中國礦業(yè)大學(xué) 環(huán)境與測繪學(xué)院 《應(yīng)用大地測量學(xué)》王中元第五章 地球橢球與測量計算

1、第五章第五章 地球橢球地球橢球 與測量計算與測量計算 1、基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)知識 橢球的幾何特征；地球橢球的幾何特征；地球 橢球及其定位；橢球面橢球及其定位；橢球面 上的弧長計算。上的弧長計算。 2、地面觀測元素化算、地面觀測元素化算 至橢球面至橢球面 3、橢球面上大地坐標(biāo)、橢球面上大地坐標(biāo) 的計算問題的計算問題 1 2 3 4 5 a1 n a2 (b1,l1) 平面坐標(biāo)計算平面坐標(biāo)計算 球面坐標(biāo)計算球面坐標(biāo)計算 (x1,y1) 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球

2、及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進(jìn)行的，或者說測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進(jìn)行的，或者說 主要是對地球表面進(jìn)行觀測的，由于地球表面不是一個主要是對地球表面進(jìn)行觀測的，由于地球表面不是一個 規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，在其上面無法進(jìn)行嚴(yán)密的測量計算。規(guī)則的數(shù)學(xué)曲面，在其上面無法進(jìn)行嚴(yán)密的測量計算。 因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形 體體地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球 來表示地球必須解決來表示地球必須解決2 2個問題：個問題： 一是橢球一是橢球參數(shù)參數(shù)的

3、選擇的選擇( (橢球的大小和形狀橢球的大小和形狀) )； 二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的定位定位( (橢球橢球 與大地水準(zhǔn)面包圍的大地體應(yīng)當(dāng)最密合與大地水準(zhǔn)面包圍的大地體應(yīng)當(dāng)最密合) )。 5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 具有一定幾何參數(shù)，經(jīng)過定位，在具有一定幾何參數(shù)，經(jīng)過定位，在全球范圍內(nèi)全球范圍內(nèi)與大與大 地體最為接近、密合最好的橢球稱為地體最為接近、密合最好的橢球稱為地球橢球地球橢球。 在在某一地區(qū)某一地區(qū)與大地水準(zhǔn)面密合最好的橢球，稱為與大地水準(zhǔn)面密合最好的橢球，稱為參參 考橢球考橢球。 5.

4、1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位橢球定位 5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位橢球定位 5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 偏心距：偏心距： 第一偏心率：

5、第一偏心率： （5-15-1） 第二偏心率：第二偏心率： 扁率：扁率： （5-25-2） 橢球長半徑橢球長半徑a a，短半徑，短半徑b b 5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 22 ba 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) a a、b b、e e、ee之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： （5-35-3） （5-45-4） （5-55-5） 5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 2 2 1 1 eba eab 2 2 1 1 eee eee 22 2ffe 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 克拉索夫斯基橢球克拉索夫斯基橢球19801980國家大地坐標(biāo)

6、系國家大地坐標(biāo)系wgs-84wgs-84 a a637824563782456378140637814063781376378137 b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.288166356752.31426356752.3142 e2e20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013 e2e20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.

7、006739501819470.006739496742270.00673949674227 f f1:298.31:298.31:298.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563 幾種橢球幾何參數(shù)幾種橢球幾何參數(shù) 5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位橢球定位 5.1.2 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線

8、偏差及其基本公式 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 垂線偏差垂線偏差地面一點上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法地面一點上，鉛垂線方向和相應(yīng)的橢球面法 線方向之間的夾角線方向之間的夾角u 。 垂線偏差垂線偏差u u的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量 計算公式：計算公式： （5-75-7） （5-85-8） cos)(l b secl b 5.1.2 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系式：天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系式： （5-145-14） （5-155-15） 以上公式稱為以上公式稱為拉普拉斯

9、方程式拉普拉斯方程式。 sin)(la tana 5.1.2 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大橢球短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大 地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生歐拉角歐拉角，設(shè)，設(shè) 為為 。此時垂線偏差公式（。此時垂線偏差公式（5-85-8）及拉普拉斯方）及拉普拉斯方 程式（程式（5-155-15）擴(kuò)展為：）擴(kuò)展為： （5-165-16） 上式稱為廣義垂線偏差和拉普拉斯方程。上式稱為廣義垂線偏差和拉普拉斯方程。 zyx , z y x

