

14、x(1) 試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并說明理由；k(2) 假設(shè)f(x) -7恒成立，求實數(shù) k的取值范圍.解:/ x 1 , In x0,二 f ( x) w 0.故函數(shù)f (x)在1 ,g)上單調(diào)遞減.(2) x 1,(x + 1)(1 + In x)x令 g(x)=(x + 1)(1 + Inx(x)=(x+ 1)(1 + In X) x-(x+ 1)(1 + In x)x- In x1再令 h(x) = x-In x，那么 h(x) = 1- x x 1,貝y h(x) 0,.h(x)在1 ,+R)上單調(diào)遞增.h(x) min= h(1) = 10,從而 g(x)0,故g(x)在1 ,

15、+s)上單調(diào)遞增，:g(x) min= g(1) = 2,. kw2.故實數(shù)k的取值范圍為(一a, 2.-生活中的優(yōu)化問題優(yōu)化問題是導(dǎo)數(shù)在實際生活中的應(yīng)用之一，高考中有所表達(dá)，既可以以小題形式考查， 也可以解答題形式考查，難度中低檔.考點精要(1) 解決優(yōu)化問題的策略 要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，并確定函數(shù)的定義域. 要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值與最值，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具.(2) 求實際問題的最大(小)值時，一定要從問題的實際意義去考查，不符合實際意義的 值應(yīng)舍去.(3) 在實際問題中，由f (x)= 0常常僅得

16、到一個根，假設(shè)能判斷函數(shù)的最大(小)值在x的變化區(qū)間內(nèi)部得到，那么這個根處的函數(shù)值就是所求的最大(小)值.典例某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設(shè)建造本錢僅與外表積有關(guān)，側(cè)面的建造本錢為100元/平方米，底面的建造本錢為160元/平方米，該蓄水池的總建造本錢為12 000 n元(n為圓周率).(1) 將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域.(2) 討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大.解(1)因為蓄水池側(cè)面的總本錢為100 2n rh = 200n rh(元)，底面的總本錢為160 n r

17、2 元，所以蓄水池的總本錢為(200 n rh + 160n r2)元.又據(jù)題意知 200n rh + 160n r = 12 000 n,1 2所以 h= 5r(300 4r ),n3從而 V( r) = n r h=(300 r 4r ).5因為r 0,又由h0可得r 0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng) r (5,5時，V(r) 0,故V(r)在(5,53)上為減函數(shù).由此可知，V( r)在r = 5處取得最大值，此時 h= 8.即當(dāng)r = 5, h= 8時，該蓄水池的體積最大.類題通法利用導(dǎo)數(shù)求實際問題的最大(小)值的一般方法(1) 分析實際問題中各個量之間的關(guān)系，正確設(shè)定所求最大

18、或最小值的變量y與自變量x,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題， 即列出函數(shù)關(guān)系y= f(x)，根據(jù)實際問題確定 y = f(x)的定 義域.(2) 求方程f (x) = 0的所有實數(shù)根.(3) 比擬導(dǎo)函數(shù)在各個根和區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小，根據(jù)實際問題的意義確定函數(shù) 的最大值或最小值.題組訓(xùn)練1書店預(yù)計一年內(nèi)要銷售某種書15萬冊，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費30元，每千冊書存放一年要耗庫存費40元，并假設(shè)該書均勻投放市場，問此書店分 次進(jìn)貨、每次進(jìn) 冊，可使所付的手續(xù)費與庫存費之和最少.解析：設(shè)每次進(jìn)書 x千冊(0 x 0.故當(dāng)x= 15時，y取得最小值,150此時進(jìn)貨次數(shù)為話=10(次).即

19、該書店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15 000冊書，所付手續(xù)費與庫存費之和最少.答案：1015 0002. 一艘輪船在航行時的燃料費和它的速度的立方成正比,速度為每小時10千米時的燃料費是每小時 6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每千米的費用總和最小?解：設(shè)輪船速度為x(x 0)千米/時的燃料費用為Q元,33那么Q= kx ,由6 = kx 10 ,可得333k= 500. Q 500x.總費用 y = 530x3+ 9613 2 96=x + x 500x T x =1，故傾斜角為n7，選 A.2.函數(shù)1 3 1 2f (x) =- x + cx + d有

