運籌學PPT完整版.ppt

運籌學(OperationsResearch),經濟學核心課程,緒論,（1）運籌學簡述（2）運籌學的主要內容（3）本課程的教材及參考書（4）本課程的特點和要求（5）本課程授課方式與考核（6）運籌學在工商管理中的應用,本章主要內容：,運籌學簡述,運籌學（OperationsResearch）系統(tǒng)工程的最重要的理論基礎之一，在美國有人把運籌學稱之為管理科學(ManagementScience)。運籌學所研究的問題，可簡單地歸結為一句話：“依照給定條件和目標，從眾多方案中選擇最佳方案”故有人稱之為最優(yōu)化技術。,運籌學簡述,運籌學的歷史,“運作研究(OperationalResearch)小組”:解決復雜的戰(zhàn)略和戰(zhàn)術問題。例如：如何合理運用雷達有效地對付德軍德空襲對商船如何進行編隊護航，使船隊遭受德國潛艇攻擊時損失最少；在各種情況下如何調整反潛深水炸彈的爆炸深度，才能增加對德國潛艇的殺傷力等。,運籌學的主要內容,數(shù)學規(guī)劃（線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、目標規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等）圖論存儲論排隊論對策論排序與統(tǒng)籌方法決策分析,本課程的教材及參考書,選用教材運籌學基礎及應用胡運權主編哈工大出版社參考教材運籌學教程胡運權主編（第2版）清華出版社管理運籌學韓伯棠主編（第2版）高等教育出版社運籌學(修訂版)錢頌迪主編清華出版社,本課程的特點和要求,先修課：高等數(shù)學，基礎概率、線性代數(shù)特點：系統(tǒng)整體優(yōu)化；多學科的配合；模型方法的應用運籌學的研究的主要步驟：,本課程授課方式與考核,講授為主，結合習題作業(yè),運籌學在工商管理中的應用,運籌學在工商管理中的應用涉及幾個方面：生產計劃運輸問題人事管理庫存管理市場營銷財務和會計另外，還應用于設備維修、更新和可靠性分析，項目的選擇與評價，工程優(yōu)化設計等。,運籌學在工商管理中的應用,Interface上發(fā)表的部分獲獎項目,“管理運籌學”軟件介紹,“管理運籌學”2.0版包括：線性規(guī)劃、運輸問題、整數(shù)規(guī)劃（0-1整數(shù)規(guī)劃、純整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃）、目標規(guī)劃、對策論、最短路徑、最小生成樹、最大流量、最小費用最大流、關鍵路徑、存儲論、排隊論、決策分析、預測問題和層次分析法，共15個子模塊。,Chapter1線性規(guī)劃(LinearProgramming),LP的數(shù)學模型圖解法單純形法單純形法的進一步討論人工變量法LP模型的應用,本章主要內容：,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,1.規(guī)劃問題,生產和經營管理中經常提出如何合理安排，使人力、物力等各種資源得到充分利用，獲得最大的效益，這就是規(guī)劃問題。,線性規(guī)劃通常解決下列兩類問題：,（1）當任務或目標確定后，如何統(tǒng)籌兼顧，合理安排，用最少的資源（如資金、設備、原標材料、人工、時間等）去完成確定的任務或目標,（2）在一定的資源條件限制下，如何組織安排生產獲得最好的經濟效益（如產品量最多、利潤最大.）,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例1.1如圖所示，如何截取x使鐵皮所圍成的容積最大？,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例1.2某企業(yè)計劃生產甲、乙兩種產品。這些產品分別要在A、B、C、D、四種不同的設備上加工。按工藝資料規(guī)定，單件產品在不同設備上加工所需要的臺時如下表所示，企業(yè)決策者應如何安排生產計劃，使企業(yè)總的利潤最大？,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,解：設x1、x2分別為甲、乙兩種產品的產量，則數(shù)學模型為：,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,2.線性規(guī)劃的數(shù)學模型由三個要素構成,決策變量Decisionvariables目標函數(shù)Objectivefunction約束條件Constraints,其特征是：（1）問題的目標函數(shù)是多個決策變量的線性函數(shù)，通常是求最大值或最小值；（2）問題的約束條件是一組多個決策變量的線性不等式或等式。,怎樣辨別一個模型是線性規(guī)劃模型？,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,目標函數(shù)：,約束條件：,3.線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式,簡寫為：,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,向量形式：,其中：,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,矩陣形式：,其中：,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,3.線性規(guī)劃問題的標準形式,特點：(1)目標函數(shù)求最大值（有時求最小值）(2)約束條件都為等式方程，且右端常數(shù)項bi都大于或等于零(3)決策變量xj為非負。,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,（2）如何化標準形式,目標函數(shù)的轉換,如果是求極小值即，則可將目標函數(shù)乘以(-1)，可化為求極大值問題。,也就是：令，可得到上式。,即,若存在取值無約束的變量，可令其中：,變量的變換,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,約束方程的轉換：由不等式轉換為等式。