掌握截面法,打好力學(xué)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)

1、掌握截面法，打好力學(xué)堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ) .、八、一 前言 結(jié)構(gòu)力學(xué)是土建、 水利工程類(lèi)各專(zhuān)業(yè)的必修課， 主要研究桿 系結(jié)構(gòu)在荷載等外因影響作用下的強(qiáng)度和剛度的計(jì)算與校核。 由 于結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計(jì)算繁瑣，一直是學(xué)生頭痛的功課。學(xué)生為什么感 到結(jié)構(gòu)力學(xué)難學(xué)呢？筆者在長(zhǎng)期教學(xué)中， 針對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在 的問(wèn)題， 感覺(jué)到一個(gè)很重要的原因， 就是學(xué)生沒(méi)有掌握好靜力學(xué) 計(jì)算的基本方法截面法。 這個(gè)原因在基礎(chǔ)較差的少數(shù)民族班 中更顯得突出， 因此要學(xué)好結(jié)構(gòu)力學(xué)， 首先必須熟練掌握截面法。 我們希望該文章能夠給學(xué)生一點(diǎn)啟發(fā)與幫助， 增強(qiáng)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力學(xué) 的信心與興趣。 一、截面法的定義 定義：將指定截面切開(kāi)取出左邊部分（或右邊

2、部分）為隔離 體，應(yīng)用隔離體的平衡條件確定截面的內(nèi)力或反力。定義不難， 但是理解卻是不容易的， 例如用假想平面將截面切開(kāi)后， 為什么 截面處會(huì)出現(xiàn)力？這似乎是簡(jiǎn)單又簡(jiǎn)單的問(wèn)留， 是理論力學(xué)、 材 料力學(xué)早已解決的問(wèn)題， 可這正是許多同學(xué)在學(xué)習(xí)中沒(méi)有學(xué)好這 一內(nèi)容，致使在結(jié)構(gòu)力學(xué)的學(xué)習(xí)中成為一個(gè)說(shuō)不清道不明似是而 非的問(wèn)題，追蹤源頭，是學(xué)生對(duì) 力 的概念仍舊模糊。什么叫 “力”？“力”就是物體與物體之間的相互作用。見(jiàn)圖1，一個(gè) 房梁搭在墻上為什么可以保持不動(dòng)， 不會(huì)掉下來(lái)？就是由于墻體 的支撐作用，而這作用實(shí)質(zhì)上是力的作用，若不用墻體，而換為 某一同學(xué)用肩膀去扛， 同學(xué)一定會(huì)感到梁壓力的作用，

3、而自己必 須使勁才能使梁不動(dòng)， 這充分說(shuō)明支撐作用就是力的作用， 而且 由于梁壓力的作用，同學(xué)不僅是肩膀受到力的作用，而且軀干、 腿部均感到力的作用，這說(shuō)明外力的作用引起物體內(nèi)部力的作 用，這就是內(nèi)力。當(dāng)用假想平面把結(jié)構(gòu)與支座切斷，則支座對(duì)結(jié) 構(gòu)的支撐約束作用就用其支撐力代替， 就好象用人體代替墻體一 樣，同理，看圖 2，從桿件某一指定截面處用假想平面切開(kāi)，取 截面一側(cè)部分為隔離體， 在截面處必有另一部分隔離體對(duì)該截面 的約束作用內(nèi)力， 這就是截面處出現(xiàn)力的原因。 從平衡的觀 點(diǎn)來(lái)講， 取出的隔離體一定要滿(mǎn)足平衡條件， 在截面處必存在與 荷載、反力構(gòu)成一組平衡力系的內(nèi)力。 二、截面法中的幾個(gè)問(wèn)

