西安工業(yè)大學(xué)高數(shù)期末考試題附標(biāo)準(zhǔn)答案試題

1、高等數(shù)學(xué)()期末參考答案、填空題(每小題 3分，共 36 分)11.lim 1xylim 1 1 xyxyxy1 xyy lim 1 1 xyxy2.函數(shù) zli 1lim xy yxlim yz(x, y)由方程 exz sin y 0 確定，則 zxyFyFz1ycosxxxzxecosyx2 xzxe3.設(shè)函數(shù)4.設(shè)函數(shù)f(x, y) 2x2 ax xy2 2y在點(diǎn) (1,1) 處取得極值，則常數(shù) a5.5. 空線 y2 2x,z2 1 x 在 點(diǎn)(12,1, 22) 處 的 切 線 方 程 為u ln x 2 1 2，則 L (x2 y2)ds L1 ds12 y2 z2 ，則它在點(diǎn)

2、M0(1, 1,1) 處的方向?qū)?shù)的最大值為1x212 z2126.改變積分次序： I dx22 2x x200f (x, y)dy1 1 1 y0dy 1 1 y2 f (x,y)dx .7.設(shè)平面曲線 L 為下半圓周 y 1 x28.設(shè) 為曲面 zx2 y2 在 0 z 1的部分，則xdS 0 .9. 設(shè) f(x)1,x0,則其以 2 為周期的傅里葉級數(shù)在 x 處收斂于 0x12(1 e ) .10.設(shè) y1,y2, y3是微分方程 y p(x)y q(x)y f (x)的三個(gè)不同的解，且 y1 y2 常 y2 y3數(shù)，則微分方程的通解為C1(y1 y2) C2(y2 y3 ) y1 .1

3、1.函數(shù) f (x)1 展開為 x的冪級數(shù)的形式為1n 1xn x ( 2, 2) .2 x n 0 2n 11 x x12.微分方程 yy xex 的通解為 Cx xexx二、計(jì)算下列各題(每小題 6 分，共 18分)1.設(shè) z f( y,exy)， y(x)，其中 f, 均為一階可微函數(shù)，求x解： dz f1 yx2 y f2 exy(y xy )dx x2x (x) (x) xyf12 f 2 exy( (x) x (x)x1 2 22.求曲面 z 4 (x2 y2) 與平面 z 2所圍立體的體積 .2dzdx解：所圍立體在 xoy面的投影域 D:x2 y2 4 ，所圍立體的體積(x2

4、y2)dxdyD2 22 121 2 2 2d r 2rdr 8 4 4V 4 1(x2 y2) 2 dxdy 2 dxdy222點(diǎn)，使該點(diǎn)的切平面與已知平面3.在 曲面 x2 2y2 3z2 66 上第一卦限部分求一x y z 1平行 .解：設(shè)曲面在第一卦限的切點(diǎn)的坐標(biāo)為 M (x, y, z)，令F(x,y,z) x2 2y2 3z2 66，則切平面的法向量n (Fx, Fy,Fz)M (2x,4y,6z),已知平面 x y z 1 的法向量n1 (1, 1, 1)依題意 n/n1 ，即2x 4y 6z 令 t1 1 1 t代入曲面方程中解的 x 6,y 3,z 2 ，即切點(diǎn)坐標(biāo)為 M (

5、6,3, 2).三、計(jì)算下列各題(每小題 6 分，共 18分) 1.設(shè) 是由錐面 z x2 y2 與半球面 z 1 x2 y2 圍成的空間區(qū)域， 是 的整個(gè)邊界的外側(cè)，求曲面積分 xdydz ydzdx zdxdy.解： 已知 P(x,y,z) x ，Q(x,y,z) y， R(x,y,z) z，由高斯公式有PQR xdydz ydzdx zdxdy ( )dvxyz3 dv 3 d 4 d r 2 sin dr0 0 03 2 (1 2) 1 (2 2)231 3 5 72.寫出級數(shù) 1 325374的通項(xiàng)，判別該級數(shù)的斂散性 .若級數(shù)收斂時(shí)，試求其和2 22 23 24解： 該數(shù)項(xiàng)級數(shù)的通