10、a l 0secsinseccos 1tansincos 0cossin tan sec b 5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 5.1.3 橢球定位橢球定位 5.1.3 5.1.3 橢球定位橢球定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球定位橢球定位將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置 固定下來，確定測量計算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測量起固定下來，確定測量計算基準(zhǔn)面的具體位置和大地測量起 算數(shù)據(jù)。算數(shù)據(jù)。 包括：

11、定位和定向兩方面。定位是指確定橢球中心的包括：定位和定向兩方面。定位是指確定橢球中心的 位置，定向是指確定該橢球坐標(biāo)軸的指向。從數(shù)學(xué)上講就位置，定向是指確定該橢球坐標(biāo)軸的指向。從數(shù)學(xué)上講就 是要確定三個平移參數(shù)是要確定三個平移參數(shù) 和三個旋轉(zhuǎn)角和三個旋轉(zhuǎn)角 度度 。 橢球定位三個條件：橢球定位三個條件： （1 1）橢球短軸與某一指定歷元的地球橢球自轉(zhuǎn)軸平行；）橢球短軸與某一指定歷元的地球橢球自轉(zhuǎn)軸平行； （2 2）起始大地子午面與起始天文子午面相平行；）起始大地子午面與起始天文子午面相平行； （3 3）在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面（或似大）在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準(zhǔn)面（或似大

12、地水準(zhǔn)面）最為密合。地水準(zhǔn)面）最為密合。 ),( 000 zyx ),( zyx 5.1.3 5.1.3 橢球定位橢球定位 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn)。對于大地原點：橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn)。對于大地原點： b0= 0-0b0= 0-0 l0= 0-0l0= 0-0sec0sec0 a0= 0-0a0= 0-0tan0tan0 h0= h0h0= h0常常+0+0 初期定位時，初期定位時，00，00，00未知，可取為未知，可取為0 0。稱為。稱為一點定位一點定位。 根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù)，在根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù)，在 條件下，求條件下，求

13、 出原點的出原點的00，00，00值。稱為值。稱為多點定位多點定位。 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 法截面法截面包含曲面一點法線的平面。包含曲面一點法線的平面。 法截線法截線法截面與曲面的截線。法截面與曲面的截線。 斜截線斜截線不包含法線的平面與橢球面的截線。不包含法線的平面與橢球面的截線。 子午圈子午圈包含短軸的平面與橢球面的交線。包含短軸的平面與橢球面的交線。 卯酉圈卯酉圈與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該 點的卯酉圈。點

14、的卯酉圈。 平行圈平行圈垂直于短軸的平面與橢球面的交線。垂直于短軸的平面與橢球面的交線。 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑

15、5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) t w y c p p e e g q q o v o u k k n s s b b b+90 n = b x r x r r a 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) bnrcos 5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 微分幾何中麥尼厄定理：微分幾何中麥尼厄定理： （5-19） （5-26） （5-23） w又稱第一基本緯度函數(shù)，又稱第一基本緯

16、度函數(shù)，v稱為第二基本維度函數(shù)。稱為第二基本維度函數(shù)。 v c w a n 22 2 22 1cos1 sin1 bev bew 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) - dx dre d c k b b m m db

17、33 2 )1 ( v c w ea m （5-30） 5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 表表 m m、n n隨隨b b變化的規(guī)律變化的規(guī)律 b bn nm m說明說明 b=0b=0n n0 0=a=am m0 0= a(1-e= a(1-e2 2) ) 在赤道上，在赤道上，n n為赤為赤 道半徑道半徑a a，m m小于小于 赤道半徑赤道半徑a a 0 0b90b90ancanca(1-ea(1-e2 2)mc)mc 此間此間n n、m m均隨均隨b b的的 增大而增大增大而增大 b=90b=90 在極點，卯酉圈在極點，卯酉圈 變?yōu)樽游缛ψ優(yōu)樽?/p>

18、午圈 橢球面上任一點處的法截線中，橢球面上任一點處的法截線中，卯酉圈卯酉圈曲率半徑達(dá)到曲率半徑達(dá)到 最大值最大值，而，而子午圈子午圈曲率半徑曲率半徑最小最小。因此，任一點的卯酉圈。因此，任一點的卯酉圈 和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點的和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點的主方向主方向，其曲，其曲 率半徑率半徑n和和m稱為該點的主曲率半徑。由于橢球面上任一稱為該點的主曲率半徑。由于橢球面上任一 點處的平行圈與卯酉圈有公共切線，所以，點處的平行圈與卯酉圈有公共切線，所以，經(jīng)線和緯線經(jīng)線和緯線上上 每一點的切線也都是橢球面在該點主方向。每一點的切線也都是橢球面在該點主方向。 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用

