電力生產(chǎn)問題的數(shù)學模型

1、電力生產(chǎn)問題的數(shù)學模型摘 要電力生產(chǎn)問題模型是基于對現(xiàn)有發(fā)電產(chǎn)能與每日用電需求的分析，通過制定合理的生產(chǎn)計劃，來探討如何有效降低生產(chǎn)成本。由于電力生產(chǎn)問題中涉及發(fā)電機可用數(shù)量、輸出功率、生產(chǎn)成本與電能安全余量等因素，本文利用數(shù)學知識聯(lián)系電力生產(chǎn)實際問題建立了模型，充分考慮當日與次日24小時生產(chǎn)的連續(xù)性，從循環(huán)生產(chǎn)的角度出發(fā)，尋求最優(yōu)電力生產(chǎn)計劃。對于問題一，本文通過建立數(shù)學成本控制模型，列出了生產(chǎn)總成本構(gòu)成要素：發(fā)電機啟動成本、固定成本與邊際成本，確定了每日總成本最小的目標函數(shù)。出于實際長遠生產(chǎn)考慮，給定了系列約束條件：在保證每日電力輸出充分滿足需求下，我們將正在工作的發(fā)電機實際使用數(shù)量限制為

2、整數(shù)且不大于可用數(shù)量，實際輸出功率介于該發(fā)電機最大最小輸出功率之間，并加入了當日日末時段與次日日初時段電力生產(chǎn)內(nèi)部關聯(lián)等約束條件。在建立了線性規(guī)劃方程組基礎上，使用LINGO軟件計算出系列參數(shù)值與目標函數(shù)值，進而得到成本最小的最優(yōu)生產(chǎn)方案，模型求解得到的總成本最小值為：元。對于問題二，鑒于市場實際每日用電需求的變化，應充分考慮到需要隨時備足電能安全余量以應對用電量可能出現(xiàn)突然上升的情況，將正在工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力這一情況納入考慮。從而建立了含安全余量因素的成本優(yōu)化模型，得到了新的最優(yōu)生產(chǎn)方案。同樣地運用LINGO軟件求解，經(jīng)過窮舉算得出考慮安全余量后新生產(chǎn)計劃下總成本最小值為

3、：元。關鍵詞：線性規(guī)劃 電力生產(chǎn) 輸出功率 最小總成本 1. 問題重述如何應對每日電力需求，在充分考慮各個約束條件的情況下，做好每日各時段發(fā)電機開工的具體計劃，控制生產(chǎn)成本是企業(yè)不得不思考的問題。在充分了解實際問題的經(jīng)濟背景、掌握準確數(shù)據(jù)、確定影響因素及目標的前提下，將這些實際生產(chǎn)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，通過科學的數(shù)學方法找到滿意的答案，制定出成本最小的生產(chǎn)方案。當然如何將實際生產(chǎn)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，并不斷改進模型進一步完善，這是我們需要深入思考的問題。在本文中，我們考慮如何將經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型并用LINGO軟件解決成本最低問題，制定最優(yōu)電力生產(chǎn)方案。1.1電力供需概況與成本說明該問題中每日電

4、力需求（單位為兆瓦（MW），如表1給出了每日7個時間段用電需求情況：表1每日用電需求時段編號1234567時段（0時-24時）0-66-99-1212-1414-1818-2222-24時長(h)6332442需求（MW）12000320002500036000250003000018000在供電能力方面，每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電能力，當接入電網(wǎng)時，其輸出功率不應低于某一最小輸出功率且不能高于最大輸出功率。另外發(fā)電機工作會產(chǎn)生三類成本：所有發(fā)電機都存在一個啟動成本，以及工作于最小功率狀態(tài)時的固定的每小時成本，并且如果功率高于最小功率，則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個邊際成本。需要注意的

5、是：只有在每個時段開始時才允許啟動或關閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同，關閉發(fā)電機不需要付出任何代價。如表2給出了發(fā)電機的數(shù)量、產(chǎn)能及三類成本的相關信息。表2 發(fā)電機情況指標型號可用數(shù)量（臺）最小輸出率（MW）最大輸出率（MW）固定成本（元/小時）每兆瓦邊際成本（元/小時）啟動成本（元/次）型號110800180022002.75000型號241000150018002.21600型號381200200038001.82400型號431800350048003.812001.2本文需解決的問題問題一：在每個時段應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，最小總成本為多少？問題二：如果在任何時刻，正在