6、項(xiàng)為 un2n 12n；級數(shù)為正項(xiàng)級數(shù)，由于lim un1lim 1 2n 1 1，n unn 2 2n 1 2由比值審斂法知該級數(shù)收斂 .令s1(x)s(x)(2n 1)xn 2x nx n 1 n1xx0 s1(t)dt0 nt0 n 1 0n1nxn1n 1dt xn12xs1(x) s2(x) x ( 1,1) ，n x ，1xdx 0x10 s1(t)dt (1 x)2 ，s2(x)xnn1x1x所以2xs(x) (1 x)2 1 xxxx2(1 xx)2 x ( 1,1) ，1s(2)x x22(2n 1)21n(1 x)n 1 2 (1 x)3.1x23.求微分方程 y 3y 2

7、y 2ex的通解 .解：微分方程對應(yīng)的齊次線性微分方程的特征方程 r2 3r 2 0的特征根為r1 1, r2 2， f(x) 2ex 的1為特征方程的單根，則原方程的特解為y* Axex，代入原方程中得 A2,齊次線性微分方程的通解為 Y C1ex C2e2x ,所以原方程的通解為矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。y Y y* C1ex C2e2x 2xex.四、計(jì)算下列各題(每小題 6 分，共 18 分)22 1.求函數(shù) f (x, y) 4(x y) x y 的極值 .f x(x,y) 0x 2解： 由于 fx(x, y) 4 2x， fy(x,y) 4 2y ，令,得駐點(diǎn),f y(x,y) 0y

8、2又 A fxx ( x, y) 2，B fxy(x,y) 0，C fyy(x,y) 2，及(B AC)(2, 2) 4， 則點(diǎn) (2, 2) 位極大值點(diǎn)，極大值為f(2, 2) 42 ( 2) 22 ( 2)2 8.2.求冪級數(shù)n1(x 1)nn2n的收斂半徑及收斂域解： 令 t x 1 ，則(x 1)n n 1 n2n1n12n t n，由于an 1lim nan2nlim n 1 n (n 1)2n 1則收斂半徑 R 2 .又當(dāng) t2 時(shí)，級數(shù) ( 1)n收斂，當(dāng) t 2時(shí)，級數(shù) 1 發(fā)散，所以n1nt 2, 2) ，即級數(shù)的收斂域?yàn)?1, 3) .x 2z3.設(shè) z sin( xy)

9、(x, )，其中 (u, v)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，求y x y解： z ycos(xy)1(x, x) 1 2(x, x)，x y y y2zxx1x1x122(x, x)122(x, x)(y2yxyyx2)五、(本題 5 分)求函數(shù) f(x, y) x2 y2 2 在橢圓域D ( x, y)|x22y4 1 上的最大值和最小值 .解：由于 fx(x,y) 2x， fy(x,y)2y，令fx(x,y) 0 ,在D內(nèi)求得駐點(diǎn) (0, 0). f y (x,y) 0在 D 的邊界上，設(shè)22 2 2 yF(x, y, ) x2 y2 2(x241)，當(dāng) x 0 ，由0；2Fx (x,y, ) 2x 2

10、 x 01Fy(x,y, ) 2y y 02F (x,y, ) x2 y4 1 01)得1，代入( 2 )得 y 0 ，由于(1)(2)(3)在代入( 3)得x 1 ；同理當(dāng) y 0 y0f (0,0) 2 ，f( 1, 0) 3 ，f (0, 2) 2 ，所以最大值為3 ，最小值為 2.cos(xy) xysin( xy) 12(x, ) ( 2 ) x yyy六、(本題 5分)設(shè)在上半平面 D (x, y)|y 0內(nèi)，函數(shù) f(x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意的 t 0都有 f (tx,ty) t 2f(x, y) ，證明對 D內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線 L，都有 yf (x,y)dx xf (x,y)dy 0 .聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。解 ： 由 格 林 公 式 ， 對 D 內(nèi) 的 任 意 分 段 光 滑 的 有 向 簡 單 閉 曲 線 L ，L yf (x, y)dx xf (x,y)dy f (x,y) xfx(x, y) f(x,y) yfy(x, y) dxdy .D1 2f (x,y) xfx(x, y) yfy(x, y) dxdy(*)D1由于函數(shù) f(x, y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意