以“螞蟻吃糖”的最短路徑為例話建模

以“螞蟻吃糖”的最短路徑為例話建模課改十年來，廣大數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)建模在認識上還知之甚少或重視不夠，在實踐中還感到難以施展甚至一籌莫展.因此，頗有必要對如何建立數(shù)學(xué)模型展開研討與交流.筆者認為數(shù)學(xué)建模的過程應(yīng)倡導(dǎo)“問題情境建立模型診釋模型變式拓展實踐應(yīng)用”的教學(xué)模式.本文試以“螞蟻吃糖的最短路徑問題”為例，對數(shù)學(xué)建模教學(xué)進行探討. 1.建模的重要意義.把一個實際問題抽象為用數(shù)學(xué)符號表示的數(shù)學(xué)問題，即稱為數(shù)學(xué)建模，被抽象的數(shù)學(xué)問題叫數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，能預(yù)測對象的未來狀況，能提供處理對象最有效的決策.在數(shù)學(xué)教育中開展數(shù)學(xué)建模的教育，能培養(yǎng)學(xué)生對解決問題的濃厚興趣和進行科學(xué)探究的強烈意識，培養(yǎng)學(xué)生不斷進取和不怕困難的良好學(xué)風(fēng)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生敏銳的洞察力、豐富的想象力和持久的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作精神和數(shù)學(xué)素養(yǎng). 2.建模的一般方法.根據(jù)課程標(biāo)準，教材向?qū)W生提供了大量現(xiàn)實、有趣、富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這些內(nèi)容以“問題情境建立模型讓釋模型變式拓展實踐應(yīng)用”的基本形式呈現(xiàn)，這也正是建立數(shù)學(xué)模型的常用方法.問題情境.將現(xiàn)實生活中的問題引進課堂，根據(jù)問題的特征和目的，對問題進行簡化，并用精確的數(shù)學(xué)語言加以描述.建立模型.在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)知識來刻畫事物之間的數(shù)量關(guān)系或內(nèi)部關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).診釋模型.對模型求解，并將求解結(jié)果與實際情況相比較，以此來驗證模型的科學(xué)性.變式拓展.將已求得的數(shù)學(xué)模型進行變形，拓展引申到相應(yīng)的問題之中，用求得的模型來解釋新的問題.實踐應(yīng)用.將求得的模型應(yīng)用到對應(yīng)的實際問題之中，使原本復(fù)雜的問題得以簡化.三、建模的典型示例1.模型引入孕育一個現(xiàn)實的問題.目自。引例如圖1，螞蟻在一只圓柱形杯子的底部邊沿某處，糖粘在內(nèi)底邊沿的正對面處，能找到螞蟻從外面爬進杯子里去享受佳肴的最短路徑嗎?設(shè)計意圖:螞蟻和糖分別處在杯子的“內(nèi)層”和“外層”，此題具有很強的挑戰(zhàn)性，由此可以引發(fā)學(xué)生強烈的求知欲望. 2.模型識別聯(lián)想一個熟悉的問題.筆者當(dāng)時也覺得此題很有挑戰(zhàn)性，后來細想，其實這個問題的解決思想在課本上已有所體現(xiàn).人教版數(shù)學(xué)七年級上冊第134頁作業(yè)第10題:如圖2，一只螞蟻要從正方體的一個頂點A沿表面爬行到點B，怎樣爬行路線最短? 分析這是數(shù)學(xué)中一個很有趣的“螞蟻吃糖“問題，據(jù)說昆蟲有一種天性，它的嗅覺特靈，似乎很擅長于數(shù)學(xué)中的幾何學(xué)，總能選擇一種最佳路線去獲取食物.那么最短路徑在何方呢?由于兩點之間線段最短，而現(xiàn)在的兩點是在立方體上，因此有必要把三維空間轉(zhuǎn)化為二維平面.不妨把右側(cè)面繞側(cè)棱順時針旋轉(zhuǎn)90“，使它與正面在同一個平面內(nèi)接成一個矩形，再連接AC交側(cè)棱于點O，連接OB，則路線AOB就是最短路線(如圖3).又由于不同的側(cè)面都可展開，每個側(cè)面都全等，因此共有6條相等長度的路線，設(shè)計意圖:此題來自教材，學(xué)生都很熟悉，并且解決此題的辦法是學(xué)生十分熟悉的公理“兩點之間線段最短”的簡單應(yīng)用.3.模型提煉引申這個熟悉的問題.立方體上螞蟻吃糖的問題如此，長方體上螞蟻吃糖問題又會怎樣?筆者不由的想起了杜登尼，19世紀英國著名的迷題創(chuàng)作者，“螞蟻吃糖”其實來源于他創(chuàng)作的“蜘蛛和蒼蠅的問題”:如圖4，在一個長、寬、高分別為3m、2m、2m的長方體房間內(nèi)，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板0.lm處(點A處) 蒼蠅在對面墻的中間，離地面0.lm處(點B處)，試問，蜘蛛去捉蒼蠅需要爬行的最短距離是多少?分析把長方體的側(cè)面展開后歸納起來可以分4種情況:(1)如圖5，AB=0.1+3+1.9=5(m);(2);(3) ;(4) .經(jīng)過比較，可知第一種情況的路徑最短.