19、大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 5.2.3 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) aman mn ra 22 sincos abe n a n ra 22 2 22 coscos1 cos1 5.2.3 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半

20、徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 公式（公式（5-33）可以看出，任意方向）可以看出，任意方向a的法截線的法截線 曲率半徑曲率半徑ra，不僅與緯度，不僅與緯度b有關(guān)，還與該點的法有關(guān)，還與該點的法 截線的大地方位角截線的大地方位角a有關(guān)。法截線的特性：有關(guān)。法截線的特性： （1）相對于主方向?qū)ΨQ位置的法截線具有相）相對于主方向?qū)ΨQ位置的法截線具有相 同的曲率半徑。同的曲率半徑。 （2）橢球面上任一點相互垂直的兩個法截線）橢球面上任一點相互垂直的兩個法截線 曲率之和為固定值，且等于兩個主方向曲率之和。曲率之和為固定值，且等于兩個主方向曲率之和。 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲

21、率半徑卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 5.2.4 5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 22 2 1 v c w ea r mnr 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 5.2.4 平均

22、曲率半徑平均曲率半徑 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 5.2.5 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算 5.3 5.3 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算 5.3 5.3

23、橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 1 1、計算、計算b=0b=0到到b b的子午圈弧長的子午圈弧長x x 由由m=dxm=dx/db/db（5-275-27）得：）得： 將（將（5-375-37） 代入上式，從代入上式，從0 0到到b b積分，可得積分，可得x x。可知，?？芍?，x x是是b b的函數(shù)。見的函數(shù)。見 公式公式(5-41)(5-41)。 注意注意：將不同的橢球參數(shù)代入得相應(yīng)的子午圈弧長計將不同的橢球參數(shù)代入得相應(yīng)的子午圈弧長計 算式。算式。 5.3.1 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 2 2、計算已知緯度、計算

24、已知緯度b1b1和和b2b2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長x x （1 1）分別計算）分別計算0 0到到b1b1和和0 0到到b2b2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長x1x1和和x2x2， 然后求然后求x=x2-x1x=x2-x1； （2 2）用上述積分式求）用上述積分式求b1b1b2b2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長x x。 5.3.1 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算 5.3 5.3 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 5.3.2 5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長

25、計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 平行圈是一個半徑等于平行圈是一個半徑等于 r=nr=ncosbcosb的圓，緯度的圓，緯度b b處經(jīng)度處經(jīng)度 l1l1l2l2之間的平行圈弧長之間的平行圈弧長 經(jīng)度差相同，緯度不同的平行圈，弧長不同。緯度越經(jīng)度差相同，緯度不同的平行圈，弧長不同。緯度越 高，單位經(jīng)度差點平行圈弧長越短。高，單位經(jīng)度差點平行圈弧長越短。 用于計算中、小比例尺地形圖中兩條子午圈和兩條平用于計算中、小比例尺地形圖中兩條子午圈和兩條平 行圈所包圍的橢球面面積。行圈所包圍的橢球面面積。 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4

26、.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算

27、至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 5.4.1 5.4.1 相對法截線相對法截線 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) ck=nsinb ck=nsinb， （5-225-22）代入（）代入（5-215-21）得：）得： 所以：所以： （5-435-43） 上式說點的緯度不同，其法線與短軸的交點到橢球中心上式說點的緯度不同，其法線與短軸的交點到橢球中心 之間的距離不等，緯度越高，交點到橢球中心的距離越長。之間的距離不等，緯度越高，交點到橢球中心的距離越

28、長。 t w y c p p e e g q q o v o u k k n s s b b b+90 n = b x r x r r a benyocsin)1 ( 2 bnebenbnoksinsin)1 (sin 22 5.4.1 5.4.1 相對法截線相對法截線 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 設(shè)設(shè)q1q1和和q2q2兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午 圈上，它們的法線圈上，它們的法線q1n1q1n1和和q2n2q2n2不相交。法截線不相交。法截線q1m1q2q1m1q2和和 q2m2q1q2m2q1稱為兩點間的稱為兩點間的相對法截線。相對法截線

29、。 正法截線正法截線與與反法截線。一般不重合。反法截線。一般不重合。 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 令令bmbm=45=45，a=45a=45，不同距離，不同距離s s求得的求得的值為：值為： s s 100km 100km 0.042 0.042 60km 60km 0.015 0.015 30km 30km 0.004 0.004 在長距離的測量中，對向觀測所得在長距離的測量中，對向觀測所得3 3個內(nèi)角不能組成個內(nèi)角不能組成 閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線大地線。大地線。 5.4.1 5.4.1 相對法截線相對法截線 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量