,稱為松弛變量,稱為剩余變量,變量的變換,可令，顯然,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例1.3將下列線性規(guī)劃問題化為標準形式,用替換，且,解:（）因為x3無符號要求，即x3取正值也可取負值，標準型中要求變量非負，所以,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,(2)第一個約束條件是“”號，在“”左端加入松馳變量x4，x40,化為等式；(3)第二個約束條件是“”號，在“”左端減去剩余變量x5，x50；(4)第3個約束方程右端常數(shù)項為-5，方程兩邊同乘以(-1),將右端常數(shù)項化為正數(shù)；(5)目標函數(shù)是最小值，為了化為求最大值，令z=-z,得到maxz=-z，即當z達到最小值時z達到最大值，反之亦然;,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,標準形式如下：,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,4.線性規(guī)劃問題的解,線性規(guī)劃問題,求解線性規(guī)劃問題，就是從滿足約束條件(2)、(3)的方程組中找出一個解，使目標函數(shù)(1)達到最大值。,線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型,可行解：滿足約束條件、的解為可行解。所有可行解的集合為可行域。最優(yōu)解：使目標函數(shù)達到最大值的可行解?；涸OA為約束條件的mn階系數(shù)矩陣(m0,40,10,換出行,將3化為1,5/3,1,18,0,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以1/3后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,單純形法的計算步驟,例1.9用單純形法求解,解：將數(shù)學模型化為標準形式：,不難看出x4、x5可作為初始基變量，列單純形表計算。,單純形法的計算步驟,20,x2,2,1/3,1,5,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-98/9,-1/9,-7/3,單純形法的計算步驟,學習要點：1.線性規(guī)劃解的概念以及3個基本定理2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟,單純形法的進一步討論人工變量法,人工變量法：前面討論了在標準型中系數(shù)矩陣有單位矩陣，很容易確定一組基可行解。在實際問題中有些模型并不含有單位矩陣，為了得到一組基向量和初基可行解，在約束條件的等式左端加一組虛擬變量，得到一組基變量。這種人為加的變量稱為人工變量，構成的可行基稱為人工基，用大M法或兩階段法求解，這種用人工變量作橋梁的求解方法稱為人工變量法。,單純形法的進一步討論人工變量法,例1.10用大M法解下列線性規(guī)劃,解：首先將數(shù)學模型化為標準形式,系數(shù)矩陣中不存在單位矩陣，無法建立初始單純形表。,單純形法的進一步討論人工變量法,故人為添加兩個單位向量，得到人工變量單純形法數(shù)學模型：,其中：M是一個很大的抽象的數(shù)，不需要給出具體的數(shù)值，可以理解為它能大于給定的任何一個確定數(shù)值；再用前面介紹的單純形法求解該模型，計算結果見下表。,單純形法的進一步討論人工變量法,單純形法的進一步討論人工變量法,解的判別：1）唯一最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中所有非基變量的檢驗數(shù)非零,則線規(guī)劃具有唯一最優(yōu)解。2）多重最優(yōu)解判別：最優(yōu)表中存在非基變量的檢驗數(shù)為零,則線則性規(guī)劃具有多重最優(yōu)解（或無窮多最優(yōu)解）。3）無界解判別：某個k0且aik（i=1，2,m）則線性規(guī)劃具有無界解。4）無可行解的判斷：當用大M單純形法計算得到最優(yōu)解并且存在Ri0時，則表明原線性規(guī)劃無可行解。5）退化解的判別：存在某個基變量為零的基本可行解。,單純形法的進一步討論人工變量法,單純性法小結:,A,線性規(guī)劃模型的應用,一般而言，一個經濟、管理問題凡是滿足以下條件時，才能建立線性規(guī)劃模型。,要求解問題的目標函數(shù)能用數(shù)值指標來反映，且為線性函數(shù)存在著多種方案要求達到的目標是在一定條件下實現(xiàn)的，這些約束可用線性等式或不等式描述,線性規(guī)劃在管理中的應用,人力資源分配問題,例1.11某晝夜服務的公交線路每天各時間段內所需司機和乘務人員人數(shù)如下表所示：,設司機和乘務人員分別在各時間段開始時上班，并連續(xù)工作8小時，問該公交線路應怎樣安排司機和乘務人員，即能滿足工作需要，又使配備司機和乘務人員的人數(shù)減少?,線性規(guī)劃在管理中的應用,解：設xi表示第i班次時開始上班的司機和乘務人員人數(shù)。,此問題最優(yōu)解：x150，x220，x350，x40，x520，x610，一共需要司機和乘務員150人。,線性規(guī)劃在管理中的應用,2.生產計劃問題,某廠生產、三種產品，都分別經A、B兩道工序加工。設A工序可分別在設備A1和A2上完成，有B1、B2、B3三種設備可用于完成B工序。已知產品可在A、B任何一種設備上加工；產品可在任何規(guī)格的A設備上加工，但完成B工序時，只能在B1設備上加工；產品只能在A2與B2設備上加工。加工單位產品所需工序時間及其他各項數(shù)據(jù)如下表，試安排最優(yōu)生產計劃，使該廠獲利最大。,線性規(guī)劃在管理中的應用,線性規(guī)劃在管理中的應用,解：設xijk表示產品i在工序j的設備k上加工的數(shù)量。約束條件有：,線性規(guī)劃在管理中的應用,目標是利潤最大化，即利潤的計算公式如下：,帶入數(shù)據(jù)整理得到：,線性規(guī)劃在管理中的應用,因此該規(guī)劃問題的模型為：,線性規(guī)劃在管理中的應用,3.套裁下料問題,例：現(xiàn)有一批某種型號的圓鋼長8米，需要截取2.5米長的毛坯100根，長1.3米的毛坯200根。