函數(shù)列的幾種收斂性

1、函數(shù)列的幾種收斂性王佩(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 甘肅蘭州 730070)摘 要 : 討論和總結(jié)函數(shù)列的收斂、一致收斂、處處收斂，幾乎處處收斂、幾乎處 處一致收斂、依測度收斂、近乎收斂、近乎一致收斂、強(qiáng)收斂及其它們之間的關(guān)系 和相關(guān)命題 .關(guān)鍵詞 ： 函數(shù)列；收斂；Several kinds of convergence for the sequence of funcationsWang pei(College of Mathematics and Information Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,China

2、)Abstract:This article discusses and summarizes the relationship between the convergence, uniform convergence,everywhere convergence,almost everywhere convergence,almost everywhere uniform convergence,convergence in measure,nearly convergence,nearly uniform convergence and strong convergence for the

3、 sequence of funcations.Key words: the sequence of funcations; convergence;幾種收斂的定義1、收斂的定義定義1：設(shè)a 為數(shù)列，a為定數(shù).若對任給的正數(shù)；，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)nN時有|an a 名，則稱數(shù)列牯,收斂于a,定數(shù)a稱為數(shù)列an的極限，并記作 nman=a，或 anTa( TOO)定義2:設(shè)f為定義在&,亠上的函數(shù)，A為定數(shù).若對任給的；0，存在正數(shù)M (啟a)，使得當(dāng)xM時有|f(x)-A|v s,則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+ 時以a 為極限，記作lim f(x)=A或f(x) f A(x + ).用c.表示.2、

4、一致收斂的定義設(shè)函數(shù)列f n(x)與函數(shù)f(x)定義在同一數(shù)集E上，若對任意的& 0,總存在 自然數(shù)N,使得當(dāng)nN時，對一切x E都有| f n(x)- f(x)|0有l(wèi)im mE |f n-f| Z =0，貝U稱函數(shù)列f n依測度收斂于f,或度量收斂于f記為：fn(X)= f(X).6、近乎收斂若:.0, E z E,使得 mEz f.用n.c.表示.7、近乎一致收斂若v 6 0, 3 Ez uE,使得 m Ez0,E|f (n)j-0| Z 或是空集(當(dāng)Z 1),或是I2n(當(dāng) 0Z Z )當(dāng)Z 1時，左端為0).2于是當(dāng)N=2-2+j (j=1,2, , ,2n)趨于x時，n-x .由此

5、可見lim m(E|fN ：(n)j-0| Z )=0,即 f (n) j(x) = 0.但是函數(shù)列(1)在0,11上的任何一點都不收斂.事實上，對任何點x.0,1,無論n多么大，總存在j,使xo,因而(n)j(x 0)=1 ,然而 f(n) j+1(x 0)=0 或 f (n) j-1 (x 0)=0 ,換言之，對任何 X0 0,1,在f 1(X0)中必有兩子列，一個恒為1,另一個恒為零，所以序列(1 )在0,1 上任何點都是發(fā)散的.2. 2反過來，一個a.e，收斂的函數(shù)列也可以不是依測度收斂的.例2 取E=(0,+ x)，作函數(shù)列：(n)(x)=| 1，I；： n=1,2,.I 0,x珂n

6、,咼)顯然 fn(x) 1(n +x),當(dāng) x E.但是當(dāng) 0Z Z =(n, + x),且 m(n, + x)= x.這說明 f n不依測度收斂于1.2.3盡管兩種收斂區(qū)別很大，一種收斂不能包含另一種收斂，但是下列定理反映 出它們還是有密切聯(lián)系的.定理1 (黎斯F.Riesz ) 設(shè)在E上f n測度收斂于f,則存在子列 fni在E 上a.e.收斂于f.定理2(勒貝格Lebesgue) 設(shè)(1)(2) f n是E上a.e.有限的可測函數(shù)列；(3) f n在E上a.e.收斂于a.e.有限的函數(shù)f,貝U fn ( X)mEx ；二 f(x).定理 3 設(shè) f n (x) n f(x) , f n

7、(x) = g (x),則 f(x)=g(x)在 E 上幾乎處 處成立3幾乎處處收斂與近一致收斂3.1在有限可測集上，幾乎處處收斂一定近一致收斂葉果洛夫(En opob)定理：設(shè)mE0,存在可測集Ez二E, 使得mEzZ ,且在E-Ez上 fn(x) 一致收斂于f(x).3.2在一般可測集上(mE=+o),幾乎處處收斂不一定近一致收斂En opob定理中mE+的條件不可少.例如考慮可測函數(shù)例fn(x)= X(0,n) (x),n=1,2, , , x = (0, X).它在(0, X)上處處收斂于f(x) = 1,但在(0, X)中的任一個有限測度集外均不 一致收斂于f(x)三1.又如取E=

