數(shù)學(xué)高考基礎(chǔ)知識 常見結(jié)論詳解(三) 八 導(dǎo) 數(shù)

1、數(shù)學(xué)高考基礎(chǔ)知識、常見結(jié)論詳解（三）八、導(dǎo) 數(shù)考試要求：(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。(2)熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則.了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(3)理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號)；會求一些實(shí)際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值?；靖拍睿呵髮?dǎo)數(shù)的方法：（1）常用的導(dǎo)數(shù)公式：(c)/=0 這里c是常數(shù)。即常數(shù)的導(dǎo)數(shù)值為。 (xn)/=nxn1 特別地：(

2、x)/=1 (x1)/= ( )/=x-2 (sinx)=cosx, (cosx)=-sinx ， ， ， （2）兩個(gè)函數(shù)四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)：(uv)=uv (uv)=uv+uv （v 0） (cu)=cu（3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義：kf/(x0)表示過曲線y=f(x)上的點(diǎn)p(x0,f(x0)的切線的斜率。vs/(t)表示即時(shí)速度。a=v/(t)表示加速度。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：求切線的斜率。導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 與 為增函數(shù)的關(guān)系。 能推出 為增函數(shù)，但反之不一定。如函數(shù) 在 上單調(diào)遞增，但 ， 是 為增函數(shù)的充分不必要條件。 時(shí)， 與 為增函數(shù)的關(guān)系。若將 的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定

3、 ，即摳去了分界點(diǎn)，此時(shí) 為增函數(shù)，就一定有 。當(dāng) 時(shí)， 是 為增函數(shù)的充分必要條件。 與 為增函數(shù)的關(guān)系。 為增函數(shù)，一定可以推出 ，但反之不一定，因?yàn)?，即為 或 。當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ，則 為常數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性。 是 為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個(gè)關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域;（2）求導(dǎo)數(shù) （3）解不等式 ，解集

4、在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間（4）解不等式 ，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以上關(guān)系，才能準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。求極值、求最值。注意：極值最值。函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值為極大值和f(a) 、f(b)中最大的一個(gè)。最小值為極小值和f(a) 、f(b)中最小的一個(gè)。f/(x0)0不能得到當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值。但是，當(dāng)x=x0時(shí)，函數(shù)有極值 f/(x0)0判斷極值，還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明。4.導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：（1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；（2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可

5、用于研究平面曲線的切線）；（3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于 次多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。注：1關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個(gè)方向，應(yīng)引起注意。九、排列組合與二項(xiàng)式定理考試要求：(1)掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題。(2)理解排列的意義.掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題。(3)理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì).并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題。(4)掌握

6、二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡單的問題?；靖拍睿河?jì)數(shù)原理加法原理：n=n1+n2+n3+nm (分類) 乘法原理：n=n1n2n3nm (分步)排列（有序）與組合（無序）anm=n(n1)(n2)(n3)(nm+1)= ann =n!cnm = cnm= cnnmcnmcnm1= cn+1m+1 kk!=(k+1)!k!排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排排列組合題的主要解題方法：優(yōu)先法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素. 以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.捆綁法（集團(tuán)元素法，把某些必須在一起的元素視為一個(gè)整體考慮）插

7、空法（解決相間問題）間接法和去雜法等等在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)注意：(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；(3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；(4)列出式子計(jì)算和作答.經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是：分類討論思想；轉(zhuǎn)化思想；對稱思想.二項(xiàng)式定理：(a+b)n=cn0ax+cn1an1b1+ cn2an2b2+ cn3an3b3+ cnranrbr+ cn n1abn1+ cnnbn特別地：(1+x)n=1+cn1x+cn2x2+cnrxr+cnnxn通項(xiàng)為第r+1項(xiàng)：tr+1= cnranrbr 作用：處理與指定項(xiàng)、特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)

