高等數(shù)學(xué)：8.1.3 數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、無窮級數(shù),無窮級數(shù),無窮級數(shù)是研究函數(shù)的工具,表示函數(shù),研究性質(zhì),數(shù)值計(jì)算,數(shù)項(xiàng)級數(shù),冪級數(shù),*付氏級數(shù),第八章,數(shù)項(xiàng)級數(shù),一、無窮級數(shù)的基本概念,二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì),三、正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法,四、任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂和條件收斂,第一節(jié),第八章,五、交錯級數(shù),三、正項(xiàng)級數(shù)及其斂散性判別法,若,定理 1. 正項(xiàng)級數(shù),收斂,部分和序列,有界 .,若,收斂 ,部分和數(shù)列,有界,故,從而,又已知,故有界.,則稱,為正項(xiàng)級數(shù) .,單調(diào)遞增,收斂 ,也收斂.,都有,定理2 (比較判別法),設(shè),且存在,對一切,有,(1) 若,則,(2) 若,則,證:,設(shè)對一切,則有,收斂 ,也收斂 ;,發(fā)散 ,也發(fā)

2、散 .,分別表示兩級數(shù)的部分和, 則有,是兩個正項(xiàng)級數(shù),因在級數(shù)前加、減有限項(xiàng)不改變其斂散性,故不妨,(1) 若級數(shù),則有,因此對一切,有,由定理 1 可知,則有,(2) 若級數(shù),因此,這說明級數(shù),也發(fā)散 .,也收斂 .,發(fā)散,收斂,級數(shù),例1. 討論 p 級數(shù),(常數(shù) p 0),的斂散性.,解: 1) 若,因?yàn)閷σ磺?而調(diào)和級數(shù),由比較判別法可知 p 級數(shù),發(fā)散 .,發(fā)散 ,比較法的使用思路,欲證收斂（發(fā)散），則放大（縮?。?因?yàn)楫?dāng),故,考慮級數(shù),的部分和,故級數(shù)收斂 , 由比較判別法知 p 級數(shù)收斂 .,時,2) 若,注：常用的比較級數(shù)：調(diào)和級數(shù)與 p 級數(shù)和 等比級數(shù).,收斂，判,欲證,

3、（某,欲證,發(fā)散，判,（某,證明級數(shù),發(fā)散 .,證: 因?yàn)?而級數(shù),發(fā)散,根據(jù)比較判別法可知,所給級數(shù)發(fā)散 .,例2.,定理3. (比較判別法的極限形式),則有,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;,(2) 當(dāng) l = 0,(3) 當(dāng) l =,證: 據(jù)極限定義,設(shè)兩正項(xiàng)級數(shù),滿足,(1) 當(dāng) 0 l 時,由定理 2 可知,同時收斂或同時發(fā)散 ;,(3) 當(dāng)l = 時,即,由定理2可知, 若,發(fā)散 ,(1) 當(dāng)0 l 時,(2) 當(dāng)l = 0時,由定理2 知,收斂 ,若,是兩個正項(xiàng)級數(shù),(1) 當(dāng) 時,兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;,(2) 當(dāng) 且 收斂時,(3) 當(dāng) 且 發(fā)散時,也收斂 ;,也發(fā)散 .,的斂

4、散性.,例3. 判別級數(shù),的斂散性 .,解:,根據(jù)比較判別法的極限形式知,例4. 判別級數(shù),解:,根據(jù)比較判別法的極限形式知,解,與 具有相同的斂散性,當(dāng) p 1 時 , 收斂,解,因?yàn)?所以,收斂, 級數(shù) 收斂,定理4 . 比值判別法 ( Dalembert 判別法),設(shè),為正項(xiàng)級數(shù), 且,則,(1) 當(dāng),(2) 當(dāng),時, 級數(shù)收斂 ;,或,時, 級數(shù)發(fā)散 .,(3)當(dāng),時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.,例如, p 級數(shù),但,級數(shù)收斂 ;,級數(shù)發(fā)散 .,小結(jié)：,通常含有 適合用比值法判別斂散！,例7,定理5. 根值判別法 ( Cauchy判別法),設(shè),為正項(xiàng)級,則,數(shù), 且,時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .,例如 , p 級數(shù),（3）當(dāng),但,級數(shù)收斂 ;,級數(shù)發(fā)散 .,其內(nèi)含有,或是一些因子的乘積，,小結(jié)：,例8,內(nèi)容小結(jié),1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 正項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值判別法,根值判別法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較判別法,用它法判別,部分和極限,解,取 ,則 且對任意,的 p R , 當(dāng) x 充分大時 , f (x) 是非負(fù)且單調(diào)減的 .,當(dāng) p 1 時 ,收斂,收斂,當(dāng)