圓的極坐標(biāo)方程

1、圓的極坐標(biāo)方程 1. 曲線的極坐標(biāo)方程 一般地，在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足 方程f (p, 0) =0,并且坐標(biāo)適合方程f (p, 0) =0的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲線C的極坐標(biāo)方程. 2. 圓的極坐標(biāo)方程 (1)特殊情形如下表 圓心付骨 極坐標(biāo)方程 圖形 圓心在極點(diǎn)(0 , 0) (0 02tt) 圓心在點(diǎn)(r , 0) p= 2rcos 0 7T 7T eq 圓心在點(diǎn)(r , 2) p= 2rsin 0 (0 0 7T) 圓心在點(diǎn)(r , TT) p = 2rcos 9 (70 )3S 圓心在點(diǎn)(r, 32) o = 2rs

2、in 0 (n 0 0) (2) 一般情形：設(shè)圓心C ( po, 0o),半徑為r, M (p, 0)為圓上任意一點(diǎn)， 則| CM|=r, z.COM= | 0 0o| ,根據(jù)余弦定理可得圓C的極坐標(biāo)方程為p 2popcos (0 00) + po r2 = 0. o 2 1. 極坐標(biāo)方程p = 4表示的曲線是（） A.過(guò)（4, 0）點(diǎn)，且垂直于極軸的直銭 過(guò)（2, 0）點(diǎn)，且垂直于極軸的直線 C.以（4, 0）為圓心，半徑為4的圓D 以極點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓 解析：選D.由極坐標(biāo)方程的定義可知，極坐標(biāo)方暗4表示以極點(diǎn)為圓心，以4為 半徑的圓. 2. 圓心在（1, 0）且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)（

3、） A. p= 1 Bp= cos 0 Cp=2cosD p=2sin8 解析：選C.經(jīng)過(guò)極點(diǎn)0且半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為p=2acos0,因圓心在 （1 , 0）,所以半徑為1,所以極坐標(biāo)方程為p-2cos0,故選C. 3.極坐標(biāo)方p=cos4 表示的曲線是（） -rr-i 橢 A.雙曲線 B 閭C.拋物線 解析：選D.p TT cosK4 0 IT =cos cos 0+sin A D圓 k4 sin 0 = 22cos 0 + 22sin 0, 7 2 所以 P2= 22p cos 0+ 22 p sin 0, 即 x2 + y=22x+ 2y 2 2 2 2 _ 化簡(jiǎn)整理得X 2 +

4、 y 2 =,表不圓.選D 4 4 4 4.極坐標(biāo)方程p=2cos8表示的曲線所圍成的面積為 解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲線表示圓，且圓的半徑r為1, 所以面積S=irr =冗 答案：u 圓的極坐標(biāo)方程 5tt 2, sin6 3tt 求圓心在C 2, 2處并且過(guò)極點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程，并判斷點(diǎn) 是否在這個(gè)圓上. 解如圖，由題意知，圓經(jīng)過(guò)極點(diǎn)0, 0A為其一條直徑，設(shè)M （p, 0）為圓上 除點(diǎn)0, A以外的任意一點(diǎn)，貝IJ | 0A| -2r ,連接AM,則0M丄MA. 3 IT 在 RtA OAM 中，| 0M| =| OA|cos zAOM,即 p= 2r c

5、os 2 0 所以p=4sin8,經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)0 （0, 0） , A4,務(wù)兀的坐標(biāo)滿足上式. 所以滿足條件的圓的極坐標(biāo)方程為p = 4sin8. 1 因?yàn)閟in肓 O 2， ._5tt 所以 p = 4sin = 4sin 2, 5tt 所以點(diǎn)一2, sin V在此圓上. 求曲線的極坐標(biāo)方程的五個(gè)步驟 （1）建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系（本題無(wú)需建）；（2）在曲線上任取一點(diǎn)M （p, 0） ;（3）根據(jù)曲線上的點(diǎn)所滿足的條件寫(xiě)出 等式；（4）用極坐標(biāo)（p, 0）表示上述等式，并化簡(jiǎn)得曲線的極坐標(biāo)方程； （5）證明 所得 的方程是曲線的極坐標(biāo)方程.（一般只要對(duì)特殊點(diǎn)加以檢驗(yàn)即可） 注意求曲線的極坐標(biāo)方程，

