高二數學期末復習之四復數

高二數學期末復習之四復數知識小結:1. 復數的單位為i，它的平方等于1，即.復數及其相關概念： 復數形如a + bi的數（其中）； 實數當b = 0時的復數a + bi，即a； 虛數當時的復數a + bi； 純虛數當a = 0且時的復數a + bi，即bi. 復數a + bi的實部與虛部a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數） 復數集C全體復數的集合，一般用字母C表示.兩個復數相等的定義：.兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.注：若為復數，則若，則.（）為復數，而不是實數若，則.（）若，則是的必要不充分條件.（當，時，上式成立）2. 復平面內的兩點間距離公式：.其中是復平面內的兩點所對應的復數，間的距離.由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的復數方程：.曲線方程的復數形式：為圓心，r為半徑的圓的方程.表示線段的垂直平分線的方程.為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.絕對值不等式：設是不等于零的復數，則.左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.注：.3. 共軛復數的性質： ，（a + bi） （） 注：兩個共軛復數之差是純虛數. （）之差可能為零，此時兩個復數是相等的4. 復數的乘方：對任何，及有 注：以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論.在實數集成立的. 當為虛數時，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.常用的結論： 若是1的立方虛數根，即，則 .5. 復數是實數及純虛數的充要條件：.若，是純虛數.模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.注：. 6. 復數集中解一元二次方程：在復數集內解關于的一元二次方程時，應注意下述問題：當時，若0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若0，則有二相等復數根（為共軛復數）.當不全為實數時，不能用方程根的情況.不論為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.范例分析實數？虛數？純虛數？復數z是實數的充要條件是：當m2時復數z為實數復數z是虛數的充要條件：當m3且m2時復數z為虛數復數z是純虛數的充要條件是：當m1時復數z為純虛數【說明】要注意復數z實部的定義域是m3，它是考慮復數z是實數，虛數純虛數的必要條件要特別注意復數za+bi(a，bR)為純虛數的充要條件是a0且b0 ，所以，代入得，故選解法3：選擇支中的復數的模均為，又，而方程右邊為2+i，它的實部，虛部均為正數，因此復數z的實部，虛部也必須為正，故選擇B【說明】解法1利用復數相等的條件；解法2利用復數模的性質；解法3考慮選擇題的特點求：z【分析】確定一個復數要且僅要兩個實數a、b，而題目恰給了兩個獨立條件采用待定系數法可求出a、b確定z運算簡化解：設z=x+yi(x，yR)將z=x+yi代入|z4|z4i|可得xy，z=x+xi(2)當|z1|13時，即有xx6=0則有x=3或x=2綜上所述故z0或z=3+3i或z=-22i【說明】注意熟練地運用共軛復數的性質其性質有：(3)1+2i+3+1000【說明】計算時要注意提取公因式，要注意利用i的冪的周期性，要記住常用的數據：，。（2）原式(3)解法1：原式=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(997+998i9991000i)=250(22i)=500500i解法2：設S1+2i+3+1000，則iSi+2+3+999+1000，(1i)S1+i+1000【說明】充分利用i的冪的周期性進行組合，注意利用等比數列求和的方法【例5】若，求：解： 【例6】設z1=1-cos+isin，z2=a2+ai(aR)，若z1z20，z1z2+=0，問在（0，2）內是否存在使(z1-z2)2為實數？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由【分析】這是一道探索性問題可根據復數的概念與純虛數的性質及復數為實數的充要條件，直接進行解答【解】假設滿足條件的存在因z1z20，z1z2+=0，故z1z2為純虛數又z1z2=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+a(1-cos)+a2sini，于是，由知a0因(0，2)，故cos1于是，由得a=另一方面，因(z1-z2)2R，故z1-z2為實數或為純虛數又z1-z2=1-cos-a2+(sin-a)i，于是sin-a=0，或1-cos-a2=0若sin-a=0，則由方程組得=sin，故cos=0，于是=或=若1-cos-a2=0，則由方程組得()2=1-cos由于sin2=1-cos2=(1+cos)(1-cos)，故1+cos=(1-cos)2解得cos=0，從而=或=綜上所知，在(0，2)內，存在=或=，使(z1-z2)2為實數【說明】解題技巧：解題中充分使用了復數的性質：z0，z+=0z純虛數以及z2RzR或z純虛數（注：Re(z)，Im(z)分別表示復數z的實部與虛部）解題規(guī)律：對于“是否型存在題型”，一般處理方法是首先假設結論成立，再進行正確的推理，若無矛盾，則結論成立；否則結論不成立【例7】設a為實數，在復數集C中解方程：z2+2|z|=a【分析】由于z2=a-2|z|為實數，故z為純虛數或實數，因而需分情況進行討論【解】設|z|=r若a0，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數，從而r2=2ra解得r=(r=0，不合，舍去)故z=()i若a0，對r作如下討論：（1）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為實數解方程r2=a-2r，得r=(r=0，不合，舍去)故z=()（2）若ra，則z2=a-2|z|0，于是z為純虛數解方程r2=2r-a，得r=或r=(a1)故z=()i(a1)綜上所述，原方程的解的情況如下：當a0時，解為：z=()i；當0a1時，解為：z=()，z=()i；當a1時，解為：z=()【說明】解題技巧：本題還可以令z=x+yi(x、yR)代入原方程后，由復數相等的條件將復數方程化歸為關于x，y的實系數的二元方程組來求解【例8】已知實數滿足不等式，試判斷方程有無實根，并給出證明.【解】由，解得，.方程的判別式.，由此得方程無實根.基礎訓練：1. 下列說法正確的是 C A0i是純虛數B原點是復平面內直角坐標系的實軸與虛軸的公共點C實數的共軛復數一定是實數，虛數的共軛復數一定是虛數D是虛數2. 下列命題中，假命題是 A A兩個復數不可以比較大小B兩個實數可以比較大小C兩個虛數不可以比較大小D一虛數和一實數不可以比較大小3. 已知對于x的方程+（12i）x+3mi=0有實根，則實數m滿足 D 4. 復數1+i+等于 AAi B i C2i D2i5. 求同時滿足下列兩個條件的所有復數z：(1)z+是實數，且1z+6；(2)z的實部和虛部都是整數1t6=t2-400，解方程得又z的實部和虛部都是整數，t=2或t=6故z=13i或z=3i6. 已知復數z1=3+4i, z2=t+i, 且是實數，則實數t=( )A B C- D-7. 當時，復數在復平面上對應的點位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限8. 滿足條件的復數在復平面上對應點的軌跡是( C )A一條直線 B兩條直線 C圓 D橢圓9. 已知z=2i，求z3zz+5z2的值?！痉治觥咳绻苯哟耄@然比較困難，將z用三角式表示也有一定的難度。從整體角度思考，可將條件轉化為（z2）=（i）=1，即z4z+4=1，即z4z+5=0，再將結論轉化為z3zz+5z2=（z4z5）（zz）+2，然后代入就不困難了。【解】z=2i，（z2）=（i）=1即z4z+5=0z3zz+5z2=（z4z+5）（zz）+2=2。10. 設zc，a0，解方程z|z|azi=0。邊取模，得11. 下列命題中正確的是 D A方程|