問如何才能既滿足需要，又能使總的用料最少？,解：為了找到一個省料的套裁方案，必須先設計出較好的幾個下料方案。其次要求這些方案的總體能裁下所有各種規(guī)格的圓鋼，以滿足對各種不同規(guī)格圓鋼的需要并達到省料的目的，為此可以設計出4種下料方案以供套裁用。,線性規(guī)劃在管理中的應用,設按方案、下料的原材料根數(shù)分別為xj(j=1，2,3,4)，可列出下面的數(shù)學模型：,線性規(guī)劃在管理中的應用,4.配料問題,例：某人每天食用甲、乙兩種食物（如豬肉、雞蛋），其資料如下：問兩種食物各食用多少，才能既滿足需要、又使總費用最?。?線性規(guī)劃在管理中的應用,解：設Xj表示Bj種食物用量,Chapter2對偶理論(DualityTheory),線性規(guī)劃的對偶模型對偶性質對偶問題的經濟解釋影子價格對偶單純形法,本章主要內容：,線性規(guī)劃的對偶模型,設某工廠生產兩種產品甲和乙，生產中需4種設備按A，B，C，D順序加工，每件產品加工所需的機時數(shù)、每件產品的利潤值及每種設備的可利用機時數(shù)列于下表：,產品數(shù)據(jù)表,問：充分利用設備機時，工廠應生產甲和乙型產品各多少件才能獲得最大利潤？,1.對偶問題的現(xiàn)實來源,線性規(guī)劃的對偶模型,解：設甲、乙型產品各生產x1及x2件，則數(shù)學模型為：,反過來問：若廠長決定不生產甲和乙型產品，決定出租機器用于接受外加工，只收加工費，那么種機器的機時如何定價才是最佳決策？,線性規(guī)劃的對偶模型,在市場競爭的時代，廠長的最佳決策顯然應符合兩條：（1）不吃虧原則。即機時定價所賺利潤不能低于加工甲、乙型產品所獲利潤。由此原則，便構成了新規(guī)劃的不等式約束條件。（2）競爭性原則。即在上述不吃虧原則下，盡量降低機時總收費，以便爭取更多用戶。,設A、B、C、D設備的機時價分別為y1、y2、y3、y4，則新的線性規(guī)劃數(shù)學模型為：,線性規(guī)劃的對偶模型,把同種問題的兩種提法所獲得的數(shù)學模型用表2表示，將會發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象。,原問題與對偶問題對比表,線性規(guī)劃的對偶模型,2.原問題與對偶問題的對應關系,原問題（對偶問題）,對偶問題（原問題）,線性規(guī)劃的對偶模型,（1）對稱形式,特點：目標函數(shù)求極大值時，所有約束條件為號，變量非負;目標函數(shù)求極小值時，所有約束條件為號，變量非負.,已知P，寫出D,線性規(guī)劃的對偶模型,例2.1寫出線性規(guī)劃問題的對偶問題,解：首先將原問題變形為對稱形式,線性規(guī)劃的對偶模型,線性規(guī)劃的對偶模型,(2)非對稱型對偶問題,若給出的線性規(guī)劃不是對稱形式，可以先化成對稱形式再寫對偶問題。也可直接按教材表2-2中的對應關系寫出非對稱形式的對偶問題。,線性規(guī)劃的對偶模型,線性規(guī)劃的對偶模型,例2.2寫出下列線性規(guī)劃問題的對偶問題.,解：原問題的對偶問題為,對偶性質,例2.3分別求解下列2個互為對偶關系的線性規(guī)劃問題,分別用單純形法求解上述2個規(guī)劃問題，得到最終單純形表如下表：,對偶性質,原問題最優(yōu)表,對偶問題最優(yōu)表,對偶性質,原問題與其對偶問題的變量與解的對應關系：在單純形表中，原問題的松弛變量對應對偶問題的變量，對偶問題的剩余變量對應原問題的變量。,對偶性質,性質1對稱性定理：對偶問題的對偶是原問題,對偶性質,性質2弱對偶原理(弱對偶性)：設和分別是問題(P)和(D)的可行解，則必有,推論1:原問題任一可行解的目標函數(shù)值是其對偶問題目標函數(shù)值的下屆；反之，對偶問題任意可行解的目標函數(shù)值是其原問題目標函數(shù)值的上界。,推論2:在一對對偶問題（P）和（D）中，若其中一個問題可行但目標函數(shù)無界，則另一個問題無可行解；反之不成立。這也是對偶問題的無界性。,對偶性質,推論3：在一對對偶問題（P）和（D）中，若一個可行（如P），而另一個不可行（如D），則該可行的問題目標函數(shù)值無界。,性質3最優(yōu)性定理：如果是原問題的可行解，是其對偶問題的可行解，并且:,則是原問題的最優(yōu)解，是其對偶問題的最優(yōu)解。,對偶性質,性質4強對偶性：若原問題及其對偶問題均具有可行解，則兩者均具有最優(yōu)解，且它們最優(yōu)解的目標函數(shù)值相等。,還可推出另一結論：若（LP）與（DP）都有可行解，則兩者都有最優(yōu)解，若一個問題無最優(yōu)解，則另一問題也無最優(yōu)解。,性質5互補松弛性：設X0和Y0分別是P問題和D問題的可行解，則它們分別是最優(yōu)解的充要條件是：,其中：Xs、Ys為松弛變量,對偶性質,性質5的應用：該性質給出了已知一個問題最優(yōu)解求另一個問題最優(yōu)解的方法，即已知Y求X或已知X求Y,互補松弛條件,由于變量都非負，要使求和式等于零，則必定每一分量為零，因而有下列關系：若Y0，則Xs必為0；若X0，則Ys必為0利用上述關系，建立對偶問題（或原問題）的約束線性方程組，方程組的解即為最優(yōu)解。,對偶性質,例2.4已知線性規(guī)劃,的最優(yōu)解是X=(6,2,0)T,求其對偶問題的最優(yōu)解Y。,解：寫出原問題的對偶問題，即,標準化,對偶性質,設對偶問題最優(yōu)解為Y(y1，y2),由互補松弛性定理可知，X和Y滿足：,即：,因為X10，X20，所以對偶問題的第一、二個約束的松弛變量等于零，即y30，y40，帶入方程中：,解此線性方程組得y1=1,y2=1,從而對偶問題的最優(yōu)解為：Y=(1,1)，最優(yōu)值w=26。,對偶性質,例2.5已知線性規(guī)劃,的對偶問題的最優(yōu)解為Y=(0,-2)，求原問題的最優(yōu)解。,解:對偶問題是,標準化,對偶性質,設對偶問題最優(yōu)解為X(x1，x2，x3)T,由互補松弛性定理可知，X和Y滿足：,將Y帶入由方程可知，y3y50，y41。,y2=-20x50又y4=10x20,將x2，x5分別帶入原問題約束方程中，得：,解方程組得：x1=-5,x3=-1,所以原問題的最優(yōu)解為,X=(-5,0,-1)，最優(yōu)值z=-12,對偶性質,原問題與對偶問題解的對應關系小結,思考題,判斷下列結論是否正確，如果不正確，應該怎樣改正？