6、關(guān)鍵要找出曲線上的點(diǎn)滿足的幾何條件，并進(jìn)行 坐標(biāo)表示. 求圓心在C 2, 4,半徑為1的圓的極坐標(biāo)方程. 解：設(shè)圓C上任意一點(diǎn)的極坐標(biāo)為M （p, 0）,如圖，在厶O(píng)CM中，由余弦 定理，得 222 | 0M| 2 + | 0C| 2 2|OM|OC|coszCOM = |CM|2, 即 p2 2 2pcos 0 4 +1 = 0. 當(dāng)0, C, M三點(diǎn)共線時(shí)， TT 21, 4也適合上式，所以圓的極坐標(biāo)方程為p? 2 2pcos 0 4 + 1= 0. 圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化進(jìn)行直角坐標(biāo)方程 與極坐標(biāo)方程的互化: 2 2 2 y2=4x；(2)x2+y2 2x1= 0； p 2

7、cos 0 解 將 x= pcos 0, y= psin 0 代入 y2= 4x, 2得(psin 0 =4pcos 0. 2化簡(jiǎn)，彳專 p sin 20= 4cos 0. (2) 將 x= p cos 0, y=psin 0 代入y +x 2x 1 = 0, 22 得(psin 0) 2+(pcos 0) 2 2pcos 0 1=0, 化簡(jiǎn)，得 p 2pcos 0 1= 0. (3)sm1p2_C0S 所以 2p pcos 0 = 1. 所以 2 x2 + y2 x= 1.化簡(jiǎn)，得 3x2 + 4y2 2x 1=0. 在進(jìn)行兩種坐標(biāo)方程間的互化時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)互化公式是有三個(gè)前提條件的

8、，即極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合、極軸與直 角坐標(biāo)系的橫軸的正半軸重合，兩種坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度相同. (2)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí)，理論上不是唯一的，但這里約定只在0 02u范圍 內(nèi)求值. (3) 由直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，最后要注意化簡(jiǎn). (4) 由極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)要注意變形的等價(jià)性，通常要用p去乘方 程的兩端，應(yīng)該檢查極點(diǎn)是否在曲線上，若在，是等價(jià)變形，否則，不是等價(jià)變 形. 1.把下列直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程. (1) y= 3x； (2) x2 y2= 1. 解：(1)將x= pcos 0, y=psin 0 代入 y = 3x 得 psin 8= 3pcos 8,從而 (

9、2)將火=p cos 0, y=psin 0 代入 x2 y2 = 1, 得 p2cos20 p2sin 20= 1, 2把下列極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. 2 p2cos 2 8= 1； TT (2) p= 2cos 04 2解：(1)因?yàn)?p2cos2 8=l,所以 p2cos20 p2sin 20 =1.所以 化為直角坐標(biāo)方程為x2y2= 1. Till (2)因?yàn)?p = 2cos 0cos 4 +2sin 0sin 4 = 2cos 0+ 2sin 0,所以 p2= 2 pcos 0 + 2p sin 0 所以化為直角坐標(biāo)方程為x2+ y2 2x 2y = 0. 求相關(guān)動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方

10、程 從極點(diǎn)0作圓C： p= 2acos 0的任意一條弦ON,求各弦的中點(diǎn)M的極坐 標(biāo)方程.解法一：如圖所示，圓C的圓心C (a, 0),半徑r = |OC| = a, 因?yàn)镸為弦ON的中點(diǎn)，連接CM所以CM丄ON,故M在以0C為直徑的圓 上，所以動(dòng)點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程是p= acos 0.法二：設(shè)M (p, 8) , N (pi, 01) 因 N 點(diǎn)在圓 p= 2acos 0 上，pi= 2acos 0i. 為 M是ON的中點(diǎn)，pi=2p, 01=0 所 將它代入式得2p = 2acos 0,故M的極坐標(biāo)方程是p= acos 0.將本例中 以 所求得的中點(diǎn)M的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程. I大I

