不等式的放縮技巧

1、數(shù)列型不等式放縮技巧八法證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強(qiáng)，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學(xué)生的潛能與后繼學(xué)習(xí)能力，因而成為高考?jí)狠S題及各級(jí)各類競(jìng)賽試題命題的極好素材。這類問(wèn)題的求解策略往往是：通過(guò)多角度觀察所給數(shù)列通項(xiàng) 的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一利用重要不等式放縮1.均值不等式法例 1 設(shè) Sn. 1 22 3(n 1)22此數(shù)列的通項(xiàng)為ak.k(k1),k1,2,n.k k11 n ,nk . k(k 1)kkSn(k22k 1k 1即 n(n 1) Sn(n 1)n(n 1)22 n222n(n 1

2、).求證嗎衛(wèi) sn解析注：應(yīng)注意把握放縮的“度”:上述不等式右邊放縮用的是均值不等式n(k 1)ab山，若放成 k(k 1) k 2側(cè)得Snk 1(n 1)(n 3)22(n 1)2就放過(guò)“度”了!根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)特征來(lái)選取所需要的重要不等式，這里n a1 anna1V-2an na1其中，ann 2,3等的各式及其變式公式均可供選用。1 _?bx已知函數(shù)f(X)求證:f(1)f(2)f(n)1，若f(1) 4，且f(X)在0,1上的最小值為 ， 51-.(02年全國(guó)聯(lián)賽山東預(yù)賽題)2簡(jiǎn)析f(x)4X1 4X(1例3已知a,b為正數(shù),(a b)n a1簡(jiǎn)析由一aab a b 4,bn 22

3、n11 得 ab b而(a b)n令 f(n) (a b)n因?yàn)閏n Cni，倒序相加得2f( n)=C：(an 1babn1)而 an1b abn12f(n )=(C；cn1尹12?2X1_14X1E)1b.(88年全國(guó)聯(lián)賽題)1 1 又(a b)(-) a b2且- a2n VCanbn，則(x 0)f (1)f(n)(1占)rbrC11n (1-421，試證：對(duì)每一個(gè)C：an 1bf(n )=C：an1br . nC n (ar n ra bn 1 nn )(a brbrcnabrbrC；anrbr4，故Cnnbn ,C1abn1 ,n 1nCn (abn 1abn r anabr) (

4、21bn2 . anbn2)(arbn rnan4弓1b),2n1，則an rbr)6(2n(a b)n2) 2n 1，所以 f(n) (2n , n 2na b 22n 2n nn 2)2n，即對(duì)每一個(gè)n N ,例4簡(jiǎn)析求證cn c：不等式左邊c；n ；：12.2n 12 22=n利用有用結(jié)論 求證(11)(11c：n 12簡(jiǎn)析特例(1C；c；n 1n 口cn，原結(jié)論成立15 (1本題可以利用的有用結(jié)論主要有: 法1利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)12n(n 1,n N).2n 1 1 2 221) 2n1.ba76ba m2n 112n 20,m0)可得2彳(1法2的)12k 1例5是43436565

5、2n2n 12n )22n 1)2n1即(1341、利用貝努利不等式1 2 L (此處2k 12k 1 n2k 1 k 卩(1 x)nn 2, x12k 1)5611)(1 -)(1 -)35N3、1 nx(n 丄)得 2k 1n 2k 1k1.2k 12n 12n(2n1)(1,n.2n 1.)i2n 1. 2n 12, x 1, x0)的一個(gè)“枝”加“葉”而編擬成 年全國(guó)高考文科試題；進(jìn)行升維處理并加參數(shù)而成理科姊妹題。如理科題的主干是：1 4(1注:證明(1 1)(11985年上海高考試題，以此題為主干添19981 1 -)(1- )33n 1.(可考慮用貝努利不等式n73n 2,1 2