6、工作的發(fā)電機組必須留出20%的發(fā)電能力余量，以防用電量突然上升。那么每個時段又應分別使用哪些發(fā)電機才能使每天的總成本最小，此時最小總成本又為多少？2. 模型的假設與符號說明2.1模型假設通過對題目的分析，為了使問題得到簡化，我們做出了以下合理假設：假設1：只有在每個時段開始時才啟動、關閉發(fā)電機，或者調(diào)整發(fā)動機功率；假設2：忽略發(fā)電機啟動的時間；假設3：發(fā)動機不工作時不發(fā)生任何成本；假設4：調(diào)整發(fā)電機功率沒有成本；假設5：發(fā)電機生產(chǎn)的電量在傳輸過程中沒有損耗；假設6：發(fā)電機的功率在時段初調(diào)整好后在那個時段內(nèi)保持不變；假設7：發(fā)電機都能正常工作；假設8：每天都以最優(yōu)的電力配置（型號、時間段、數(shù)量、

7、功率）運行；假設9：后一天的第一個時間段是緊接前一天的最后一個時間段進行循環(huán)生產(chǎn)；2.2符號說明表3 符號說明符號符號說明時段編號型號在第個時間段型號發(fā)電機實際使用數(shù)量在第個時間段型號發(fā)電機的總超出功率第個時間段對應時長第個時間段電力總需求型號發(fā)電機的單位啟動成本型號發(fā)電機的單位固定成本型號發(fā)電機的每兆瓦邊際成本型號發(fā)電機的可用數(shù)量型號發(fā)電機的最小輸出功率型號發(fā)電機的最大輸出功率第個時段新增開的型號的發(fā)電機的臺數(shù)3. 問題分析此問題研究的是如何根據(jù)發(fā)電機的產(chǎn)能合理安排生產(chǎn)作業(yè)計劃，在保證市場需求得到滿足前提下達到總成本最小的數(shù)學建模問題。針對問題一：已知條件主要提供了每日各時段市場用電需求、發(fā)

8、電機產(chǎn)能、發(fā)電機工作產(chǎn)生的成本三方面信息。為滿足每日7個時間段對應的電力總功率需求，提供了4種不同型號的發(fā)電機，其可用數(shù)量，最大最小輸出功率各不相同，發(fā)電機工作產(chǎn)生的單位啟動成本、固定成本與邊際成本構(gòu)成單位生產(chǎn)總成本。本題目標在于尋求生產(chǎn)成本最優(yōu)下的生產(chǎn)方案，因此目標函數(shù)為：生產(chǎn)總成本最小，即要求上述三類成本總和最小。對于每日總啟動成本：由于發(fā)動機連續(xù)幾個時段工作時只產(chǎn)生一次啟動成本，關閉不發(fā)生成本，若當前時段同型號發(fā)電機使用數(shù)量小于上一時段使用數(shù)量時，此時僅需關閉幾臺發(fā)電機，啟動成本已計入上一時段中，當前時段不產(chǎn)生新的啟動成本；若當前時段同型號發(fā)電機使用數(shù)量大于上一時段使用數(shù)量時，此時需增開

9、幾臺發(fā)電機即可，當前時段只需計入新增開同一型號發(fā)電機啟動成本。故該時間段該型號發(fā)電機工作產(chǎn)生的總啟動成本為同種發(fā)電機增開臺數(shù)與單位啟動成本之積。則每日總啟動成本即為7個時段4個發(fā)電機組啟動成本累和。對于每日總固定成本：在某個時間段某種型號發(fā)電機工作產(chǎn)生的總固定成本等于該時段該種發(fā)電機實際使用數(shù)量乘以發(fā)電機在該時段的工作時長，再乘以對應單位固定成本。則每日總固定成本即為7個時段4個發(fā)電機組固定成本累和。對于每日總邊際成本：在某個時間段某種型號發(fā)電機工作產(chǎn)生的總邊際成本等于該時段該種電機超出的功率、實際使用數(shù)量與該發(fā)電機在該時段的工作時長的三者之積再乘以對應單位邊際成本。則每日總邊際成本即為7個時