11、解：因?yàn)?p =acos 0,所以 p2= a- pcos 0,所以 x2+y2= ax, 所以中點(diǎn)M的直角坐標(biāo)方程為x2+y2ax= 0. 本例所涉及的問(wèn)題有相關(guān)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程已知，求另一個(gè) 動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.求解時(shí)找出等量關(guān)系，代入化簡(jiǎn)即可. 0P2 從極點(diǎn)0引定圓p=2cos8的弦OP,延長(zhǎng)OP到Q使pq= 3,求點(diǎn) Q的極坐標(biāo)方程，并說(shuō)明所求的軌跡是什么圖形？ p22 解：設(shè) Q(P，0) , P ( po, 00),則 0 = 00,=,所以 po= p,因?yàn)?po = p p 35 2cos 0o.所以 p= 2cos 0,即 p= 5cos 0,它表示一個(gè)圓.

12、5 解析：選C如圖所示. 0 2. 10 設(shè)M(p, 0)是圓上點(diǎn)，則上ONMZ MOx= e , 在 RtZkNMO 中，I 0M| =| ON|sinzONM, 即 p = 2rsin 8= asin 0. 3. 把圓C的極坐標(biāo)方程p=2cos8轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為,圓心 的 直角坐標(biāo)為 解析：因?yàn)?p = 2cos8,所以 p2 = 2pcosB,將 p2= x2 +y2, x= pcos 8 代入得 直角坐標(biāo)方程為x2+y2 = 2x,其圓心坐標(biāo)為(1, 0) 答案：x?+y2 = 2x (1 , 0) 4. 寫(xiě)出圓心在(1, -1)處，且過(guò)原點(diǎn)的圓的極坐標(biāo)方程. 解：圓的半徑為r=2

13、,圓的直角坐標(biāo)方程為(x-1) 2+ (y+1) 2 = 2. 變形得x2+y2 = 2 (x-y), 用坐標(biāo)互化公式得p2 = 2 (pcos 0 psin 0), 即 p = 2cos 0 2sin 0 A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1在極坐標(biāo)系中圓心在(2,冗)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為() p = 2 2cos A. p= 2 2cos C. p= 2 2sin p = _ 2 2sin 解析：選B如圖所示,P(2：), 在圓上任找一點(diǎn)M (p。)， 延長(zhǎng)OP與圓交于點(diǎn)Q, 則zOM = Q90。，在 RtA OMQ 中, 2 2cos | 0M| =| 0Q| coszQOM,所以 p = 2 2cos(u

14、 0), 22 x +y 4x = 的極坐標(biāo)方 程為 。選 B. A p= 2cos 0 p= 2sin 0 C - p = 4cos 0 p= 4sin 0 2- 11 4 p cos 0 解析：選C.把x=pcosB, 222 y = p-sin 0, x +y =p 入得 19 0, 所以 p= 0 或 p= 4cos 0. 又極點(diǎn)也在p= 4cos 0 圓 p= 8 5 3sin 5cos o 2tt 3 故選C. 0的圓心坐標(biāo) A. 5, C. n 5, 3 5u 5, 53 選 D.因?yàn)?p= 5cos 0 5 3 sin 0, p2 = 5p cos 0 5 3psin 0, x