4、題 1、隔離體的類(lèi)型 根據(jù)所求問(wèn)題的不同，隔離體大致可以分下列三種類(lèi)型： （ 1）全部結(jié)構(gòu) 一般在求支座反力時(shí)常采用這種隔離體，例 如圖 3 所示三鉸剛架計(jì)算豎向反力 時(shí)就以整體為隔離體，根據(jù) 的平衡條件得到： ，具體計(jì)算時(shí)，為方便取隔離體并不去掉支 座，而直接在支座處標(biāo)出反力方向，應(yīng)用平衡條件計(jì)算即可。 （ 2）部分結(jié)構(gòu) 求解截面內(nèi)力一般采用這種隔離體，即把欲 求內(nèi)力的截面截開(kāi)，取截面一側(cè)部分為隔離體。 3）一個(gè)結(jié)點(diǎn) 桁架內(nèi)力計(jì)算的結(jié)點(diǎn)法就是一個(gè)典型的例子。 此外在剛架內(nèi)力計(jì)算中， 由已知剪力求軸力以及最后內(nèi)力校核時(shí) 也常取一個(gè)結(jié)點(diǎn)為隔離體。 2、桿件的類(lèi)型 截取隔離體時(shí)， 根據(jù)不同類(lèi)型的桿

5、件， 在桿截面處的內(nèi)力種 類(lèi)也是不同的。 （ 1）梁式桿 這是以受彎為主的桿件，象梁、剛架的桿件就 是這種類(lèi)型，其內(nèi)力包含彎矩、剪力和軸力。 （ 2）桁式桿 內(nèi)力只有軸力的桿件，又稱(chēng)二力桿或鏈桿，桁 架在結(jié)點(diǎn)荷載作用下，各桿均為桁式桿。 （3）結(jié)構(gòu)計(jì)算中還要注意支座的類(lèi)型，不同類(lèi)型的支座對(duì) 應(yīng)的反力也是不同的，教課書(shū)上有詳細(xì)論述，這里就不贅言了。 三、如何應(yīng)用截面法 在結(jié)構(gòu)力學(xué)中， 計(jì)算方法很多， 但這些方法仍然是以截面法 為基礎(chǔ)的， 例如疊加法作彎矩圖， 其中很關(guān)鍵的一步就是求各控 制截面的彎矩值， 而其計(jì)算方法就是截面法。 用截面法求解指定 截面內(nèi)力的一般計(jì)算步驟是： 1、用假想平面切開(kāi)指

6、定截面，取出一側(cè)部分為隔離體。 2、把隔離體上作用的荷載、支座反力以及內(nèi)力畫(huà)出，一般 末知內(nèi)力按正向畫(huà)出。 3、應(yīng)用平衡條件逐個(gè)求出截面內(nèi)力。一般步驟是： 第 1 步，同學(xué)基本上可以掌握， 但個(gè)別同學(xué)出現(xiàn)的問(wèn)題是截 取隔離體時(shí)，并沒(méi)有完全斷開(kāi)，例如圖 4 所示桁架，應(yīng)用截面法 求解 a 桿軸力 ，正確方法是：先作截面 I 一 I 切斷 a、 b、c 三 桿，取截面左邊部分為隔離體，以 C 點(diǎn)為矩心，由 即可求出 。 而出現(xiàn)的錯(cuò)誤做法是只切斷了 a桿，就想當(dāng)然應(yīng)用I 一 I左邊部 分，由 得出 的錯(cuò)誤解答。 其根本原因就是對(duì)隔離體的概念比較 模糊。所謂隔離體，意在隔離，即與周?chē)矬w聯(lián)系完全斷開(kāi)，