,1）任何線性規(guī)劃都存在一個對應的對偶線性規(guī)劃.2）原問題第i個約束是“”約束，則對偶變量yi0.3）互為對偶問題，或者同時都有最優(yōu)解，或者同時都無最優(yōu)解.4）對偶問題有可行解，則原問題也有可行解.5）原問題有多重解，對偶問題也有多重解.6）對偶問題有可行解，原問題無可行解，則對偶問題具有無界解.7）原問題無最優(yōu)解，則對偶問題無可行解.8）對偶問題不可行，原問題可能無界解.9）原問題與對偶問題都可行，則都有最優(yōu)解.10）原問題具有無界解，則對偶問題不可行.11）對偶問題具有無界解，則原問題無最優(yōu)解.12）若X*、Y*是原問題與對偶問題的最優(yōu)解，則X*=Y*.,對偶問題的經濟解釋影子價格,1.影子價格的數(shù)學分析：,定義：在一對P和D中，若P的某個約束條件的右端項常數(shù)bi（第i種資源的擁有量）增加一個單位時，所引起目標函數(shù)最優(yōu)值z*的改變量稱為第i種資源的影子價格，其值等于D問題中對偶變量yi*。,由對偶問題得基本性質可得：,對偶問題的經濟解釋影子價格,2.影子價格的經濟意義1）影子價格是一種邊際價格在其它條件不變的情況下，單位資源數(shù)量的變化所引起的目標函數(shù)最優(yōu)值的變化。即對偶變量yi就是第i種資源的影子價格。即：,對偶問題的經濟解釋影子價格,2）影子價格是一種機會成本影子價格是在資源最優(yōu)利用條件下對單位資源的估價，這種估價不是資源實際的市場價格。因此，從另一個角度說，它是一種機會成本。,若第i種資源的單位市場價格為mi，則有當yi*mi時，企業(yè)愿意購進這種資源，單位純利為yi*mi，則有利可圖；如果yi*mi則購進資源i，可獲單位純利yi*mi若yi*mi則轉讓資源i，可獲單位純利miyi,對偶問題的經濟解釋影子價格,3）影子價格在資源利用中的應用根據(jù)對偶理論的互補松弛性定理:Y*Xs=0,YsX*=0表明生產過程中如果某種資源bi未得到充分利用時，該種資源的影子價格為0；若當資源資源的影子價格不為0時，表明該種資源在生產中已耗費完。,對偶問題的經濟解釋影子價格,4）影子價格對單純形表計算的解釋,單純形表中的檢驗數(shù),其中cj表示第j種產品的價格;表示生產該種產品所消耗的各項資源的影子價格的總和,即產品的隱含成本。,當產值大于隱含成本時，即，表明生產該項產品有利，可在計劃中安排；否則，用這些資源生產別的產品更有利，不在生產中安排該產品。,對偶單純形法,對偶單純形法是求解線性規(guī)劃的另一個基本方法。它是根據(jù)對偶原理和單純形法原理而設計出來的，因此稱為對偶單純形法。不要簡單理解為是求解對偶問題的單純形法。,對偶單純形法原理,對偶單純形法基本思路：,找出一個對偶問題的可行基，保持對偶問題為可行解的條件下，判斷XB是否可行（XB為非負），若否，通過變換基解，直到找到原問題基可行解（即XB為非負），這時原問題與對偶問題同時達到可行解，由定理4可得最優(yōu)解。,對偶單純形法,找出一個DP的可行基,LP是否可行（XB0）,保持DP為可行解情況下轉移到LP的另一個基本解,最優(yōu)解,是,否,循環(huán),結束,對偶單純形法,例2.9用對偶單純形法求解：,解:（1）將模型轉化為求最大化問題，約束方程化為等式求出一組基本解，因為對偶問題可行，即全部檢驗數(shù)0（求max問題）。,對偶單純形法,對偶單純形法,對偶單純形法,原問題的最優(yōu)解為：X*=（2,2,2,0,0,0），Z*=72其對偶問題的最優(yōu)解為：Y*=（1/3,3,7/3），W*=72,對偶單純形法,對偶單純形法應注意的問題：,用對偶單純形法求解線性規(guī)劃是一種求解方法，而不是去求對偶問題的最優(yōu)解,初始表中一定要滿足對偶問題可行，也就是說檢驗數(shù)滿足最優(yōu)判別準則,最小比值中的絕對值是使得比值非負，在極小化問題j0，分母aij0這時必須取絕對值。在極大化問題中，j0，分母aij0，總滿足非負，這時絕對值符號不起作用，可以去掉。如在本例中將目標函數(shù)寫成,這里j0在求k時就可以不帶絕對值符號。,對偶單純形法,對偶單純形法與普通單純形法的換基順序不一樣，普通單純形法是先確定進基變量后確定出基變量，對偶單純形法是先確定出基變量后確定進基變量；,普通單純形法的最小比值是其目的是保證下一個原問題的基本解可行，對偶單純形法的最小比值是,其目的是保證下一個對偶問題的基本解可行,對偶單純形法在確定出基變量時，若不遵循規(guī)則，任選一個小于零的bi對應的基變量出基，不影響計算結果，只是迭代次數(shù)可能不一樣。,本章小結,學習要點：1.線性規(guī)劃解的概念以及3個基本定理2.熟練掌握單純形法的解題思路及求解步驟,Chapter3運輸規(guī)劃(TransportationProblem),運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型表上作業(yè)法運輸問題的應用,本章主要內容：,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,例3.1某公司從兩個產地A1、A2將物品運往三個銷地B1,B2,B3，各產地的產量、各銷地的銷量和各產地運往各銷地每件物品的運費如下表所示，問：應如何調運可使總運輸費用最??？,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,解：產銷平衡問題：總產量=總銷量500設xij為從產地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列運輸量表：,MinC=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23s.t.x11+x12+x13=200 x21+x22+x23=300 x11+x21=150 x12+x22=150 x13+x23=200 xij0(i=1、2；j=1、2、3）,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,運輸問題的一般形式：產銷平衡,A1、A2、Am表示某物資的m個產地；B1、B2、Bn表示某物質的n個銷地；ai表示產地Ai的產量；bj表示銷地Bj的銷量；cij表示把物資從產地Ai運往銷地Bj的單位運價。