由此我們發(fā)現(xiàn):(1)當(dāng)長、高相等時橫向展開和縱向展開所求得的路程遠近相同，即長、高相等兩路皆近;(2)高“小”縱向展開走的路近，長“小”橫向展開走的路近，即誰小走誰近于是，針對引例中的問題，估計會有這么一個想法:如圖9，糖粘在杯子的外表面就簡單了，如粘在正外對面的B處，可以把圓柱(半徑為3cm，高為5cm)沿著點A所在的側(cè)棱進行側(cè)面展開，于是得到一個矩形，糖就粘在杯子上邊沿圓周長一半處. 設(shè)計意圖:有上例作鋪墊，通過轉(zhuǎn)化得到一個“最短路線極值模型”:把立體圖形沿側(cè)面展開，利用“兩點之間線段最短”，求最短路徑.4.模型分析一一化歸這個熟悉的問題.可是題目中的糖卻粘在正對面的內(nèi)表面處，這時思路的關(guān)鍵是把圓柱形杯子側(cè)面看成里外兩層，好比一張矩形的紙上下對折后，對折線當(dāng)作杯子的上邊沿，再讓左右兩邊重合卷出來的圓柱形杯子，讓螞蟻停在外一層矩形的下底邊的左端點處，糖粘在里一層矩形的下底邊的中點處.解題時需把折進去的里層拉出來，原圓柱就變成高度是原來的2倍，底面一樣的新圓柱，再把新圓柱沿著點A所在母線側(cè)面展開，那么螞蟻還在A處，糖就跑到了B處(如圖10)，如是最短路徑就是這個展開矩形上的線段AB，因此，螞蟻至少要爬約13.scm才能享受佳肴. 設(shè)計意圖:通過對“正方體”和“長方體”表面最短路徑的探討，讓學(xué)生在模仿解答的過程中，進一步熟悉“圈柱體表面最短路徑”模型的特征及其解.5.模型拓展一一祠示這個熟悉的問題. 多次重復(fù)和簡單的模仿并不能真正掌握一個數(shù)學(xué)模型，只有掌握了模型的特征和本質(zhì)，才能熟練、靈活地應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，因此，模仿之后的延伸和拓展(意在揭示模型的本質(zhì))是數(shù)學(xué)模型教學(xué)過程中不可或缺的一環(huán)，它是模型通往應(yīng)用與創(chuàng)新的前提.筆者在此不由的又想起了人教版八年級下冊89頁“拓廣探究”欄目第8題:已知，如圖1l(左)，圓柱的底面半徑為6cm，高為10cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是多少(精確到0.Icm分析將圓柱體沿過點A的母線AC剪開并展開在同一平面上，得到圖11(右)，.但若將圓柱的底面半徑改為10cm，高改為6cm，螞蟻從A點爬到B點的最短路程是多少?根據(jù)上述求法得:但是如果螞蟻先沿母線AC由AC，然后在上底面沿直徑CB由CB，路徑長為:6+210=26(cm).根據(jù)上面的計算發(fā)現(xiàn)，圓柱體的高和底面直徑發(fā)生變化時，最短路徑也可能發(fā)生變化，不妨設(shè)高為h，底面半徑為r，則: (1)若沿AC剪開螞蟻在側(cè)面上爬行“線段AB”，路徑長為: (2)螞蟻先沿圖12母線AC由AC，然后在上底面沿直徑CB由CB，路徑長為:L2=h+2r，分別將Ll和L2平方后得: =h2+ (h是常數(shù))，由此可知，d是;的二次函數(shù)，且它的圖象與橫軸的兩個交點的坐標(biāo)是(0，0)，(如圖12所示)可得如下結(jié)論:(1)當(dāng)0r4h礦一4時，do，即斌瑞，則Ll一4h鏟一4時，d0，即L圣LI，則LlL:，此時，先沿母線由AoC，再沿直徑由C弓刀，路徑最短;設(shè)計意圖:改變圓柱體的底面圓半徑和高，問題的本質(zhì)雖然沒有發(fā)生變化，但受“底圓半徑和高”的影響，最短路徑可能會發(fā)生變化，讓學(xué)生進一步探討. 6.模型推廣解決一類相似的問題.形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一，數(shù)學(xué)的魅力不僅僅表現(xiàn)在實際生活中的廣泛應(yīng)用上，還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生思維自幼上，有著其它學(xué)科不可替代的作用.注重數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用，既可以升華學(xué)生對模型本質(zhì)的認識，提高解題能力，又能有效的培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和良好的思維品質(zhì)，面對問題時能主動嘗試著從數(shù)學(xué)角度運用所學(xué)知識和方法尋求解決問題的策略，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和建模能力.一般地，求一個多面體沿表面兩點的最短距離的方法是:沿兩個點所在平面的公共棱展開成平面圖形;求一個旋轉(zhuǎn)體(除球外)沿表面兩點的最短距離的方法是:沿旋轉(zhuǎn)體的某條母線展開成平面圖形(還要考慮高和底面圓的直徑對路徑長的影響):如果不涉及內(nèi)外兩層的情況，只要在上述展開的基礎(chǔ)上，再把內(nèi)外兩層沿邊線對稱地展開成平面，進而化歸為平面內(nèi)兩點之間線段最短的問題，方法都是“展平”.筆者通過模型引入、識別、提煉、分析、拓展、推廣等方法啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生，其目的是為了讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識的發(fā)生、發(fā)展、形成與應(yīng)用的過