8、(0,+ x)，貝y mE=x，作E上函數(shù)列：產(chǎn)ffn(x)= 1，X： ,n)n=1,2, , nLmfn(x)= f(x)三 1 (0x X)0,x mf取S =1,則對任何可測集EsE,若nEsN+1,且 xo E-Es時，| f n(x。)-f(x 0)|=|0-1| .所以在 E-Es上 f n(x)不一致收斂于 f(x).3.3不論在有限還是一般可測集上，近一致收斂一定幾乎處處收斂葉果洛夫(En opob )定理的逆定理成立可說明這一結(jié)論.設(shè)可測集E上可測函數(shù)列fn(x)近一致收斂于f(x),則fn(x)幾乎處處收斂 于 f(x).4近一致收斂與依測度收斂4.1無論是在有限還是一般

9、可測集上，近一致收斂一定依測度收斂設(shè)f和f1,f 2, , ,f n,都是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若 f n(x)在E 上近一致收斂于f(x)，則fn(X)= f(X).證明 由條件對任意S 0及z 0,存在N=NZ , S )及E的可測子集E.，且m E.= S ,當(dāng) nN時，對一切 x E-Es, | f n(x)- f(x)| Z ,因此，對任意0oOxo E-Es,x e|fn(xf (x) v o , E-Es u Cl Efn(x) _f (x0,Z o,存在 N=N(Z ,S)，當(dāng) nN時，m(UEfn-f,)n m E Z 0,設(shè) En( & )=Ex:|fn(x)-f(x

10、)| 0,E |J(X)- f(X)|dX 一 . En( ；)| 仁(刈- f(X)|2dX ；2mEn(；),f nf,mE( & ) 0,即 f n(x) = f(x).6.2依測度收斂不一定強(qiáng)收斂例E= 0, 1,在E上作函數(shù)列如下:1(x)=1 x 0, , f 1(2)(X) =x O,11 2丿x 丄,1,2-1 i X, 一-k k i -1 ix 0,1,1 k kJ上述的函數(shù)列記為1 ( X),2fi(k)(x)=0(i=1,2,k)(X) ”, n (X),，可證(X).x), 3n(X)=(X)= 0,但卻處處不收斂于 證明 若& 1, En( & )為空集，顯然jm

11、En( & )=0 ；若0 = ，丄，所以 mEx：| n (X)-(X) | IL k k1 =，于是當(dāng) nx,顯然 kx .故 lim En( )=0,從而n (x) =(x), ky中總有無窮個1,無窮個0,即n (X) 處處不收斂.而對任X0 0, n ( X0)、相關(guān)命題及證明命題a.c.E f 二 fn .c.E 證明由定義立得n.c. 1 則- K, Ek E,使得mEk丄,且 koO記E0=Ekk =1,貝U m E0=0,E- E0=(E - Ek)f 且 m E0=0 即 f n 琴t證畢命題2 f n n；c.f二fn 曽f證明由定義立得“U ”設(shè)f nt f，貝U由命題

12、1知證畢而m E f命題3若f n 轉(zhuǎn)J f ,則f n = f命題4若fn = f，貝U 仏 f n,使得f 嘗 f (k十)qQ證明任取定 k f 0, S k f 0,且v.kN( i, S k),使得 m E(|f -f| i)ni, n2 N( 2, S 2),使得 m EQf -f| 2)v S 2QOQO-S 0,由 7 ：k vx知，K，使得 7、：k Sk Ak=1QO記 E S 二U E(| fnk f 忙殊)貝 U m E S 0，由 kf 0,知 K2,使得 k2ko=maxki,k2,且 x(E- ES )時，有|fnk (x) -f(x)| k 二 fnk (x)

13、f (kfx)且 m Es0,記 an=m E(|fn-f| z ) (n=1,2,)-S 0, fn =f,則由“h ”的定義有nm an= nm m(的-可 z)=。故一 ank an,a, %,使得nm % =0fx即 _fnk fn ， fnki fnk ，使得/mm E (Ifnjfl z) =0亦即伉二 f (i“”設(shè)一 仏 fn ,&九，使得lim an =lim m E (|fn -f| Z ) =0j g： I j 廠k1nma-o 即 njmm E(ifn-fiZ)=亦即 fn =f 證畢命題 6 PfnJUfn ,日fnJUfnk，使得 fn“=f ( I )則有fnk二

14、fn ，伉二仏，使得 fnklE f ( 1證明“二”設(shè)-fnk fn ，伉%，使得fnk f( I則由命題4知：伉 ：一 fnk ，使得fnk1f (i綜上所述，結(jié)論成立J設(shè) 一 仏 fn ， fnk1 fnk，使得fnkinEU.C. f ( I 則由命題3知： 仏 =f (i x)綜上述，結(jié)論成立命題 7 若-fnk fn ，fnk fn ，使得伉n；c. f (i x)則二fn 匚件，使得f n f (mx)命題 8 若勺fnk匚fn ，二fnkUfn ，使得 f nkl 琴Tf ( i x)則二仁匚件，使得fnm琴f ( Rx).命題7和命題8的結(jié)論是容易證明的，不再敘述命題 9 若 f n E- f,則- f nk 二f n ，使得 f nk E f(k x)命題10 fnk fn ，使得fnk 管f ( k x):二fnk二fn ，使得 f nkE f ( k命題 11 一 % fn ,伉 fnk，使得 f nki / f （ i 十）=fnk fn , fnj fnk，使得伉