設xij為從產地Ai運往銷地Bj的運輸量，得到下列一般運輸量問題的模型：,運輸規(guī)劃問題的數(shù)學模型,變化：1）有時目標函數(shù)求最大。如求利潤最大或營業(yè)額最大等；2）當某些運輸線路上的能力有限制時，在模型中直接加入約束條件（等式或不等式約束)；3）產銷不平衡時，可加入假想的產地（銷大于產時）或銷地（產大于銷時）。,定理:設有m個產地n個銷地且產銷平衡的運輸問題，則基變量數(shù)為m+n-1。,表上作業(yè)法,表上作業(yè)法是一種求解運輸問題的特殊方法，其實質是單純形法。,表上作業(yè)法,例3.2某運輸資料如下表所示：,問：應如何調運可使總運輸費用最??？,表上作業(yè)法,解：第1步求初始方案,方法1：最小元素法基本思想是就近供應，即從運價最小的地方開始供應（調運），然后次小，直到最后供完為止。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,3,4,1,6,3,3,表上作業(yè)法,總的運輸費(31)+(64)+(43)+(12)+(310)+(35)=86元,元素差額法對最小元素法進行了改進，考慮到產地到銷地的最小運價和次小運價之間的差額，如果差額很大，就選最小運價先調運，否則會增加總運費。例如下面兩種運輸方案。,15,5,10,總運費是z=108+52+151=105,最小元素法：,表上作業(yè)法,5,15,10,總運費z=105+152+51=85,后一種方案考慮到C11與C21之間的差額是82=6，如果不先調運x21，到后來就有可能x110，這樣會使總運費增加較大，從而先調運x21，再是x22，其次是x12,用元素差額法求得的基本可行解更接近最優(yōu)解，所以也稱為近似方案。,表上作業(yè)法,方法2：Vogel法,1）從運價表中分別計算出各行和各列的最小運費和次最小運費的差額，并填入該表的最右列和最下行。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,表上作業(yè)法,2）再從差值最大的行或列中找出最小運價確定供需關系和供需數(shù)量。當產地或銷地中有一方數(shù)量供應完畢或得到滿足時，劃去運價表中對應的行或列。重復1)和2)，直到找出初始解為至。,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,表上作業(yè)法,7,1,1,3,5,2,1,5,表上作業(yè)法,7,1,3,5,2,7,5,3,表上作業(yè)法,1,1,3,5,1,5,3,6,3,1,2,該方案的總運費:(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,表上作業(yè)法,第2步最優(yōu)解的判別（檢驗數(shù)的求法）,求出一組基可行解后，判斷是否為最優(yōu)解，仍然是用檢驗數(shù)來判斷，記xij的檢驗數(shù)為ij由第一章知，求最小值的運輸問題的最優(yōu)判別準則是：,所有非基變量的檢驗數(shù)都非負，則運輸方案最優(yōu),求檢驗數(shù)的方法有兩種：閉回路法位勢法（）,表上作業(yè)法,閉回路的概念,為一個閉回路，集合中的變量稱為回路的頂點，相鄰兩個變量的連線為閉回路的邊。如下表,表上作業(yè)法,例下表中閉回路的變量集合是x11,x12,x42,x43,x23,x25,x35,x31共有8個頂點，這8個頂點間用水平或垂直線段連接起來，組成一條封閉的回路。,一條回路中的頂點數(shù)一定是偶數(shù)，回路遇到頂點必須轉90度與另一頂點連接，表33中的變量x32及x33不是閉回路的頂點，只是連線的交點。,表上作業(yè)法,閉回路,例如變量組不能構成一條閉回路，但A中包含有閉回路,變量組變量數(shù)是奇數(shù)，顯然不是閉回路，也不含有閉回路；,表上作業(yè)法,用位勢法對初始方案進行最優(yōu)性檢驗：,1）由ij=Cij-（Ui+Vj）計算位勢Ui，Vj，因對基變量而言有ij=0，即Cij-（Ui+Vj）=0，令U1=0,2）再由ij=Cij-（Ui+Vj）計算非基變量的檢驗數(shù)ij,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,0,-1,-5,3,10,2,9,（1）,（2）,（1）,（-1）,（10）,（12）,當存在非基變量的檢驗數(shù)kl0，說明現(xiàn)行方案為最優(yōu)方案，否則目標成本還可以進一步減小。,表上作業(yè)法,當存在非基變量的檢驗數(shù)kl0且kl=minij時，令Xkl進基。從表中知可選X24進基。,第3步確定換入基的變量,第4步確定換出基的變量,以進基變量xik為起點的閉回路中，標有負號的最小運量作為調整量，對應的基變量為出基變量，并打上“”以示換出作為非基變量。,表上作業(yè)法,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,4,3,6,3,1,3,(),(),(),(),調整步驟為：在進基變量的閉回路中標有正號的變量加上調整量，標有負號的變量減去調整量，其余變量不變，得到一組新的基可行解。然后求所有非基變量的檢驗數(shù)重新檢驗。,1,2,5,表上作業(yè)法,當所有非基變量的檢驗數(shù)均非負時，則當前調運方案即為最優(yōu)方案，如表此時最小總運費：Z=(13)(46)(35)(210)(18)(35)85元,3,11,3,10,1,9,2,7,4,10,5,8,5,3,6,3,1,2,0,-2,-5,3,10,3,9,（0）,（2）,（2）,（1）,（12）,（9）,表上作業(yè)法,表上作業(yè)法的計算步驟：,表上作業(yè)法,表上作業(yè)法計算中的問題：,（1）若運輸問題的某一基可行解有多個非基變量的檢驗數(shù)為負，在繼續(xù)迭代時，取它們中任一變量為換入變量均可使目標函數(shù)值得到改善，但通常取ij0中最小者對應的變量為換入變量。（2）無窮多最優(yōu)解產銷平衡的運輸問題必定存最優(yōu)解。如果非基變量的ij0，則該問題有無窮多最優(yōu)解。,表上作業(yè)法,退化解：表格中一般要有(m+n-1)個數(shù)字格。