福師大點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)練習(xí)題答案

1、練習(xí)（第二章）參考答案:一. 判斷題（每小題2分）1. 集合X的一個(gè)拓?fù)溆胁恢灰粋€(gè)基，一個(gè)基也可以生成若干個(gè)拓?fù)洌╔ ）2. 拓?fù)淇臻g中任兩點(diǎn)的距離是無意義的.（V ）3. 實(shí)數(shù)集合中的開集，只能是開區(qū)間,或若干個(gè)開區(qū)間的并.（X ）、T2是X的兩個(gè)拓?fù)?，則TUG是一個(gè)拓?fù)?（X ）5. 平庸空間中任一個(gè)序列均收斂，且收斂于任一個(gè)點(diǎn)。（J ）6. 從（X, L）到（X, T2）的恒同映射必是連續(xù)的。（X ）7. 從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射（V ）8 .設(shè)岡，攻2是集合X的兩個(gè)拓?fù)?，則岡C2不一定是集合X的拓?fù)洌╔ ）9. 從拓?fù)淇臻gX到平庸空間Y的任何映射都是連續(xù)映射（V ）1

2、0. 設(shè)A為離散拓?fù)淇臻gX的任意子集，貝= 0 （ J ）11設(shè)A為平庸空間X（X多于一點(diǎn)）的一個(gè)單點(diǎn)集，則d（A）= 0 （ X ）12.設(shè)A為平庸空間X的任何一個(gè)多于兩點(diǎn)的子集，則d（A）= X（J ）二. 填空題：（每空格3分）1、X=Z+,T=Zi,Z2,Z,其中Zn= n, n+1, n+2,貝！I包含3的所有開集為乙、Z“Z包含3的所有閉集為乙zzz,.包含3的所有鄰域?yàn)橐?乙,Z*, 12 Z3設(shè) A=1,2, 3, 4, 5則A的導(dǎo)集為1,2, 3, 4A的閉包為1,2, 3, 4, 52、設(shè)X為度量空間,xGX,則d (x) =03、在實(shí)數(shù)空間彳中，有理數(shù)集Q的導(dǎo)集 R .4

3、、xed(A)當(dāng)且僅當(dāng)對于x的每一鄰域U有 ;答案： U C(A-x) H (/)5、設(shè)A是有限補(bǔ)空間X中的一個(gè)無限子集，貝!J(A)= ; A= ;答案：X ； X6、設(shè)4是可數(shù)補(bǔ)空間X中的一個(gè)不可數(shù)子集，則(A)= ； A= ；答案：X; X7、設(shè) X =1,2,3, X 的拓?fù)?3 = X,02,2,3,則 X 的子集 A = 1,2的內(nèi)部為 ；答案：三、單項(xiàng)選擇題(每題2分)1、已知X =a,b,c,e,下列集族中，()是X上的拓?fù)? = X,0,a,o,b,a,c,e W = X,0,d,b,c,a,b,d,b,c,e ”X,0, = X,0,d,b,答案：2、已知X=a,b,c,d

4、,拓?fù)銳T = X,0,則而=（） O Xb,c,答案：3、已知 X=se,c,N,拓?fù)?JT = X,0,則面=（）0X心b,c,答案：4、設(shè)X=,c,拓?fù)渖?仇,/,則X的既開又閉的非空真子集的個(gè)數(shù)為（）1234答案：5、設(shè)X+町,拓?fù)渖?仇何,則X的既開又閉的子集的個(gè)數(shù)為（）0123答案：6、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集0的內(nèi)部0是（)0Q）R _Q水答案：7、在實(shí)數(shù)空間中，有理數(shù)集0的邊界6（。）是（)0）R_QR8、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集Z的內(nèi)部Z是（答案：0Z啟ZR答案：9、在實(shí)數(shù)空間中，整數(shù)集Z的邊界0(Z)是()0Z用ZR答案：10、在實(shí)數(shù)空間中，區(qū)間0,1)的邊界是() 0 0,1

5、0,1 (0,1)答案：11、設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，人方是X的子集，則下列關(guān)系中錯誤的是( ) d(AjB) = d(A)d(B)(2) aUb = A A B e c：.、T.(3) VT o nT,= T ”寸 A e c：； T.所以c；L7；也是拓?fù)?2. 度量空間中收斂序列的極限是唯一的.證：設(shè) Xi J ieZ+ fX, xi ,eZ+ f y,則 B(x, P (x, y)/3) AB(y, P (x, y)/3) = 0.對于 B(x, P (x, y) /3),存在 N 0,當(dāng) iM 時(shí)有兀 w B (x, P (x, y) /3)對于 B(y, P (x, y)/3),存在 “2 0,當(dāng) i “2 時(shí)有 Xj G B(y, P (x, y) /3)取N=max/VI, N?,則當(dāng) iN時(shí)有 M e B(x, P (x, y)/3) AB(y, P (x, y) /3)與 B(x, P (x, y)/3)AB(y, P (x, y)/3) = 0.矛盾3.設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,B是一個(gè)基,xEX,則Bx=BGB|xeB是點(diǎn)x處的一個(gè) 鄰域基.見 定理在歐氏平面M中令Y=(0,y)|yeRu(x,0)|xeR,證明:Y與實(shí)數(shù)空間R不同胚.(提