15、2 + y2 = 5x 5 3y, 52 X 2 + p5 32 所以圓心C 52， tan B=x= 3, 2 53 2 0 = 5 IT 所以圓心C的極坐標(biāo)為C5, 3 4.極坐標(biāo)方程分別為p = cos 0和卩=$山 的兩個(gè)圓的圓心 距是 A. 2 解析: 選1 廠2 D.兩圓的直角坐標(biāo)方程分 別為 +y2 = 代2 4 故選D. TT 5極坐標(biāo)方程p=cos(4 0) B. U 表示的曲 A.雙曲 線 解析: IT 選D因?yàn)閜 = cos 4 0 拋物 線 P= 22(COS 圓 +sin 0), 所以p2 2 2 ( pcos 0+ psin 可， 所以 x2+y2= 22x+ 22

16、y,即 x 42 + y 42 = U 6. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo) 系.若曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2sin0,則曲線C的直角坐標(biāo)方程為 解析:因?yàn)?p= 2sin 0,所以 p2=2psin 0,所以 x2+y2=2y,即 x2+y22y= 0. 答案：x?+y2 2y= 0 7. 圓心在點(diǎn)(3,冗)處，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為 解析：如圖所示C (3 , TT ) A (6 , TT ),設(shè)M (p, 0)為圓上異于0、A 的任一點(diǎn)，連接0M, AM,則0M丄AM, | 0A| = 6為圓C的直徑，在RtA 0MA 中，ZAOMTT 0 0T

17、T, 因?yàn)閨 0M| =| OA|cos (u 0), 所以 p= 6cos ( TT 0), 即p = 6cos 0,驗(yàn)證知0、A也適合， TT3n 所以所求圓的極坐標(biāo)方程為p = 6cos8 ( 2 0 2) n 3n 答案：p = 6cos8 ( 2 0 2 ) 8. 在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)A (3 , 0)且與極軸垂直的直線交曲線p=4cos8于 A、B兩點(diǎn)，貝IJ | AB| = 解析：由題意知，直線方程為x=3, 曲線方程為(x 2) 2+ y2= 4, 將x = 3代入圓的方程， 得 y =3,則 | AB| =2 3. 答案：23 9. 把下列直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行互化.

18、22 (1) x2+y22x= 0； (2) p= cos 0 2sin 0； 22 (3) p = cos 0 22 解：(1)因?yàn)閤2+y2 2x= 0, 所以 p 2p cos 0 = 0. 所以 p= 2cos 0. (2)因?yàn)?p = cos 0 2sin 0, 所以 p =pcos 0 2psin 0. 所以 x2+y2= x 2y, 即 x2 + y2x+ 2y= 0. (3) 因?yàn)?p2= COS20, 所以 p4=p2cos20 = (pcos 0) 2.所以(x2+y2) 2=x2,即 x2+y2=x 或x2+y2 = X. 10. 若圓C的方程是p = 2asin 0,求

19、： (1) 關(guān)于極軸對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程； 3tt (2) 關(guān)于直線0=3k對(duì)稱的圓的極坐標(biāo)方程. 4 解：設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(p, 0). (1)點(diǎn)M(p, 8)關(guān)于極軸對(duì)稱的點(diǎn)為(p, 8),代入圓C的方程p = 2asin 0, 得 p = 2asin( 0),即 p = 2asin 0 為所求. (2)點(diǎn)M(p, 8)關(guān)于直勞乳4對(duì)稱的點(diǎn)p, V-9 ,代入圓C的方程P=2msin 。，得 p=2asin2_0 即 P=_2bcos8 為所求. B能力提升 11以極坐標(biāo)系中的點(diǎn)I, 1)為圓心,1為半徑的圓的方程是() TT p=2sin Q p= 2sin (0 1) TT A p= 2cos 0 4 C. p= 2cos ( 0 1) 解析：選C在極坐標(biāo)系中，圓心在(po,9o),半徑為r的HI的方稈為，rn 2ppcos ( 0 0),所以可得 p= 2cos (61) 2tt 12. 在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P 2s,點(diǎn)Q是圓p=2cos8+3上的動(dòng)點(diǎn)，貝J | PQ| 的最小值是 解析：已知圓的圓心為Cl, 35n半徑為1,將點(diǎn)p, C的極坐標(biāo)化為直