上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(含解析)_第1頁(yè)
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上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題(含解析)一、填空題(每題4分,一共40分):1.若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍,則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_倍;【答案】3;【解析】【分析】分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較【詳解】由題意,故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積,掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題2.如圖,在正三棱柱中,已知它的底面邊長(zhǎng)為10,高為20,若p、q分別是、的中點(diǎn),則異面直線與所成角的大小為_(結(jié)果用反三角函數(shù)表示)【答案】;【解析】【分析】作出兩異面直線所成的角,然后在三角形求解【詳解】取中點(diǎn),連接,是中點(diǎn),異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角在正三棱柱中,則,異面直線與所成的角的余弦為,角的大小為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是作出兩條異面直線所成的角,然后通過解三角形得出結(jié)論方法是根據(jù)定義,平移其中一條直線使之與另一條相交,則異面直線所成的角可確定平行線常常通過中位線、或者線面平行的性質(zhì)定理等得出3.已知球的半徑為24cm,一個(gè)圓錐的高等于這個(gè)球的直徑,而且球的表面積等于圓錐的表面積,則這個(gè)圓錐的體積是_ cm3(結(jié)果保留圓周率p)【答案】【解析】【分析】結(jié)合球的表面積等于圓錐的表面積,建立等式,計(jì)算半徑r,利用體積計(jì)算公式,即可。【詳解】結(jié)合題意可知圓錐高h(yuǎn)=48,設(shè)圓錐 底面半徑為r,則圓錐表面積 ,計(jì)算得到 ,所以圓錐的體積【點(diǎn)睛】本道題考查了立體幾何表面積和體積計(jì)算公式,結(jié)合題意,建立等式,計(jì)算半徑r,即可,屬于中等難度的題。4.某四棱錐的三視圖如圖所示,那么該四棱錐的體積為_ 【答案】【解析】【分析】先還原幾何體,再根據(jù)四棱錐體積公式求結(jié)果.【詳解】由三視圖知該幾何體如圖,v故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四棱錐的體積,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.5.設(shè)等差數(shù)列的公差為,若的方差為1,則=_【答案】【解析】由題意得 ,因此 6.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體,的中點(diǎn)為d,動(dòng)點(diǎn)e在線段上,則直線與平面所成角的取值范圍為_;【答案】;【解析】【分析】當(dāng)與重合時(shí),直線與平面所成角為0最小,當(dāng)從向移動(dòng)時(shí),直線與平面所成角逐漸增大,到達(dá)點(diǎn)時(shí)角最大詳解】如圖,是在底面上的射影,是在底面上的射影,由于是中點(diǎn),則是中點(diǎn),正四面體棱長(zhǎng)為1,則,所求角的范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角,解題時(shí)首先要作出直線與平面所成的角,同時(shí)要證明所作角就是要求的角,最后再計(jì)算,即一作二證三計(jì)算7.一個(gè)總體分為a,b兩層,其個(gè)體數(shù)之比為4:1,用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.已知b層中甲、乙都被抽到的概率為,則總體中的個(gè)體數(shù)為 _ 。【答案】40【解析】設(shè)b層中的個(gè)體數(shù)為,則,則總體中的個(gè)體數(shù)為8.有一個(gè)體積為2的長(zhǎng)方體,它的長(zhǎng)、寬、高依次為a,b,1,現(xiàn)將它的長(zhǎng)增加1,寬增加2,且體積不變,則所得長(zhǎng)方體高的最大值為_;【答案】;【解析】【分析】由體積公式得,長(zhǎng)寬高變化后體積公式為,這樣可用表示,然后結(jié)合基本不等式求得最值【詳解】依題意,設(shè)新長(zhǎng)方體高為,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立的最大值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積,考查用基本不等式求最值,屬于中檔題型9.設(shè)關(guān)于x,y的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橛泤^(qū)域上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最小值為,若,則的取值范圍是_;【答案】;【解析】【分析】根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域,又直線過點(diǎn),因此可對(duì)分類討論,以求得,當(dāng)時(shí),是到直線的距離,在其他情況下,表示與可行域內(nèi)頂點(diǎn)間的距離分別計(jì)算驗(yàn)證【詳解】如圖,區(qū)域表示在第一象限(含軸的正半軸),直線過點(diǎn),表示直線的上方,當(dāng)時(shí),滿足題意,當(dāng)時(shí),直線與軸正半軸交于點(diǎn),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),滿足題意,當(dāng)時(shí),不滿足題意,綜上的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域,解題關(guān)鍵是在求時(shí)要分類討論是直接求兩點(diǎn)間的距離還是求點(diǎn)到直線的距離,這要區(qū)分開來10.將前12個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中的元素分成四個(gè)三元子集,使得每個(gè)三元子集中的三數(shù)都滿足:其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和,試求不同的分法種數(shù)【答案】8【解析】【詳解】設(shè)四個(gè)子集為,2,3,4,其中,2,3,4,設(shè),則,所以,故,因此若,則由,得,即有,再由,必須,共得兩種情況:,;以及,對(duì)應(yīng)于兩種分法:,;,若,則,于是,分別得,對(duì)于,得到三種分法:,;,;,對(duì)于,也得三種分法:,;,;,因此本題的分組方案共八種二、選擇題(每題4分,一共16分):11.