6、x 3x(n 1)xa nxIg,0 a 1,給疋 n N ,n 2.n3的特例)求證：f (2x) 2f (x)(x0)對(duì)任意n N且n 2恒成立。(90年全國(guó)卷壓軸題)例6已知函數(shù)f(x)簡(jiǎn)析本題可用數(shù)學(xué)歸納法證明，詳參高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)；這里給出運(yùn)用柯西(nnnCauchy )不等式(aibi)2f(2x)2f(x)2 2aibi的簡(jiǎn)捷證法:1 i 11 22x 32xlg2x 3x(n 1)x1而由Cauchy不等式得(1 11222x(1 1 ) ? 1 2n?122x 32x(nna32x(n 1)2x7)an (II)對(duì)ln(1 x) x對(duì)x 0都成立，證明a例7已知a11,am (1

7、1)2x2xa na.x1 2x3x(n 1) ax nn2n?122x32x(n 1)2x a2xn 13x1(n1)a nx)2(n1)2x2 a2xn (x0時(shí)取等號(hào))a2x qn (0a1 ),得證！1.(I)用數(shù)學(xué)歸納法證明an 2(n2);2nn e2 (無(wú)理數(shù)e2.71828- ) (05年遼寧卷第x n2x22題)解析 (II)結(jié)合第(I)問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件ln(1 x) x ( x 0 )的結(jié)構(gòu)特征，可得1 1 1 1放縮思路：an 1(12-1n)anIn an 1 ln(1 廠 p In ann n 2n n 2ln an2n nn 1(ln ai 1 In aji 1

8、于是 In an 1 In an2nn1 11-)i 1112an e2.即 In anIn a12o2nIn anIn a111（2）2.放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論2nn(n 1)( n2）來(lái)放縮：11“ 1an 1(1)anan -i1(1 -)(an1)n(n 1)n(n 1)n(n 1)11In (an 11) ln(an1)ln(1)n(n 1)n(n1)n 1n 111In (ai 11)ln(ai 1)ln(an 1)In(a2 1) 1 1,i 2i 21(11)n注：題目所給條件ln（1 x） x （ X0）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索即 In(an 1)

9、1 In 3 an 3e 1 e2.例8 已知不等式1-231 1Iog 2 n, nn 2N , n 2.Iog 2 n表示不超過(guò)Iog 2 n的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列an滿足：a1 b(b 0), an2.n an 1求證注：本題涉及的和式1 123以利用所給題設(shè)結(jié)論 1 112 3n簡(jiǎn)析當(dāng)n2時(shí)anan 11nan 11丄，即annan1anan 1an 1n111n11n1()”anan 1nk 2akak 1k2 kn3時(shí)有11 1log2 n an2b于疋當(dāng)an22b,n blog 2 n3.（ 05年湖北卷第（22）題）ana122 blog 2 n1為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能求和

10、；但是可n1log 2 n來(lái)進(jìn)行有效地放縮；引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn),有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。1例 9 設(shè) an (1-)nn，求證：數(shù)列an單調(diào)遞增且an4.解析引入一個(gè)結(jié)論：若b a0則 bn1 an1 (n1)bn(ba）（證略）整理上式得an 1bn(n1)a nb.()以 a 1, b11代入（）式得（11-)n1(13n 1nn1n即an單調(diào)遞增。以 a 1,b1代入（)式得 1(1)n1(11 )2n 4.2n2n22n4，又因?yàn)閿?shù)列an單此式對(duì)一切正整數(shù) n都成立，即對(duì)一切偶數(shù)有（1 1）nn調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)n有(1

11、 l)n 4。n1注：上述不等式可加強(qiáng)為 2 (1)n 3.簡(jiǎn)證如下：n利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮：an (1 -)n 1 C：丄C：丄C；丄.nn nnn只取前兩項(xiàng)有1an 1 Cn12.對(duì)通項(xiàng)作如下放縮：nn k 111Ck1Cn IT n1 n n 11k! n nnk! 1 22尹n 1111c11(1/2)o故有an 112市 23.2 22 2n 1 2 1 1/2上述數(shù)列an的極限存在，為無(wú)理數(shù) e ；同時(shí)是下述試題的背景：已知i,m,n是正整數(shù)，且1 i m n. ( 1)證明n A：m，A； ； ( 2)證明1(1 nf是遞減數(shù)列；借鑒此(1 m)n (1 n)m.(01年全

