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.,第五節(jié)柯西積分公式,一、問題的提出,二、柯西積分公式,三、典型例題,四、小結(jié)與思考,.,一、問題的提出,根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線C的變化而改變,求這個(gè)值.,.,.,二、柯西積分公式,定理,證,.,.,上不等式表明,只要R足夠小,左端積分的模就可以任意小,根據(jù)閉路變形原理知,左端積分的值與R無關(guān),所以只有在對(duì)所有的R積分值為零時(shí)才有可能.,證畢,柯西積分公式,柯西介紹,.,關(guān)于柯西積分公式的說明:,(1)把函數(shù)在C內(nèi)部任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示.,(這是解析函數(shù)的又一特征),(2)公式不但提供了計(jì)算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法,而且給出了解析函數(shù)的一個(gè)積分表達(dá)式.,(這是研究解析函數(shù)的有力工具),(3)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值.,.,三、典型例題,例1,解,.,由柯西積分公式,.,例2,解,由柯西積分公式,.,例3,解,由柯西積分公式,.,例,解,根據(jù)柯西積分公式知,.,例5,解,.,例5,解,.,由閉路復(fù)合定理,得,例5,解,.,例6,解,根據(jù)柯西積分公式知,.,比較兩式得,.,課堂練習(xí),答案,.,四、小結(jié)與思考,柯西積分公式是復(fù)積分計(jì)算中的重要公式,它的證明基于柯西古薩基本定理,它的重要性在于:一個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的值可以用它在邊界上的值通過積分表示,所以它是研究解析函數(shù)的重要工具.,柯西積分公式:,.,思考題,柯西積分公式是對(duì)有界區(qū)域而言的,能否推廣到無界區(qū)域中?,.,思考題答案,可以.,其中積分方向應(yīng)是順時(shí)針方向.,放映結(jié)束，按Esc退出.,.,Augustin-LouisCauchy,Born:21Aug1789inParis,FranceDied:23Ma

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