但有時在分配運量時則需要同時劃去一行和一列，這時需要補一個0，以保證有(m+n-1)個數(shù)字格作為基變量。一般可在劃去的行和列的任意空格處加一個0即可。利用進基變量的閉回路對解進行調整時，標有負號的最小運量（超過2個最小值）作為調整量，選擇任意一個最小運量對應的基變量作為出基變量，并打上“”以示作為非基變量。,表上作業(yè)法,12,4,11,4,8,3,10,2,9,5,11,6,(0),(2),(9),(2),(1),(12),8,12,4,2,8,14,如下例中11檢驗數(shù)是0，經過調整，可得到另一個最優(yōu)解。,表上作業(yè)法,11,4,4,3,1,3,7,7,8,2,10,6,3,4,1,6,0,6,在x12、x22、x33、x34中任選一個變量作為基變量，例如選x34,例：用最小元素法求初始可行解,運輸問題的應用,求極大值問題目標函數(shù)求利潤最大或營業(yè)額最大等問題。,運輸問題的應用,求解方法：將極大化問題轉化為極小化問題。設極大化問題的運價表為C，用一個較大的數(shù)M（Mmaxcij）去減每一個cij得到矩陣C，其中C=（Mcij）0,將C作為極小化問題的運價表，用表上用業(yè)法求出最優(yōu)解。,運輸問題的應用,例3.3下列矩陣C是Ai（I=1，2，3）到Bj的噸公里利潤,運輸部門如何安排運輸方案使總利潤最大.,運輸問題的應用,得到新的最小化運輸問題，用表上作業(yè)法求解即可。,運輸問題的應用,產銷不平衡的運輸問題當總產量與總銷量不相等時,稱為不平衡運輸問題.這類運輸問題在實際中常常碰到,它的求解方法是將不平衡問題化為平衡問題再按平衡問題求解。,當產大于銷時，即：,數(shù)學模型為：,運輸問題的應用,由于總產量大于總銷量，必有部分產地的產量不能全部運送完，必須就地庫存，即每個產地設一個倉庫，假設該倉庫為一個虛擬銷地Bn+1，bn+1作為一個虛設銷地Bn+1的銷量(即庫存量)。各產地Ai到Bn+1的運價為零，即Ci,n+1=0,（i=1，m）。則平衡問題的數(shù)學模型為：,具體求解時,只在運價表右端增加一列Bn+1，運價為零,銷量為bn+1即可,運輸問題的應用,當銷大于產時，即：,數(shù)學模型為：,由于總銷量大于總產量,故一定有些需求地不完全滿足,這時虛設一個產地Am+1，產量為：,運輸問題的應用,銷大于產化為平衡問題的數(shù)學模型為：,具體計算時，在運價表的下方增加一行Am+1，運價為零。產量為am+1即可。,運輸問題的應用,例3.4求下列表中極小化運輸問題的最優(yōu)解。,因為有：,運輸問題的應用,所以是一個產大于銷的運輸問題。表中A2不可達B1，用一個很大的正數(shù)M表示運價C21。虛設一個銷量為b5=180-160=20，Ci5=0，i=1,2,3,4，表的右邊增添一列，得到新的運價表。,運輸問題的應用,下表為計算結果?？煽闯觯寒a地A4還有20個單位沒有運出。,運輸問題的應用,3.生產與儲存問題,例3.5某廠按合同規(guī)定須于當年每個季度末分別提供10、15、25、20臺同一規(guī)格的柴油機。已知該廠各季度的生產能力及生產每臺柴油機的成本如右表。如果生產出來的柴油機當季不交貨，每臺每積壓一個季度需儲存、維護等費用0.15萬元。試求在完成合同的情況下，使該廠全年生產總費用為最小的決策方案。,運輸問題的應用,解：設xij為第i季度生產的第j季度交貨的柴油機數(shù)目，那么應滿足：交貨：x11=10生產：x11+x12+x13+x1425x12+x22=15x22+x23+x2435x13+x23+x33=25x33+x3430 x14+x24+x34+x44=20 x4410,把第i季度生產的柴油機數(shù)目看作第i個生產廠的產量；把第j季度交貨的柴油機數(shù)目看作第j個銷售點的銷量；設cij是第i季度生產的第j季度交貨的每臺柴油機的實際成本，應該等于該季度單位成本加上儲存、維護等費用。可構造下列產銷平衡問題：,運輸問題的應用,由于產大于銷，加上一個虛擬的銷地D，化為平衡問題，即可應用表上作業(yè)法求解。,運輸問題的應用,該問題的數(shù)學模型：Minf=10.8x11+10.95x12+11.1x13+11.25x14+11.1x22+11.25x23+11.4x24+11.0 x33+11.15x34+11.3x44,運輸問題的應用,最優(yōu)生產決策如下表，最小費用z773萬元。,Chapter4整數(shù)規(guī)劃(IntegerProgramming),整數(shù)規(guī)劃的特點及應用分支定界法分配問題與匈牙利法,本章主要內容：,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃（簡稱：IP）要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標函數(shù)和約束條件構成的規(guī)劃問題稱為該整數(shù)規(guī)劃問題的松弛問題。若該松弛問題是一個線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。,整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學模型的一般形式：,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)線性規(guī)劃問題的種類：,純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃?；旌险麛?shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃的典型例子,例4.1工廠A1和A2生產某種物資。由于該種物資供不應求，故需要再建一家工廠。相應的建廠方案有A3和A4兩個。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個。各工廠年生產能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運費cij，見下表：,工廠A3或A4開工后，每年的生產費用估計分別為1200萬或1500萬元?，F(xiàn)要決定應該建設工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費用最少。