7、 藕斷絲連 是不行的，不完全斷開(kāi)， 實(shí)質(zhì)上還是整體， 但是由于 是 一對(duì)大小相等方向相反的力， 應(yīng)用平衡條件是無(wú)法解出的。 也許 會(huì)有同學(xué)問(wèn)： “取隔離體不能藕斷絲連， 為什么在力法解超靜定 桁架截?cái)喽嘤鄺U件時(shí)， 強(qiáng)調(diào)只切斷軸向聯(lián)系， 而其余兩個(gè)聯(lián)系依 然存在？”這又是一個(gè)模糊概念。 力法中截?cái)鄺U件， 是指去掉多 余約束，而代以多余未知力，使超靜定結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)，并 不是取隔離體，這點(diǎn)一定要分清。 第 2 步，同學(xué)中存在的問(wèn)題就多了， 最普遍的問(wèn)題就是取隔 離體時(shí)遺漏了力。 遺漏內(nèi)力 同學(xué)在計(jì)算截面內(nèi)力時(shí)， 常常出現(xiàn)的一種錯(cuò)誤就是不能正確 區(qū)分兩類(lèi)不同的桿件。舉例，見(jiàn)圖 5 所示組合結(jié)構(gòu)，

8、假定反力 、 已求出，現(xiàn)在計(jì)算各桿內(nèi)力，有些同學(xué)應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法，把A點(diǎn)取為 隔離體，在標(biāo)出各桿端內(nèi)力時(shí)，忽略了AE桿的類(lèi)型，錯(cuò)誤地看 成軸力桿，把剪力 遺漏，應(yīng)用平衡條件很方便地求出軸刀 、 ， 結(jié)果不言而喻是錯(cuò)誤的。 出現(xiàn)上述錯(cuò)誤的原因是這些同學(xué)對(duì)桁式 桿的概念比較模糊，他們只看到 AE桿兩端的鉸A E，忽視了中 間的鉸F,誤把AE桿看成桁式桿。另外有些同學(xué)也知道 AE桿是 梁式桿，但解題時(shí)粗心大意，忘記標(biāo)出剪力，導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。 遺漏反力 各類(lèi)結(jié)構(gòu)中滾軸支座、 鉸支座比較多見(jiàn)， 同學(xué)們通過(guò)大量解 題，對(duì)這兩種支座反力比較熟悉， 但有時(shí)由于粗心大意也容易遺 漏反力， 例如在三鉸剛架計(jì)算中就容易忽略

9、水平反力。 而對(duì)固定 支座、定向支座，同學(xué)們常常犯的錯(cuò)誤是把反力矩漏掉。舉例， 見(jiàn)圖 6，繪結(jié)構(gòu)彎矩圖，一般方法是從自由端開(kāi)始順次求出各桿 端彎矩，然后作M圖。但是也有同學(xué)先求支座反力：，。卻忽 視了反力矩，于是截取AB段為隔離體進(jìn)行計(jì)算時(shí)，得出 、都 等于零的錯(cuò)誤結(jié)論。 再舉一典型例子： 有一同學(xué)求圖 7 所示懸臂 剛架固定支座豎向反力 時(shí)，他以 C 為矩心，由 ，得： ，計(jì)算(J), 結(jié)果顯然是不正確的，原因是把 A支座的水平反力 及反力 矩 漏掉了。這位同學(xué)所選取的隔離體計(jì)算也是不簡(jiǎn)便的，實(shí)際 上對(duì)整體取豎向投影平衡方程 ，就很方便地求得 遺漏荷載 同學(xué)在截取隔離體時(shí)， 遺漏某些荷載是常

10、出現(xiàn)的毛病， 舉例， 見(jiàn)圖 8，三鉸剛架 、 圖已作出，作軸力圖時(shí)，求 需要截取結(jié) 點(diǎn)D為隔離體，許多同學(xué)取圖9 (a)圖隔離體，由 解得，是 拉力，從方法上講是正確的，但是漏畫(huà)了水平荷載F,由于這小 小的疏忽，使得前功盡棄。正確隔離體見(jiàn)圖9 (b),根據(jù)平衡 條件得到 ， 是壓力。另外在荷載個(gè)數(shù)比較多的情況下，同學(xué)截 取隔離體時(shí)常常粗心大意、丟三落四，總是漏畫(huà)某幾個(gè)荷載，例 如桁架的內(nèi)力計(jì)算。 因此同學(xué)們一定要細(xì)心， 養(yǎng)成先核對(duì)再計(jì)算 的好習(xí)慣。 上面論述了截面內(nèi)力的計(jì)算方法， 但在實(shí)際應(yīng)用中同學(xué)仍然 存在很多問(wèn)題，尤其是剛架截面彎矩的計(jì)算。主要表現(xiàn)如下： 1、不會(huì)計(jì)算剛架截面彎矩，這個(gè)問(wèn)題