12、國(guó)卷理科第20題)簡(jiǎn)析 對(duì)第(2)問(wèn)：用1/n代替n得數(shù)列bn : bn結(jié)論可有如下簡(jiǎn)捷證法:1數(shù)列(1 n)n遞減，且1 i m1n,故(1 m尸1(1 n)n28即(1 m)n (1 n)m。當(dāng)然，本題每小題的證明方法都有10多種，如使用上述例5所提供的假分?jǐn)?shù)性質(zhì)、貝努力不等式、甚至構(gòu)造“分房問(wèn)題”概率模型、構(gòu)造函數(shù)等都可以給出非常漂亮的解 決！詳見(jiàn)文1。二部分放縮例10設(shè)an11歹1解析an112a3a又k2k kk(k1111k2k(k1)k1 k111于疋an12 2-223n例11設(shè)數(shù)列an滿足an 11a,a 2.求證：an2.n1a 1 n1 1 12232n21),k2 (只

13、將其中一個(gè)k變成1 (11、 ，1 1、,1)( )(-223n 12annan 1 n N,當(dāng)a1丄)nk 1，進(jìn)行部分放縮)2.3時(shí)證明對(duì)所有n1,有(i)an11 a21 1 一二2(02年全國(guó)高考題)解析(i)用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n 1時(shí)顯然成立，當(dāng) n k 1 時(shí) ak 1 ajak k) 1 ak (k 2 (ii)利用上述部分放縮的結(jié)論ak 112(ak 1) ak 12k 1(a11)1 (1)nn 1 n 丄-1 (2丿-i 1 1 aii 1 241 12假設(shè)當(dāng)n k時(shí)成立即akk2，則k)1 (k 2)2 1k3 ,成立。ak 12ak 1 來(lái)放縮通項(xiàng)，可得2k142k 11

14、1ak12k1注：上述證明（i）用到部分放縮，當(dāng)然根據(jù)不等式的性質(zhì)也可以整體放縮：ak 1 （k 2）（k2 k） 1 k 3;證明（ii）就直接使用了部分放縮的結(jié)論ak 12ak 1。三添減項(xiàng)放縮上述例5之法2就是利用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行減項(xiàng)放縮的例子。例 12 設(shè) n 1, n N，求證(2)n3 (n1尹簡(jiǎn)析(1即(12觀察（-）n的結(jié)構(gòu)，注意到31）n-）2-1 1 _ 2C n Cn2(n 1)(n 2)，得證.8例13設(shè)數(shù)列滿足a12, an 1一切正整數(shù)n成立；（n）令bnan /.n(n1,2,81)(n 2)1 )n，展開(kāi)得2(1n n(n 1)2 8(n 1)(n2) 6?1an

15、(n1,2, ) (I)證明 an、2n 1），判定bn與bm的大小，并說(shuō)明理由年重慶卷理科第（22）題）本題有多種放縮證明方法，這里我們對(duì)（I）進(jìn)行減項(xiàng)放縮，有 丄 ak簡(jiǎn)析用數(shù)學(xué)歸納法（只考慮第二步）2 ak2k 122(k1)04a2n2an2 an2an2ak2ak2,k1,2, ,n1.則a2a：2（n1）四利用單調(diào)性放縮1.構(gòu)造數(shù)列2an2n2nan、2n 1如對(duì)上述例1，令TnSn(n 1)22則Tn 1(n 1)(n 2)2n 3Tn Tn 1, Tn遞減，有T10，故 Sn(n 1)22再如例5,令T (1 1)(171 n1(1 5)2n(1即Tn Tn 1, Tn遞增，有