8、、有理項(xiàng)等有關(guān)問題。主要性質(zhì)和主要結(jié)論：對稱性cnm=cnnm 最大二項(xiàng)式系數(shù)在中間。（要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù)，答案是中間一項(xiàng)還是中間兩項(xiàng)）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和：cn+cn1+cn2+ cn3+ cn4+cnr+cnn=2n奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和偶數(shù)項(xiàng)而是系數(shù)的和cn+cn+cn+ cn+ cn+cn+cn+cn+ cn+ cn+=2n-15. 注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（字母項(xiàng)的系數(shù)，指定項(xiàng)的系數(shù)等，運(yùn)算結(jié)果的系數(shù)）的區(qū)別，在求某幾項(xiàng)的系數(shù)的和時(shí)注意賦值法的應(yīng)用。6二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：解決有關(guān)近似計(jì)算、整除問題，運(yùn)用二項(xiàng)展開式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。十、概 率考試要求：(1)了解隨

9、機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義。(2)了解等可能性事件的概率的意義，會用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率。(3)了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算一些事件的概率。(4)會計(jì)算事件在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率?；靖拍睿?必然事件 p(a)=1，不可能事件 p(a)=0，隨機(jī)事件的定義 0p(a)n時(shí)，有|an-a|1時(shí)，數(shù)列無極限當(dāng)|q|1時(shí)，數(shù)列有極限，（ （|q|1且q0）5無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和 （|q|0,存在m0，當(dāng)|x|m時(shí)，不等式|f(x)-a|恒成立（a是常數(shù)），那么就說x時(shí)，f(x)的

10、極限是a。注意： 2當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f(x)的極限。（1） 當(dāng)x從點(diǎn)x0左側(cè)(xx0)且xx0時(shí)，f(x)a（3） 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的鄰域(x0-b,x0)(x0, x0+b)(b0)內(nèi)有定義，如果對于預(yù)先給定的任意小的0,都存在 0，當(dāng)0|x-x0| 時(shí)，不等式|f(x)-a|恒成立，(a是常數(shù))，那么，就說xx0時(shí),f(x)的極限是a。注意： 3兩個(gè)重要極限（1） （2） （三）函數(shù)的連續(xù)性：1函數(shù)的連續(xù)性定義（1）如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處及其附近有定義，且 ，那么f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。（2）如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=x0處及其左側(cè)（或右側(cè)）有定義，而且 （或者 ），那么，f(x

11、)在點(diǎn)x0處左連續(xù)（右連續(xù)）。（3）若f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，且在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則稱f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)。2運(yùn)算：（1）若f(x)，g(x)在x0點(diǎn)處連續(xù)，則f(x)g(x)，f(x)g(x)， 也在x0處連續(xù)。（2）在 在點(diǎn)x0處連續(xù)，且f(u)在 處連續(xù)，則復(fù)數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)x0處也連續(xù)。3初等函數(shù)的連續(xù)性：（1）正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一（二）次函數(shù)，冪、指、對數(shù)函數(shù)，三角、反三角函數(shù)都屬于基本初等函數(shù)，基本初等函數(shù)在定義域里每一點(diǎn)處都連續(xù)。（2）基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算得到的函數(shù)都是初等函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域里每一點(diǎn)處的極限值都等于該點(diǎn)的函數(shù)值。說

12、明：f(x)在x0處連續(xù)與f(x)在點(diǎn)x0處有極限的聯(lián)系與區(qū)別：聯(lián)系：f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是依據(jù)f(x)在x0處的極限來定義的，它要求 存在。區(qū)別：f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)比在此點(diǎn)處有極限所具備的條件要強(qiáng)：首先 存在時(shí)，x0可以屬于或不屬于f(x)的定義域，即與f(x0)是否有意義無關(guān)；而f(x)在x0處連續(xù)，要求f(x)在點(diǎn)x0及其附近都要有意義。其次f(x)在點(diǎn)x0處的極限值與f(x)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值f(x0)要相等。綜上：連續(xù)必有極限，而有極限未必連續(xù)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的三個(gè)條件缺一不可：其一：f(x)在點(diǎn)x0處有定義；其二：f(x)在點(diǎn)x0處有極限，其三： 。從運(yùn)算角度，連續(xù)函數(shù)在某一點(diǎn)x0處的極限運(yùn)算與函數(shù)關(guān)系“f”可以交換順序。十三、數(shù)系的擴(kuò)充復(fù)數(shù)考試要求：(1) 了解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義。(2) 掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則，能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法、減法、乘法、除法運(yùn)算。 (3) 了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴(kuò)充的基本思想