對(duì)于兩個(gè)平面和兩條直線,下列命題中真命題是( )a. 若,則b. 若,則c. 若,則d. 若,則【答案】d【解析】分析】根據(jù)線面平行垂直的位置關(guān)系判斷【詳解】a中可能在內(nèi),a錯(cuò);b中也可能在內(nèi),b錯(cuò);與可能平行,c錯(cuò);,則或,若,則由得,若,則內(nèi)有直線,而易知,從而,d正確故選d【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直的關(guān)系,在說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤時(shí)可舉一反例說明命題是正確時(shí)必須證明12.學(xué)號(hào)分別為1,2,3,4的4位同學(xué)排成一排,若學(xué)號(hào)相鄰的同學(xué)不相鄰,則不同的排法種數(shù)為( )a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】a【解析】【分析】先排1,2,再將3、4插空,用列舉法,即可得出結(jié)果.【詳解】先排好1、2,數(shù)字3、4插空,排除相鄰學(xué)號(hào),只有2種排法:3142、2413故選a【點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)數(shù)原理,熟記概念即可,屬于基礎(chǔ)題型.13.的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3,則該展開式中項(xiàng)的系數(shù)為( )a. 2b. 8c. d. -17【答案】d【解析】【分析】令得各項(xiàng)系數(shù)和,可求得,再由二項(xiàng)式定理求得的系數(shù),注意多項(xiàng)式乘法法則的應(yīng)用【詳解】令,可得,在的展開式中的系數(shù)為:故選d【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,在二項(xiàng)展開式中,通過對(duì)變量適當(dāng)?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù),如令可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和,再令可得展開式中偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和與奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和的差,兩者結(jié)合可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和14.已知正方體棱長(zhǎng)為2,p是底面上的動(dòng)點(diǎn),,則滿足條件的點(diǎn)p構(gòu)成的圖形的面積等于( )a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】p是底面上的動(dòng)點(diǎn),因此只要在底面上討論即可,以為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù)已知列出滿足的關(guān)系【詳解】如圖,以為軸在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),由得,整理得,設(shè)直線與正方形的邊交于點(diǎn),則點(diǎn)在內(nèi)部(含邊界),易知,故選a【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離問題,解題關(guān)鍵是在底面上建立平面直角坐標(biāo)系,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決三、解答題(10+10+12+12,一共44分)15.袋中有紅、黃、白色球各1個(gè),每次任取1個(gè),有放回地抽三次,求基本事件的個(gè)數(shù),寫出所有基本事件的全集,并計(jì)算下列事件的概率:(1)三次顏色各不相同;(2)三次顏色不全相同;(3)三次取出的球無紅色或黃色【答案】(1);(2);(3);【解析】【分析】按球顏色寫出所有基本事件;(1)計(jì)數(shù)三次顏色各不相同的事件數(shù),計(jì)算概率;(2)計(jì)數(shù)三次顏色全相同的事件數(shù),從對(duì)立事件角度計(jì)算概率;(3)計(jì)數(shù)三次取出的球無紅色或黃色事件數(shù),計(jì)算概率;【詳解】按抽取的順序,基本事件全集為:(紅紅紅),(紅紅黃),(紅紅藍(lán)),(紅黃紅),(紅黃黃),(紅黃藍(lán)),(紅藍(lán)紅),(紅藍(lán)黃),(紅藍(lán)藍(lán)),(黃紅紅),(黃紅黃),(黃紅藍(lán)),(黃黃紅),(黃黃黃),(黃黃藍(lán)),(黃藍(lán)紅),(黃藍(lán)黃),(黃藍(lán)藍(lán)),(藍(lán)紅紅),(藍(lán)紅黃),(藍(lán)紅藍(lán)),(藍(lán)黃紅),(藍(lán)黃黃),(藍(lán)黃藍(lán)),(藍(lán)藍(lán)紅),(藍(lán)藍(lán)黃),(藍(lán)藍(lán)藍(lán)),共27個(gè)(1)三次顏色各不相同的事件有(紅黃藍(lán)),(紅藍(lán)黃),(黃紅藍(lán)),(黃藍(lán)紅),(藍(lán)紅黃),(藍(lán)黃紅),共6個(gè),概率為;(2)其中顏色全相同的有3個(gè),因此所求概率為;(3)三次取出的球紅黃都有的事件有12個(gè),因此三次取出的球無紅色或黃色事件有15個(gè),概率為無紅色或黃色事件【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率,解題關(guān)鍵是寫出所有基本事件的集合,然后按照要求計(jì)數(shù)即可,當(dāng)然有時(shí)也可從對(duì)立事件的角度考慮16.已知的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123,(1)這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)?