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,解：這是一個物資運輸問題，特點是事先不能確定應該建A3還是A4中哪一個，因而不知道新廠投產后的實際生產物資。為此，引入0-1變量：,再設xij為由Ai運往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費用，單位萬元。則該規(guī)劃問題的數(shù)學模型可以表示為：,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,混合整數(shù)規(guī)劃問題,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,例4.2現(xiàn)有資金總額為B?？晒┻x擇的投資項目有n個，項目j所需投資額和預期收益分別為aj和cj（j1,2,.,n），此外由于種種原因，有三個附加條件：若選擇項目1，就必須同時選擇項目2。反之不一定項目3和4中至少選擇一個；項目5,6,7中恰好選擇2個。應該怎樣選擇投資項目，才能使總預期收益最大。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,解：對每個投資項目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用0和1表示，令xj表示第j個項目的決策選擇，記為：,投資問題可以表示為：,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,例4.3指派問題或分配問題。人事部門欲安排四人到四個不同崗位工作，每個崗位一個人。經考核四人在不同崗位的成績（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績最好。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,設,數(shù)學模型如下：,要求每人做一項工作，約束條件為：,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,每項工作只能安排一人，約束條件為：,變量約束：,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃問題解的特征：,整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集合是它松弛問題可行解集合的一個子集，任意兩個可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。整數(shù)規(guī)劃問題的可行解一定是它的松弛問題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標函數(shù)值不會優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標函數(shù)值。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,例4.3設整數(shù)規(guī)劃問題如下,首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問題（一般稱為松弛問題）。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,用圖解法求出最優(yōu)解為：x13/2,x2=10/3，且有Z=29/6,現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)解):如用舍入取整法可得到4個點即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。,x1,x2,3,3,(3/2,10/3),按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問題的可行域內且為整數(shù)點。故整數(shù)規(guī)劃問題的可行解集是一個有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點的目標函數(shù)值最大，即為Z=4。,整數(shù)規(guī)劃的特點及應用,整數(shù)規(guī)劃問題的求解方法：,分支定界法和割平面法匈牙利法（指派問題）,分支定界法,1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問題最優(yōu)解；若松弛問題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉下一步；2）分支與定界：任意選一個非整數(shù)解的變量xi，在松弛問題中加上約束：xixi和xixi+1組成兩個新的松弛問題，稱為分枝。新的松弛問題具有特征：當原問題是求最大值時，目標值是分枝問題的上界；當原問題是求最小值時，目標值是分枝問題的下界。檢查所有分枝的解及目標函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標函數(shù)值大于（max）等于其它分枝的目標值，則將其它分枝剪去不再計算，若還存在非整數(shù)解并且目標值大于(max)整數(shù)解的目標值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。,分支定界法的解題步驟：,分支定界法,例4.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問題,解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問題(原整數(shù)規(guī)劃問題的松馳問題),LP,IP,分支定界法,用圖解法求松弛問題的最優(yōu)解，如圖所示。,x1,x2,3,(18/11,40/11),2,1,1,2,3,x118/11,x2=40/11Z=218/11(19.8)即Z也是IP最小值的下限。