11、在少數(shù)民族班和大專(zhuān) 班表現(xiàn)比較突出，其根本原因是：基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí)，對(duì)于理論 力學(xué)中的靜力平衡內(nèi)容和材料力學(xué)中的梁彎曲內(nèi)容沒(méi)有掌握好。 因此對(duì)結(jié)構(gòu)力學(xué)中比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算就感到束手無(wú)策非 常困難。 對(duì)這類(lèi)問(wèn)題沒(méi)有其它解決方法， 只有老老實(shí)實(shí)坐下來(lái)認(rèn) 真補(bǔ)課才行。有些同學(xué)思路不開(kāi)闊，不能靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。 在材料力學(xué)單跨靜定梁的內(nèi)力計(jì)算中所截取的隔離體均是單根 桿件，同學(xué)在計(jì)算截面彎矩肘， 外力對(duì)截面形心的距離比較直觀， 因此外力矩的計(jì)算比較簡(jiǎn)單。 但在結(jié)構(gòu)力學(xué)中， 對(duì)剛架的內(nèi)力計(jì) 算中所截取的隔離體不是一維空間的單根桿件， 而是擴(kuò)展到二維 空間的多根桿件體系， 相應(yīng)外力對(duì)截面形心之矩的分布就

12、比較復(fù) 雜。因此這些同學(xué)在計(jì)算時(shí)就感到比較吃力。 原因就是隔離體擴(kuò) 展到平面的若干桿件， 不再是一條線(xiàn)上的單根桿件， 計(jì)算截面彎 矩時(shí)，這些同學(xué)不清楚外力對(duì)截面形心的力臂如何取， 甚至個(gè)別 同學(xué)不清楚外力對(duì)相隔幾個(gè)桿件的截面彎矩會(huì)有影響。 這就需要 多舉例題，加強(qiáng)練習(xí)，例如圖 11 所示剛架的隔離體，欲計(jì)算截 面彎矩 ，應(yīng)用力沿作用線(xiàn)移動(dòng)不影響力的作用的原理，把各個(gè) 外力的作用線(xiàn)畫(huà)出，則它們對(duì)截面形心的力臂的大小就很明確 了，比如力 對(duì)截面形心的力臂顯然等于 ，關(guān)系摘清楚了，問(wèn)題 也就迎刃而解了。 2、繪剛架彎矩圖時(shí)不會(huì)判斷桿件受拉受壓側(cè)，某些同學(xué)應(yīng) 用公式（c）計(jì)算截面彎矩時(shí)，方法和結(jié)果都正確，但是畫(huà)出的 彎矩圖總是反的，追究其原因是錯(cuò)誤的理解了公式（c），把等 號(hào)兩邊的等量關(guān)系理解為不但數(shù)值相等， 而且方向也相同， 例如 圖7中計(jì)算桿BC左瑞彎矩 時(shí)，取BCD部分為隔離體，由 可得：， 而荷載對(duì)截面的彎矩是順時(shí)針?lè)较虻模@些同學(xué)就認(rèn)為 也是順 時(shí)針?lè)较虻?，由此可得B端是下側(cè)受拉，必然畫(huà)出相反的彎矩圖。 在此建議犯有同等錯(cuò)誤的同學(xué)把本文前面關(guān)于截面內(nèi)力的公式 （a）、（ b）、（ c）部分再看一看，要深刻理解它們的實(shí)質(zhì)是 平衡條件，而決不是單純的等式