(2)若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112,求x的值【答案】(1)第5、6、7項(xiàng);(2)或;【解析】【分析】(1)先求展開式各項(xiàng)的系數(shù),由有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123,求出及項(xiàng)數(shù);(2)再由通項(xiàng)公式寫出倒數(shù)第二項(xiàng),由它等于112求出【詳解】(1)展開式各項(xiàng)系數(shù)為,由題意,即,解得,這三項(xiàng)第5、6、7項(xiàng)(2)倒數(shù)第二項(xiàng)為,112,即,或【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,考查組合數(shù)公式的計(jì)算,題中難點(diǎn)有兩個(gè),一個(gè)是把組合數(shù)用階乘表示出來后求解較方便,一個(gè)是解方程時(shí)要先取以2為底的對(duì)數(shù)后才能求解17.如圖,有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的敞口玻璃容器,底面是邊長(zhǎng)為20cm的正方形,高為30cm,內(nèi)有20cm深的溶液現(xiàn)將此容器傾斜一定角度(圖),且傾斜時(shí)底面的一條棱始終在桌面上(圖、均為容器的縱截面)(1)要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出,角的最大值是多少?(2)現(xiàn)需要倒出不少于的溶液,當(dāng)時(shí),能實(shí)現(xiàn)要求嗎?請(qǐng)說明理由【答案】(1)要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出,的最大值是45(2)不能實(shí)現(xiàn)要求,詳見解析【解析】【分析】(1)當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過點(diǎn)b時(shí),容器內(nèi)溶液恰好不會(huì)溢出,此時(shí)最大(2)當(dāng)時(shí),設(shè)剩余的液面為,比較與60的大小后發(fā)現(xiàn)在上,計(jì)算此時(shí)倒出的液體體積,比小,從而得出結(jié)論【詳解】(1)如圖,當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過點(diǎn)b時(shí),容器內(nèi)溶液恰好不會(huì)溢出,此時(shí)最大解法一:此時(shí),梯形的面積等于,因?yàn)?,所以?即,解得,所以,要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出,的最大值是45解法二:此時(shí),的面積等于圖中沒有液體部分的面積,即,因?yàn)?,所以,即,解得,所以,要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出,的最大值是45(2)如圖,當(dāng)時(shí),設(shè)上液面為,因?yàn)?,所以點(diǎn)f在線段上,此時(shí),,剩余溶液的體積為,由題意,原來溶液的體積為,因?yàn)?,所以倒出的溶液不滿所以,要倒出不少于的溶液,當(dāng)時(shí),不能實(shí)現(xiàn)要求【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,解題關(guān)鍵是確定傾斜后容器內(nèi)的溶液的液面位置,然后才能計(jì)算解決問題18.如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,平面,為的中點(diǎn).(1)證明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析; (2).【解析】【分析】(1)證明,再證明平面,即可證明;(2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,再求平面以及平面的法向量,再求兩個(gè)平面法向量夾角的余弦值,結(jié)合圖像即可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:連接,.因?yàn)樗倪呅问橇庑吻遥瑸榈闹悬c(diǎn),所以.因?yàn)槠矫妫?,又,所以平面,則.因?yàn)椋? (2)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(其中為與的交點(diǎn)),如圖所示,則,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,得.所以 ,由圖可知二面角為鈍角,故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明,考查二面角的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.四、附加題(10+10,一共20分)19.在六條棱長(zhǎng)分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中,最大的體積是多少?證明你的結(jié)論【答案】;證明見解析【解析】【分析】根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì),按題設(shè)數(shù)據(jù),所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是(a)3,3;(b)5,5;(c)4,5;(d)3,4,從而題設(shè)四面體中,以棱長(zhǎng)為2的棱為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形:(i)(a)與(b),(ii)(a)與(c);(iii)(b)與(c),于是問題轉(zhuǎn)化為對(duì)棱長(zhǎng)分別為(i)(ii)(iii)的四面體來計(jì)算體積的最大值(或估計(jì)).【詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì),按題設(shè)數(shù)據(jù),所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是(a)3,3;(b)5,5;(c)4,5;(d)3,4,從而題設(shè)四面體中,以棱長(zhǎng)為2為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形:(i)(a)與(b),(ii)(a)與(c);(iii)(b)與(c).對(duì)情形(i)(a)與(b),四邊形沿ab折疊后使,則由得,即是四面體以為底面的高,體積為;對(duì)情形(ii)(a)與(c)四邊形沿ab折疊后使,有兩種情形,它們體積相等,記為,為鈍角,與平面斜交,;對(duì)情形(iii),(b)與(c),這樣的四面體也有兩個(gè),體積也相等,記為,.最大體積為.【點(diǎn)睛】本題考查四面體的體積,解題關(guān)鍵是找到以棱

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