16、1)門 Tn 1tT2n 1則得證!2n注：由此可得例 5的加強(qiáng)命題（11)(1造成為探索性問(wèn)題:13)(11(1求對(duì)任意n 1使(1 1)(1)(1)(112n 1)2n正整數(shù)k的最大值;2 構(gòu)造函數(shù)3，同理可得理科姊妹題的加強(qiáng)命題及其探索性結(jié)論,3 2n 1.并可改 3）k 2n 1恒成立的 1讀者不妨一試！例14已知函數(shù)f(x)3 ax 22X的最大值不大于丄，又當(dāng)X611z【：,；】時(shí)f(x)4 2i（I)求a的值；(n)設(shè) 0a11,an 1f (an),nN ,證明1an（04年遼寧卷第21題）2n 1解析(I) a=1;(n)由 an 1f (an),得 an 13 2anan3

17、 /1、2(an)12236614且an 0.用數(shù)學(xué)歸納法(只看第二步)ak 1f(aQ在 ak(0,丄)是增函數(shù),k 1則得ak 1g) f (宀2匸例15數(shù)列xn由下列條件確定：x1 a 0, xn 1212Xn,n N .xn(l )證明：對(duì)n 2總有x 題)(ll)證明：對(duì)n 2總有xnXn 1(02年北京卷第(19)作用。解析構(gòu)造函數(shù)f (x)對(duì)(II)有 Xn Xn 1)是增函數(shù)。XkXn在、.a,)遞增故XkXk 1f (、 a) a.xn，構(gòu)造函數(shù)f (x)12 Xn注：本題有著深厚的科學(xué)背景：是計(jì)算機(jī)開(kāi)平方設(shè)計(jì)迭代程序的根據(jù)；同時(shí)有 著高等數(shù)學(xué)背景一數(shù)列 xn單調(diào)遞減有下界因

18、而有極限：是增函數(shù)，故有xnXn 1Xnan, a(n).1aaf (X) X 是遞推數(shù)列xn 1丄X對(duì)此數(shù)列本質(zhì)屬性的揭示往往具有重要的指導(dǎo)作用。五換元放縮例16求證1 n n簡(jiǎn)析令an VnXnXn的母函數(shù)，研究其單調(diào)性1(nN ,n 2).1hn，這里hn 0(n1),則有2 (n 1),從而有n 1注：通過(guò)換元化為幕的形式，為成功運(yùn)用二項(xiàng)展開(kāi)式進(jìn)行部分放縮起到了關(guān)鍵性的1 an 1 hn 121例 17 設(shè) a 1 , n 2, nN，求證a簡(jiǎn)析令a bnna (b 1)Cbn C；bnCnbn 22 2n n (a 1)4應(yīng)用二項(xiàng)式定理進(jìn)行部分放縮有Cn cnv2 叫Jb22n(n

19、叭2b2六遞推放縮遞推放縮的典型例子，n 2, n N，則(證明從略)，因此an (a 4可參考上述例11中利用(i)部分放縮所得結(jié)論進(jìn)行遞推放縮來(lái)證明(ii)，同理例7 (II )中所得inan 1ln anak12n n1 11ln(an 11) ln(an 1)、例 8 中丄丄n(n 1)ana. 1例13(I)之法2所得22ak 1 ak2都是進(jìn)行遞推放縮的關(guān)鍵式。七轉(zhuǎn)化為加強(qiáng)命題放縮如上述例11第（ii）問(wèn)所證不等式右邊為常數(shù)，難以直接使用數(shù)學(xué)歸納法，我們可以通過(guò)從特值入手進(jìn)行歸納探索、或運(yùn)用逆向思維探索轉(zhuǎn)化為證明其加強(qiáng)命題：1 11 a11 a2（略）。例18設(shè)01 1 1二-戸.再用數(shù)學(xué)歸納法證明此加強(qiáng)命題，就容易多了a 1，定義a1解析用數(shù)學(xué)歸納法推