,對于x118/111.64，取值x11，x12對于x2=40/113.64，取值x23，x24先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x11,x12,分支定界法,分支：,分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。,分支定界法,先求LP1,如圖所示。此時在B點取得最優(yōu)解。x11,x2=3,Z(1)16找到整數(shù)解，問題已探明，此枝停止計算。,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,同理求LP2,如圖所示。在C點取得最優(yōu)解。即:x12,x2=10/3,Z(2)56/318.7Z(2)Z(1)16原問題有比16更小的最優(yōu)解，但x2不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。,分支定界法,在IP2中分別再加入條件：x23,x24得下式兩支：,分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解,分支定界法,x1,x2,3,3,(18/11,40/11),1,1,B,A,C,D,先求LP21,如圖所示。此時D在點取得最優(yōu)解。即x112/52.4,x2=3,Z(21)-87/5-17.4Z(211)如對LP212繼續(xù)分解，其最小值也不會低于15.5，問題探明,剪枝。,分支定界法,原整數(shù)規(guī)劃問題的最優(yōu)解為:x1=2,x2=3,Z*=17以上的求解過程可以用一個樹形圖表示如右：,LP1x1=1,x2=3Z(1)16,LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)19.8,LP2x1=2,x2=10/3Z(2)18.5,LP21x1=12/5,x2=3Z(21)17.4,LP22無可行解,LP211x1=2,x2=3Z(211)17,LP212x1=3,x2=5/2Z(212)15.5,x11,x12,x23,x24,x12,x13,分支定界法,例4.5用分枝定界法求解,解:先求對應的松弛問題（記為LP0）,用圖解法得到最優(yōu)解X(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。,分支定界法,10,10,松弛問題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.14),Z0=35.7,x1,x2,o,A,B,C,分支定界法,10,x2,o,A,B,C,LP1,LP2,3,4,LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5,分支定界法,10,x1,x2,o,A,B,C,LP1,LP21,3,4,LP21:X=(4.33,6),Z21=35.33,6,分支定界法,10,x1,x2,o,A,C,LP1,3,4,6,LP211:X=(4,6),Z211=34,LP212:X=(5,5),Z212=35,5,LP212,分支定界法,上述分枝過程可用下圖表示：,LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7,LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8,LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5,x13,x14,LP21:X=(4.33,6)Z21=35.33,x26,LP211:X=(4,6)Z211=34,LP212:X=(5,5)Z212=35,x14,x15,LP22無可行解,x27,小結,學習要點：掌握一般整數(shù)規(guī)劃問題概念及模型結構掌握分支定界法原理能夠用分支定界法求解一般整數(shù)規(guī)劃問題,課后練習：,分配問題與匈牙利法,指派問題的數(shù)學模型的標準形式：,設n個人被分配去做n件工作，規(guī)定每個人只做一件工作，每件工作只有一個人去做。已知第i個人去做第j件工作的效率（時間或費用）為Cij(i=1.2n;j=1.2n)并假設Cij0。問應如何分配才能使總效率（時間或費用）最高？,設決策變量,分配問題與匈牙利法,指派問題的數(shù)學模型為：,分配問題與匈牙利法,克尼格定理:如果從分配問題效率矩陣aij的每一行元素中分別減去(或加上)一個常數(shù)ui，從每一列中分別減去(或加上)一個常數(shù)vj，得到一個新的效率矩陣bij，則以bij為效率矩陣的分配問題與以aij為效率矩陣的分配問題具有相同的最優(yōu)解。,分配問題與匈牙利法,指派問題的求解步驟：,1)變換指派問題的系數(shù)矩陣(cij)為(bij)，使在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即從(cij)的每行元素都減去該行的最小元素；再從所得新系數(shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。,2)進行試指派，以尋求最優(yōu)解。在(bij)中找盡可能多的獨立0元素，若能找出n個獨立0元素，就以這n個獨立0元素對應解矩陣(xij)中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。,分配問題與匈牙利法,找獨立0元素，常用的步驟為：,從只有一個0元素的行開始，給該行中的0元素加圈，記作。然后劃去所在列的其它0元素，記作；這表示該列所代表的任務已指派完，不必再考慮別人了。依次進行到最后一行。從只有一個0元素的列開始（畫的不計在內），給該列中的0元素加圈，記作；然后劃去所在行的0元素，記作，表示此人已有任務，不再為其指派其他任務了。依次進行到最后一列。若仍有沒有劃圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少這個0元素加圈(表示選擇性多的要“禮讓”選擇性少的)。然后劃掉同行同列的其它0元素?？煞磸瓦M行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。,分配問題與匈牙利法,若元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（即：mn），那么這指派問題