30、學(xué) 5.4.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 5.4.2 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 1 1、大地線大地線曲面上兩點間的最短曲線。（或：大地線曲面上兩點間的最短曲線。（或：大地線 是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處

31、的密切平面都包是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包 含曲面在該點的法線。含曲面在該點的法線。 k ddss 2 21 1 p p p b a 線 法 曲面 切平面 密切平面 3 1 = b e l d k 5.4.2 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 2 2、大地線幾何特征、大地線幾何特征 （1 1）一般情況下，曲面上的曲線并不是大地線（如球面）一般情況下，曲面上的曲線并不是大地線（如球面 上的小圓）。大地線相當(dāng)于橢球面上兩點間的最短程曲線。上的小圓）。大地線相當(dāng)于橢球面上兩點間的最短程曲線。 （2 2）大地線與相對法截線間的夾角為）大地線與

32、相對法截線間的夾角為=/3/3。 （3 3）大地線與相對法截線間的長度之差甚微，）大地線與相對法截線間的長度之差甚微，600km600km時二時二 者之差僅為者之差僅為0.007mm0.007mm。 （4 4）兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子）兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子 午圈、赤道重合。午圈、赤道重合。 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至

33、橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 5.4.3 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 大地線的解析特性大地線的解析特性表述表述dbdb、dldl、dada與與dsds的關(guān)系：的關(guān)系： 大地線的三個微分方程：大地線的三個微分方程： 2 1 - + cos = r r o 90 k m t n n n l l s p p p p b b bb d d d d d ad aa a 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 大地線的解析特性大地線

34、的解析特性表述表述dbdb、dldl、dada與與dsds的關(guān)系：的關(guān)系： 大地線的大地線的克萊勞方程克萊勞方程 ： r rsinasina=c=c（c c為常數(shù)）為常數(shù)） 對于橢球面上一大地對于橢球面上一大地 線而言，每點處平行圈線而言，每點處平行圈 半徑與該點處大地線方半徑與該點處大地線方 位角正弦的乘積是一個位角正弦的乘積是一個 常數(shù)（常數(shù)（大地線常數(shù)大地線常數(shù)）。）。 克勞萊定理克勞萊定理 5.4.3 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大

35、地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 1 1、垂線偏差改正、垂線偏差改正11 將地面測站點鉛垂線為基準(zhǔn)的觀測方向換算成橢球面將地面測站點鉛

36、垂線為基準(zhǔn)的觀測方向換算成橢球面 上以法線為準(zhǔn)的觀測方向，其改正數(shù)上以法線為準(zhǔn)的觀測方向，其改正數(shù)11為：為： （5-515-51） 例：例：a=0a=0，tantan=0.01=0.01，=5=5，則，則1=0.051=0.05。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差 和觀測方向的天頂距（或垂直角）。僅在國家一、二等三和觀測方向的天頂距（或垂直角）。僅在國家一、二等三 角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。 tan)cossin( cot)cossin( 1 aa zaa 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 橢球

37、上兩點不在同一子午面或同一平行圈上，過兩點多法線不共橢球上兩點不在同一子午面或同一平行圈上，過兩點多法線不共 面，照準(zhǔn)點面，照準(zhǔn)點 b b高出橢球面某一高度高出橢球面某一高度 h2h2，使得在，使得在a a點照準(zhǔn)點照準(zhǔn)b b點的法截線點的法截線 abab與與abab之間有一夾角之間有一夾角22。 （5-525-52） b2 b2 照準(zhǔn)點的大地緯度；照準(zhǔn)點的大地緯度； a1 a1 測站點至照準(zhǔn)點的大地方位角；測站點至照準(zhǔn)點的大地方位角； h2 h2 照準(zhǔn)點高出橢球面的高程；照準(zhǔn)點高出橢球面的高程； m1 m1 測站點子午圈曲率半徑。測站點子午圈曲率半徑。 例：例：a1=45a1=45，b2=45

38、b2=45，h2=2000mh2=2000m，1=0.11=0.1 局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。 5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向?qū)E球面上法截線方向換算為大地線方向 所加的為截面差改正數(shù)所加的為截面差改正數(shù)33。 例：例：a1=45a1=45，bmbm=45=45，s=30km 3=0.001s=30km 3=0.001 截面差改正主要與測站點至照準(zhǔn)點間的距截面差改正主要與測站點至照準(zhǔn)點間的距 離有關(guān)。只有在國家一等三角測量計算中，才

