矩陣的定義及其運(yùn)算規(guī)則

1、1矩陣的定義及其運(yùn)算規(guī)則1矩陣的定義一般而言，所謂矩陣就是由一組數(shù)的全體，在括號（）內(nèi)排列成 m行n列（橫的稱行, 縱的稱列）的一個(gè)數(shù)表，并稱它為mxn陣。矩陣通常是用大寫字母A、B來表示。例如一個(gè)m行n列的矩陣可以簡記為：一 ；Lr1,或蟲=（a，j。即：3&減。沁（2-3）我們稱（2-3）式中的為矩陣A的元素，a的第一個(gè)注腳字母-：；| ，表 示矩陣的行數(shù)，第二個(gè)注腳字母j （j = 1, 2,，n）表示矩陣的列數(shù)。當(dāng)m= n時(shí)，則稱= 叫：為n階方陣，并用一：表示。當(dāng)矩陣（曲）的元素僅有一 行或一列時(shí)，則稱它為行矩陣或列矩陣。設(shè)兩個(gè)矩陣，有相同的行數(shù)和相同的列數(shù)，而且它們的對應(yīng)元素一一相

2、等，即二 ，則稱該兩矩陣相等，記為A = B。2、三角形矩陣由i = j的元素組成的對角線為主對角線，構(gòu)成這個(gè)主對角線的元素稱為主對角線元素。如果在方陣中主對角線一側(cè)的元素全為零，而另外一側(cè)的元素不為零或不全為零，則該矩陣叫做三角形矩陣。例如，以下矩陣都是三角形矩陣:3、單位矩陣與零矩陣在方陣; 中,0110%21I鳥122 0 鳥2鳥弭如果只有- 0、(-500Q2 Q、+3 +1丿-的元素不等于零，而其他元素全為零，如:則稱為對角矩陣， 可記為1。如果在對角矩陣中所有的 i彼此f 0 M0 1 - 0都相等且均為1，如: 1丿，則稱為單位矩陣。單位矩陣常用E來表示，即:當(dāng)矩陣中所有的元素都

3、等于零時(shí)，叫做零矩陣，并用符號“ 0來表示。4、矩陣的加法矩陣A = ( aij ) mxn和B = (bij) mxn相加時(shí)，必須要有相同的行數(shù)和列數(shù)。如以C = ( Cij)m勺表示矩陣A及B的和，則有：式中：匚一：、。即矩陣C的元素等于矩陣 A和B的對應(yīng)元素之和。A、B、C都是miXn矩陣)由上述定義可知，矩陣的加法具有下列性質(zhì)(設(shè)(1) 交換律：A + B = B + A(2) 結(jié)合律：(A + B)+ C= A +( B + C) 5、數(shù)與矩陣的乘法我們定義用k右乘矩陣A或左乘矩陣A，其積均等于矩陣-：中的所有元素都乘上k之后所得的矩陣。如:A、B都是mXn矩陣，k、h為任意由上述定

4、義可知，數(shù)與矩陣相乘具有下列性質(zhì)：設(shè) 常數(shù)，則：(1) k (A + B )= kA + kB(2) ( k+ h) A = kA + hA(3) k ( hA )= khA6、矩陣的乘法若矩陣乘矩陣.；：，則只有在前者的列數(shù)等于后者的行數(shù)時(shí)才有意義。矩陣j列元素對應(yīng)乘積的和。素八；的計(jì)算方法定義為第一個(gè)矩陣第i行的元素與第二個(gè)矩陣第 若：A B=CJttct Z 耘 It則矩陣I.的元素由定義知其計(jì)算公式為:% =知血+免如+鈿鳥=三陽如）(2-4)【例2-1】陣的積?！窘狻坑捎谠O(shè)有兩矩陣為:A矩陣的列數(shù)等于B矩陣的行數(shù)，故可乘，其結(jié)果設(shè)為簽丿，試求該兩矩C：11 務(wù) 気5 22 匚打其中：

5、Gi= fliAi+剛婦4 =曲1 +如少31Cj2 =112 + 1222【例2-2】已知：A =【解】計(jì)算結(jié)果如下：f 031 q 1 (?10-13 2 1?,B =c22，求A、B兩個(gè)矩陣的積。I-211矩陣的乘法具有下列性質(zhì):(1)(2)(3)(4) (kB )。【例通常矩陣的乘積是不可交換的。矩陣的乘法是可結(jié)合的。設(shè)A是mXn矩陣，B、C是兩個(gè)nxt矩陣，則有: 設(shè)A是mKn矩陣，B是n淪矩陣。則對任意常數(shù)A ( B + C )= AB + AC。 k 有：k (AB ) = ( kA ) B = A2-3】 用矩陣表示的某一組方程為:VAXiLltd Mxf tA ftcl(2-

6、5)式中:% is ri-i八f 乍/二A =X AL =Kxl推1MxlS虬f；JJ J試將矩陣公式展開，列出方程組。(2-6)2-6）式代入（2-5）式得:【解】現(xiàn)將（(2-7)=勺忑+婦乃+耳再+/a必丿乞氐+&町+iKj將上式右邊計(jì)算整理得:可得方程組:(2-8)I稱為改正數(shù)陣，二稱為誤差方程組的系數(shù)陣,門稱為未知數(shù)陣,Z.1稱為誤差方程組的常數(shù)項(xiàng)陣。殲=的可+対花+斤為+ 3 =衍碼+務(wù)斗2 + f內(nèi)+?2兀二簽亞+婦可+眄+人可見，上述方程組可以寫成（2-5）式的矩陣形式。上述方程組就是測量平差中的誤差 方程組，故知（2-5）式即為誤差方程組的矩陣表達(dá)式。式中【例2-4】 設(shè)由n個(gè)觀測值列出r個(gè)條件式如下，試用矩陣表示?！鞍?H拓4 務(wù)巧+WL = 0昭+鳥西+即；+町二0叭+呀+比+畔=0【解】現(xiàn)記:r=w=Hxl(2-9)則條件方程組可用矩陣表示成：精品文檔，你值得期待AViW-，：:：，-(2-10)/Vw上式中稱為條件方程組的系數(shù)陣， 廠稱為改正數(shù)陣，；稱為條件方程組的閉合差列陣。多事的東風(fēng)，又冉冉地來到人間，桃紅支不住紅艷的酡顏而醉倚在封姨的臂彎里， 柳絲趁著風(fēng)力，俯了腰肢，搔著行人的頭發(fā)，成團(tuán)的柳絮，好像春神足下