10、段4個發(fā)電機組邊際成本累和。由于各時間段的用電需求不同，各時段對應發(fā)電機型號、使用數(shù)量與輸出功率也會隨之變化，因此必須考慮各時段電力需求、發(fā)電機功率與使用數(shù)量限制以及各要素內(nèi)部關聯(lián)等約束條件。通過建立約束條件的線性規(guī)劃方程組與成本控制模型，使用LINGO軟件求出成本最小，進而得到最優(yōu)的電力生產(chǎn)方案。針對問題二：在問題一基礎上充分考慮到應備足安全余量來應對突發(fā)狀況這一新情況，提出正在工作的發(fā)電機組必須隨時留出20%的發(fā)電能力這一條件。因而在問題二中，目標函數(shù)不變，對約束條件進行微調(diào)：發(fā)電機組在每日第時間段所能發(fā)出的最大總功率的80%要大于等于當日第時段的用電需求，進一步優(yōu)化建立了含安全余量因素的

11、成本最小化模型，同問題一可以類似的采用線性規(guī)劃方法和LINGO軟件進行求解。4. 問題一的解答4.1模型建立目標函數(shù)：確定約束條件：約束一: 臺數(shù)約束由于對每種型號的發(fā)電機的總數(shù)量是有限的, 而且在啟動成本中,由于前一時段開啟的發(fā)電機,下一時段需要繼續(xù)用時無需啟動成本,所以當前時段某型號的發(fā)電機所需的臺數(shù)和開啟的臺數(shù)滿足以下式子,即約束一: 功率約束由于每個時段每種型號發(fā)電機的總超出功率受其最小輸出功率和最大輸出功率和所需的臺數(shù)的限制得到約束條件二,即約束一: 需求約束由于不同時段的電力總量必須滿足規(guī)定值,即綜上所述,得到問題一的最優(yōu)化模型4.2模型求解將建立的目標函數(shù)與約束條件編寫成LIDG

12、O程序語句進行求解，經(jīng)過窮舉最終得到每日電力生產(chǎn)計劃1如表4所示：表4.問題1求解結(jié)果單位：臺、兆瓦指標時段編號型號1發(fā)電機型號2發(fā)電機型號3發(fā)電機型號4發(fā)電機使用數(shù)量總超出功率使用數(shù)量總超出功率使用數(shù)量總超出功率使用數(shù)量總超出功率14300525000000242900525007560030343005250075600004440005250075600410054300525007560000643500525007560010741300525003240000最小總成本 通過表4可以看出在成本最優(yōu)的生產(chǎn)方案下，型號1發(fā)電機與型號2發(fā)電機每日使用數(shù)量是固定不變的，分別是2臺與4臺，且

13、連續(xù)工作24小時，但7各時段中發(fā)電機輸出功率處于波動變化中；而型號3發(fā)電機與型號4發(fā)電機各時段使用數(shù)量是不斷變化的，但型號3發(fā)電機各時段輸出功率持續(xù)處于最大輸出功率水平，型號4發(fā)動機輸出功率則波動較大。在上述最優(yōu)化的生產(chǎn)方案下，模型求解得到的總成本最小值為：元。5. 問題二的解答5.1模型建立模型與問題二基本一致，加入了安全余量約束，即要求工作中發(fā)電機組在每日第i時間段所能發(fā)出的最大總功率的80%要大于等于當日第i時段的用電需求。因而僅需改變約束條件3為：每個時間段每種型號發(fā)電機實際使用數(shù)量時，對應時段和對應型號的發(fā)電機輸出功率為零；反之當時，對應時段和對應型號的發(fā)電機輸出功率應滿足：不小于相

14、應型號發(fā)電機的最小輸出功率，不大于對應的最大輸出功率的80%。由此得到約束條件： 5.2模型求解在問題一的模型上，加入產(chǎn)能安全余量因素后改變約束條件3，我們對模型進行求解。通過LINGO軟件計算，經(jīng)過窮舉我們得到最優(yōu)結(jié)果，轉(zhuǎn)化為如表5每日電力生產(chǎn)計劃2，即得到每日各時段發(fā)電機使用型號、數(shù)量與輸出功率的具體生產(chǎn)安排。表5每日電力生產(chǎn)計劃2單位：臺、兆瓦指標時段編號發(fā)電機型號1發(fā)電機型號2發(fā)電機型號3發(fā)電機型號4數(shù)量單位輸出功率數(shù)量單位輸出功率數(shù)量單位輸出功率數(shù)量單位輸出功率19800412000000291355.5641200616003180039777.784120061600218004

