§4.13 拉普拉斯變換與傅氏變換的關(guān)系

1、北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院北京郵電大學(xué)電子工程學(xué)院 退出開始 演演變變?yōu)闉槔鲜献冏儞Q換作作傅傅氏氏變變換換對對其其乘乘以以一一個個衰衰減減因因子子可可積積條條件件不不滿滿足足絕絕對對是是針針對對時時我我們們在在引引出出拉拉氏氏變變換換 , , , tetf )()()( jstsFtuetfFtfL 由此可以得到付氏變換與拉氏變換的由此可以得到付氏變換與拉氏變換的關(guān)系關(guān)系右右半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng) , 00s 左左半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng)s,00 收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當(dāng)當(dāng),00 一、一、二、二、三、三、引言一、一、右右半半平平面面收收

2、斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng) , 00s ， )0()()( tuetft， 0)(lim ttetf )(0 要要求求 ssF1 : 其拉氏變換其拉氏變換 :0，收斂坐標(biāo)收斂坐標(biāo) oj收斂域平面s . ,0 . , ,其收斂域在收斂軸以右其收斂域在收斂軸以右存在的單邊信號存在的單邊信號一般一般極點以右為收斂域極點以右為收斂域的極點的極點為為式看式看從從 tsFsF ).()(,)(, FsFF求求不不能能由由不不存存在在顯顯然然, : 收收斂斂軸軸 : 收收斂斂域域二、二、左左半半平平面面收收斂斂邊邊界界落落于于時時當(dāng)當(dāng)s,00 )0()( tuetft , 0)( , 0)(limttet

3、f衰減函數(shù)，傅氏變換是衰減函數(shù)，傅氏變換是存在存在的。的。 0 j 收收斂斂域域 ， 1ssF 。 1)( jF 0: 收收斂斂坐坐標(biāo)標(biāo) :收收斂斂軸軸 :收收斂斂域域 一一定定存存在在。因因而而的的軸軸上上變變化化范范圍圍可可以以在在軸軸，所所以以因因為為收收斂斂域域包包含含 Fsj, 0 jFsFjs求求出出就就可可以以由由只只要要令令, 三、三、收收斂斂邊邊界界位位于于虛虛軸軸時時當(dāng)當(dāng),00 。異函數(shù)項異函數(shù)項因為傅氏變換中包括奇因為傅氏變換中包括奇關(guān)系關(guān)系之間不再是簡單的置換之間不再是簡單的置換與與是存在的，是存在的，,sFFsF tutf ， 1ssF jF1)()( 例如：例如：

4、當(dāng)初求階躍函數(shù)的傅氏變換，不是用當(dāng)初求階躍函數(shù)的傅氏變換，不是用經(jīng)典法經(jīng)典法( (定義式定義式) )，而是用，而是用取極限取極限的方法（矩形脈沖的周期的方法（矩形脈沖的周期為無窮大），引入了為無窮大），引入了沖激函數(shù)沖激函數(shù)而得到的。而得到的。 ? FsF求求那那么么如如何何由由)( ,)()(為為極極點點nnnnjjsksFtfL )(| )()( nnjsksFtfF ：，將將其其展展開開成成部部分分分分式式出出發(fā)發(fā)由由 sF對于只有對于只有一階一階極點的情況，極點位于極點的情況，極點位于虛軸虛軸 ? FsF求求那那么么如如何何由由 sjsF 代代中中以以 . , kjsn而沖激函數(shù)之強度

5、為而沖激函數(shù)之強度為點相對應(yīng)點相對應(yīng)每個沖激函數(shù)與每個極每個沖激函數(shù)與每個極處處每個一階極點位于每個一階極點位于激之和：激之和：一系列沖一系列沖 （4-162） 則則證明根據(jù)變換的唯一性根據(jù)變換的唯一性 nnnjsksF )( ntjntuekFjFn)( 線性，卷積定理線性，卷積定理 nnnjk 1)()(221 nnnnnnkjk)()(1 nnnjsksF)(| )( )()()( jFtfsF ntjntuektfn)()( ntjntuFeFkn)(21 例例4-13-1， )0( ,1)( stuL jFsF求求由由)(sjssF1011)( )(|1)(1njsKsjF )(1

6、j解：解：)(11 j例例4-13-2)(sin)(0ttutf )( 1 F）利利用用卷卷積積定定理理求求（ )(sin)(0ttuFF )()(2100 jj )()(200 j )()(2002200 j卷積定理卷積定理 1)(1)(2100 j1)( )(sin210tuFtF )()()2( FsF由由單單邊邊拉拉氏氏變變換換 )0( ,)(02020 ssF0201)( jsKjsKsF ,2|0001jjsKjs nnnjsKsFF)(| )()( 兩種方法結(jié)果相同兩種方法結(jié)果相同 )(2)(2002200 jj )()(2002200 j2*12jKK 對應(yīng)的傅氏變換對應(yīng)的傅氏

7、變換還可能出現(xiàn)還可能出現(xiàn)沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)項沖激函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)項，例如，例如, )(軸軸上上的的多多重重極極點點具具有有如如果果 jsF kajsKsFsF00)( 11001!kksjKjFjF sk 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為求求101 kk （4-163）式中式中 的極點位于的極點位于s 左半左半平面，虛軸上有平面，虛軸上有 由此，可求得由此，可求得 sFa的極的極重重0 k為系數(shù)。為系數(shù)。點，點，0K多重極點例題 21ssF 21jjF 求求 的拉氏變換和付氏變換的拉氏變換和付氏變換 ttutf 由表由表4-14-1查到查到利用利用式（式（4-1634-163）可求出可求出 例4-13-3四四.結(jié)論結(jié)論 對于對于有起因有起因信號，求信號，求單單邊拉氏變換中，一般是邊拉氏變換中，一般是t0的信號，所以收斂域在收斂軸的信號，所以收斂域在收斂軸右右邊。對邊。對F(s)分解因式，分解因式，找出極點。收斂域中不應(yīng)有極點，最找出極點。收斂域中不應(yīng)有極點，最右右邊的極點為收斂邊的極點為收斂坐標(biāo)坐標(biāo)。 :)(的的