20、極值，那么c的取值范圍為()1A. cv41B. c 0,此時函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)x= 20時，y取得最小值,此輪船以20千米/時的速度行駛每千米的費用總和最小.回扣驗收特訓(xùn)x1.函數(shù)f (x) = e cos x的圖象在點(0 , f (0)處的切線的傾斜角為()B. 0D. 1x解析：選A由 f(x) = e (cos x - sin x)，那么在點(0,f(0)處的切線的斜率 k= f (0)D.C 4解析：選A由題意得f(x) = x2-x+ c,假設(shè)函數(shù)f(x)有極值，那么 A = 1 - 4c0,解3. 函數(shù)y= In x x在x (0 , e上的最大值為()A. eB. 1C. 1D

21、. e11 x解析：選C 函數(shù)y= In x x的定義域為(0 ,+)，又y= - 1-，令y= 0 z.z.得x= 1,當(dāng)x (0,1)時，y 0,函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x (1 , e)時，y 0,函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng) x= 1時，函數(shù)取得最大值1,應(yīng)選C.4. 函數(shù)f(x) = x2 + 2Mn x(m0)的單調(diào)遞減區(qū)間為()A. (0，+m)b. (0, ；mc. ( : m +m)d. (0, : m u( : m +m)解析：選B由條件知函數(shù)f (x)的定義域為(0 ,+ ).因為 n 2 時，f ( x) 0;當(dāng)一2v xv 2 時，f ( x) v0, a f (x)在(g, 2)上為增

22、函數(shù)，在(一 2,2)上為減函數(shù)，在(2 ,+)上為增函數(shù).a f (x)在x= 2處取得極小值，a a= 2.7. 函數(shù)f(x) = (2x+ 1)ex, f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，貝U f (0)的值為.解析：因為 f (x) = (2x + 1)e x,所以 f (x) = 2ex + (2x+ 1)ex= (2 x+ 3)e：所以 f (0) = 3e = 3.答案：33 2 2&設(shè)xi, X2是函數(shù)f (x) = x 2ax + a x的兩個極值點，假設(shè) xiv 2v x2,那么實數(shù)a的取值 范圍是.解析：由題意得f (x) = 3x2 4ax+ a2的兩個零點xi, X2滿足xi

23、 v 2 vX2,所以f (2) =12 8a+ a v 0，解得 2 v av 6.答案：(2,6)9. 函數(shù) f (x) = x + ax 4在 x= 2處取得極值，假設(shè) mn 1,1，那么 f(m + f ( n)的最小值是.解析：f(x) = 3x2 + 2ax，根據(jù) f=0,得 a = 3，即 f(x) = x解：設(shè)包裝盒的高為 h(cm)，底面邊長為a(cm).+ 3x2 4. 根據(jù)函數(shù)f (x)的極值點，可得函數(shù)f(n) 在 1,1上的最小值為f(0) = 4 ,f(n) = 3n2 + 6n 在1,1上單調(diào)遞增，所以 f( n)的最小值為 f ( 1) = 9. f (m) +

24、 f ( n) min = f(m min+ f ( n) min =4 9 = 13.答案：1310. 請你設(shè)計一個包裝盒.如下圖，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影局部所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A, B, C, D四個點重合于圖中的點P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒.E, F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點.設(shè)AE= FB= x(cm).60 2x由得 a= ：2x, h=:= ：2(30 x),0 x0;當(dāng) x (20,30)時，V 1，證明當(dāng) x (0,1)時，1+ (c 1)xcx.1解：(1)由題設(shè)，f (x)的定義域為(0 ,+) , f (x) = - 1，令f (x) = 0,解得x = x1.當(dāng) 0vxv 1 時，f (x) 0, f (x)單調(diào)遞增；當(dāng)x 1時，f(x) v 0, f(x)單調(diào)遞減.(2)證明：由(1)知，f (x)在x= 1處取得最大值，最大值為f (1) = 0.所以當(dāng)x工1時，In xvx 1.1 1 故當(dāng) x (1 ,+s)時，In xv x 1, ln - v一一 1, x xx 1 ln x