15、91400412008160031933.3359755.56412005160031800691311.1141200516003180079866.67412000031800通過表4與表5對比，發(fā)現(xiàn)在每日電力生產(chǎn)計劃2中發(fā)電機的使用數(shù)量整體大幅增加，輸出功率整體下降。電力生產(chǎn)計劃2中，9臺型號1發(fā)電機與4臺型號2發(fā)電機每日使連續(xù)工作24小時；而型號3發(fā)電機與型號4發(fā)電機各時段使用數(shù)量是不斷變化的。型號2與型號3發(fā)電機發(fā)動機各時段輸出功率恒定，而型號1與型號4發(fā)動機輸出功率則波動較大。根據(jù)上面給出的成本最小目標函數(shù)，將相關參數(shù)值代入求解，我們得到上表中的計算得出考慮安全余量后每日電力生產(chǎn)計

16、劃中的總成本最小值為：元。6. 模型的評價、改進與推廣6.1模型的評價本模型的優(yōu)點：第一，本模型是基于線性規(guī)劃電力生產(chǎn)計劃成本數(shù)學模型，考慮了影響電能供給和成本構(gòu)成的各個因素，提高了生產(chǎn)計劃編制的科學性和數(shù)據(jù)的準確性，較好地實現(xiàn)了企業(yè)生產(chǎn)成本最小化的實際問題。第二，本文模型充分考慮當日與次日24小時生產(chǎn)的連續(xù)性，從循環(huán)生產(chǎn)的角度出發(fā)，尋求最優(yōu)電力生產(chǎn)方案；而不是簡單獨立地考慮每日生產(chǎn)計劃。第三，本模型提出了一系列合理假設，固定了關閉啟動發(fā)電機和調(diào)整功率的時間，并假定在某個時間段內(nèi)某種型號發(fā)電機各臺實際輸出功率是不變的等，使問題得到簡化。本模型的缺點：第一，從長遠循環(huán)生產(chǎn)進行分析，沒有考慮初始生

17、產(chǎn)狀態(tài)；第二，實際生產(chǎn)過程中發(fā)電機不工作也會存在一定的成本，并且發(fā)電機工作中出現(xiàn)故障的帶來維修費、正常生產(chǎn)損耗等費用均沒有納入總成本構(gòu)成因素中；第三，實際生產(chǎn)過程中發(fā)電機輸出功率是變化并非恒定的，本模型僅考慮了不同時段同一發(fā)電機輸出功率的不同，而沒有充分考慮到各時段內(nèi)功率的波動。6.2模型的改進第一，應分別建立初始生產(chǎn)狀態(tài)和循環(huán)生產(chǎn)后穩(wěn)定狀態(tài)下的模型，繼續(xù)完善模型。第二，增加實際生產(chǎn)活動中的總成本構(gòu)成要素，進一步優(yōu)化模型。在本模型的固定費用中加入發(fā)電機不工作時日平均固定費用；同時應考慮每日工作設備的出現(xiàn)故障概率下的維修費；此外發(fā)電機在電能傳輸過程中的相應損耗率下帶來的新?lián)p失應納入考慮。6.3模

18、型的推廣我們建的模型不僅適用于電力生產(chǎn)安排，也適用于解決基于成本優(yōu)化的生產(chǎn)計劃問題，還可用于諸如像產(chǎn)銷平衡模型的其它類型的問題。7. 參考文獻1度巍,曾飛.基于LINGO的優(yōu)化問題動態(tài)規(guī)劃法求解J.電腦知識與技術(shù).2014(04)2宋來忠,王志明.數(shù)學建模與實驗M.北京：科學出版社,20053尹紹群.基于線性規(guī)劃的企業(yè)成本控制研究J.現(xiàn)代經(jīng)濟信息.2010(03)4金晶晶.數(shù)學建模競賽中LINGO軟件的應用J.十堰職業(yè)技術(shù)學院學報.2010(4)附 錄1）問題一的求解將模型編寫的LINGO程序語句sets: time/1.7/:Q,T; mode/1.4/:S,E,F,N,A,B; link(

19、time,mode):P,X,K,c,d;endsetsdata:Q=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000;T=6,3,3,2,4,4,2;S=5000,1600,2400,1200;E=2250,1800,3750,4800;F=2.7,2.2,1.8,3.8;N=10,4,8,3;A=750,1000,1200,1800;B=1750,1500,2000,3500;enddatamin=sum(link(i,j):(X(i,j)-c(i,j)*S(j)*K(i,j)+X(i,j)*T(i)*(E(j)+(P(i,j)-A(j)*F(j);for