39、離有關(guān)。只有在國家一等三角測量計算中，才 進(jìn)行改正。進(jìn)行改正。 5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 5.4.5 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地

40、面觀測距離歸算至橢球面 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 設(shè)設(shè)a a、b b兩點的大地高分別為兩點的大地高分別為h1h1為為h2h2，h=h2-h1h=h2-h1，d d為空間直線長。為空間直線長。 由三角形由三角形aobaob按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦長弦長 （5-555-55） （4-284-28）（）（4-314-31） 弧長弧長 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.4.1 相對法截線相對法截線 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 5.4.5 地面觀測

41、距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 5.4.6 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 目的目的將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解 算未知邊長。算未知邊長。 方法一：按球面三角形解算公式：方法一：按球面三角形解算公式： 方法二：方法二：（勒讓德定理）（勒讓德定理）將球面三角形改化為對應(yīng)邊相等的平面三角將球面三角形改化為對應(yīng)邊相等的平面三角 形，按平面三角公式解算

42、三角形求得球面邊長。形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。 球面三角形球面角超球面三角形球面角超 =（a0+b0+c0a0+b0+c0）-180-180= =/r/r2 2，為三為三 角形面積。角形面積。 a1=a0-/3a1=a0-/3， b1=b0-/3b1=b0-/3， c1=c0-/3c1=c0-/3。 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 5.5 橢球

43、面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 5.5.1 5.5.1 概述概述 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 大地問題正解大地問題正解已知已知p1p1 點大地坐標(biāo)（點大地坐標(biāo)（b1b1，l1l1）、）、p1p2p1p2 大地線長大地線長s s和大地方位角和大地方位角a1a1， 推求推求p2p2點大地坐標(biāo)（點大地坐標(biāo)（b2b2，l2l2） 和大地方位角

44、和大地方位角a2a2。 大地問題反解大地問題反解已知已知 p1p2p1p2兩點的大地坐標(biāo)（兩點的大地坐標(biāo)（b1b1， l1l1）、（）、（b2b2，l2l2）反算）反算p1p2p1p2的的 大地線長大地線長s s和大地方位角和大地方位角a1a1、 a2a2。 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 1 1、按、按解算的距離解算的距離分為：短距離（分為：短距離（400km)400km)、中距離、中距離 （4004001000km)1000km)和長距離（和長距離（100010002000km)2000km)的解算。的解算。 2 2、按、按解算形式解算形式分為：直接解法和間接解法分為：直接解法和間接解法 直

45、接解法直接解法直接解求點直接解求點b b、a a和相鄰起算點的大和相鄰起算點的大 地經(jīng)差。地經(jīng)差。 間接解法間接解法先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角 差，再加入到已知點的相應(yīng)大地數(shù)據(jù)中。主要用于短差，再加入到已知點的相應(yīng)大地數(shù)據(jù)中。主要用于短 距離大地問題的解算。距離大地問題的解算。 5.5.1 5.5.1 概述概述 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 3 3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適 用于短距離）。用于短距離）。 基本思路：基本思路： a a、按照平均引數(shù)展開的泰勒級數(shù)把大地線兩端點、按照平均引數(shù)展開的泰勒級

46、數(shù)把大地線兩端點 的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長s s的冪級數(shù)；的冪級數(shù)； b b、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)，、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導(dǎo)數(shù)， 最終得到大地問題解算公式。最終得到大地問題解算公式。 5.5.1 5.5.1 概述概述 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 按照泰勒級數(shù)

47、將按照泰勒級數(shù)將p1p1和和p2p2兩點的緯差兩點的緯差b b、經(jīng)差、經(jīng)差l l和方位和方位 角差角差展開成為大地線長度展開成為大地線長度s s的冪級數(shù)，成為的冪級數(shù)，成為勒讓德級勒讓德級 數(shù)式數(shù)式。 公式（公式（5-635-63） 公式（公式（5-695-69） 公式（公式（5-705-70） 公式（公式（5-715-71） 5.5.2 5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 5.5.1 概述概述 5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式 5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 5.5.3 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 應(yīng)用大地測量學(xué)應(yīng)用大地測量學(xué) 首先把勒讓德級數(shù)在首先把勒讓德級數(shù)在p1p1點展開改為