20、(link(i,j):c=if(i#GE#2,X(i-1,j),X(7,j);for(link(i,j):P(i,j)=if(X(i,j)#GT#0,d(i,j),0);for(time(i):for(mode(j):bnd(A(j),d(i,j),B(j);for(time(i):(sum(mode(j):P(i,j)*X(i,j)=Q(i);for(link(i,j):K(i,j)=if(X(i,j)#GE#c(i,j),1,0);for(link(i,j):gin(X(i,j);for(time(i):for(mode(j):bnd(0,X(i,j),N(j);ENDLINGO對上述模型

21、的程序運行結(jié)果Local optimal solution found. Objective value: . Objective bound: . Infeasibilities: 0. Extended solver steps: 109 Total solver iterations: Variable Value Q( 1) 12000.00 Q( 2) 32000.00 Q( 3) 25000.00 Q( 4) 36000.00 Q( 5) 25000.00 Q( 6) 30000.00 Q( 7) 18000.00 T( 1) 6. T( 2) 3. T( 3) 3. T( 4)

22、2. T( 5) 4. T( 6) 4. T( 7) 2. S( 1) 5000.000 S( 2) 1600.000 S( 3) 2400.000 S( 4) 1200.000 E( 1) 2250.000 E( 2) 1800.000 E( 3) 3750.000 E( 4) 4800.000 F( 1) 2. F( 2) 2. F( 3) 1. F( 4) 3. N( 1) 10.00000 N( 2) 4. N( 3) 8. N( 4) 3. A( 1) 750.0000 A( 2) 1000.000 A( 3) 1200.000 A( 4) 1800.000 B( 1) 1750.0

23、00 B( 2) 1500.000 B( 3) 2000.000 B( 4) 3500.000 P( 1, 1) 750.0000 P( 1, 2) 1250.000 P( 1, 3) 2000.000 P( 1, 4) 0. P( 2, 1) 1600.000 P( 2, 2) 1500.000 P( 2, 3) 2000.000 P( 2, 4) 1800.000 P( 3, 1) 750.0000 P( 3, 2) 1500.000 P( 3, 3) 2000.000 P( 3, 4) 0. P( 4, 1) 1750.000 P( 4, 2) 1500.000 P( 4, 3) 200

24、0.000 P( 4, 4) 2333.333 P( 5, 1) 750.0000 P( 5, 2) 1500.000 P( 5, 3) 2000.000 P( 5, 4) 0. P( 6, 1) 1550.000 P( 6, 2) 1500.000 P( 6, 3) 2000.000 P( 6, 4) 1800.000 P( 7, 1) 1000.000 P( 7, 2) 1500.000 P( 7, 3) 2000.000 P( 7, 4) 0. X( 1, 1) 4. X( 1, 2) 4. X( 1, 3) 2. X( 1, 4) 0. X( 2, 1) 4. X( 2, 2) 4.

25、X( 2, 3) 8. X( 2, 4) 2. X( 3, 1) 4. X( 3, 2) 4. X( 3, 3) 8. X( 3, 4) 0. X( 4, 1) 4. X( 4, 2) 4. X( 4, 3) 8. X( 4, 4) 3. X( 5, 1) 4. X( 5, 2) 4. X( 5, 3) 8. X( 5, 4) 0. X( 6, 1) 4. X( 6, 2) 4. X( 6, 3) 8. X( 6, 4) 1. X( 7, 1) 4. X( 7, 2) 4. X( 7, 3) 4. X( 7, 4) 0. K( 1, 1) 1. K( 1, 2) 1. K( 1, 3) 0.

26、K( 1, 4) 1. K( 2, 1) 1. K( 2, 2) 1. K( 2, 3) 1. K( 2, 4) 1. K( 3, 1) 1. K( 3, 2) 1. K( 3, 3) 1. K( 3, 4) 0. K( 4, 1) 1. K( 4, 2) 1. K( 4, 3) 1. K( 4, 4) 1. K( 5, 1) 1. K( 5, 2) 1. K( 5, 3) 1. K( 5, 4) 0. K( 6, 1) 1. K( 6, 2) 1. K( 6, 3) 1. K( 6, 4) 1. K( 7, 1) 1. K( 7, 2) 1. K( 7, 3) 0. K( 7, 4) 0. C( 1, 1) 4. C( 1, 2) 4. C( 1, 3) 4. C( 1, 4) 0. C( 2, 1) 4. C( 2, 2) 4.