上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）

上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題（含解析）一、填空題（每題4分，一共40分）：1.若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的3倍，則該圓錐的側(cè)面積是底面積的_倍；【答案】3；【解析】【分析】分別計(jì)算側(cè)面積和底面積后再比較【詳解】由題意，故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的側(cè)面積，掌握側(cè)面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵屬于基礎(chǔ)題2.如圖，在正三棱柱中，已知它的底面邊長(zhǎng)為10，高為20，若p、q分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為_（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）【答案】；【解析】【分析】作出兩異面直線所成的角，然后在三角形求解【詳解】取中點(diǎn)，連接，是中點(diǎn)，異面直線與所成的角為或其補(bǔ)角在正三棱柱中，則，異面直線與所成的角的余弦為，角的大小為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，解題關(guān)鍵是作出兩條異面直線所成的角，然后通過解三角形得出結(jié)論方法是根據(jù)定義，平移其中一條直線使之與另一條相交，則異面直線所成的角可確定平行線常常通過中位線、或者線面平行的性質(zhì)定理等得出3.已知球的半徑為24cm，一個(gè)圓錐的高等于這個(gè)球的直徑，而且球的表面積等于圓錐的表面積，則這個(gè)圓錐的體積是_ cm3（結(jié)果保留圓周率p）【答案】【解析】【分析】結(jié)合球的表面積等于圓錐的表面積，建立等式，計(jì)算半徑r，利用體積計(jì)算公式，即可。【詳解】結(jié)合題意可知圓錐高h(yuǎn)=48,設(shè)圓錐 底面半徑為r，則圓錐表面積 ，計(jì)算得到 ,所以圓錐的體積【點(diǎn)睛】本道題考查了立體幾何表面積和體積計(jì)算公式，結(jié)合題意，建立等式，計(jì)算半徑r，即可，屬于中等難度的題。4.某四棱錐的三視圖如圖所示，那么該四棱錐的體積為_ 【答案】【解析】【分析】先還原幾何體，再根據(jù)四棱錐體積公式求結(jié)果.【詳解】由三視圖知該幾何體如圖，v故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及四棱錐的體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.5.設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=_【答案】【解析】由題意得 ，因此 6.已知棱長(zhǎng)為1的正四面體，的中點(diǎn)為d，動(dòng)點(diǎn)e在線段上，則直線與平面所成角的取值范圍為_；【答案】；【解析】【分析】當(dāng)與重合時(shí)，直線與平面所成角為0最小，當(dāng)從向移動(dòng)時(shí)，直線與平面所成角逐漸增大，到達(dá)點(diǎn)時(shí)角最大詳解】如圖，是在底面上的射影，是在底面上的射影，由于是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，正四面體棱長(zhǎng)為1，則，所求角的范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面所成的角，解題時(shí)首先要作出直線與平面所成的角，同時(shí)要證明所作角就是要求的角，最后再計(jì)算，即一作二證三計(jì)算7.一個(gè)總體分為a，b兩層，其個(gè)體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本.已知b層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個(gè)體數(shù)為 _ 。【答案】40【解析】設(shè)b層中的個(gè)體數(shù)為，則，則總體中的個(gè)體數(shù)為8.有一個(gè)體積為2的長(zhǎng)方體，它的長(zhǎng)、寬、高依次為a，b，1，現(xiàn)將它的長(zhǎng)增加1，寬增加2，且體積不變，則所得長(zhǎng)方體高的最大值為_；【答案】；【解析】【分析】由體積公式得，長(zhǎng)寬高變化后體積公式為，這樣可用表示，然后結(jié)合基本不等式求得最值【詳解】依題意，設(shè)新長(zhǎng)方體高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立的最大值為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查長(zhǎng)方體體積，考查用基本不等式求最值，屬于中檔題型9.設(shè)關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橛泤^(qū)域上的點(diǎn)與點(diǎn)距離的最小值為，若，則的取值范圍是_；【答案】；【解析】【分析】根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域，又直線過點(diǎn)，因此可對(duì)分類討論，以求得，當(dāng)時(shí)，是到直線的距離，在其他情況下，表示與可行域內(nèi)頂點(diǎn)間的距離分別計(jì)算驗(yàn)證【詳解】如圖，區(qū)域表示在第一象限（含軸的正半軸），直線過點(diǎn)，表示直線的上方，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，直線與軸正半軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足題意，當(dāng)時(shí)，不滿足題意，綜上的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，解題關(guān)鍵是在求時(shí)要分類討論是直接求兩點(diǎn)間的距離還是求點(diǎn)到直線的距離，這要區(qū)分開來10.將前12個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合中的元素分成四個(gè)三元子集，使得每個(gè)三元子集中的三數(shù)都滿足：其中一數(shù)等于另外兩數(shù)之和，試求不同的分法種數(shù)【答案】8【解析】【詳解】設(shè)四個(gè)子集為，2，3，4，其中，2，3，4，設(shè)，則，所以，故，因此若，則由，得，即有，再由，必須，共得兩種情況：，；以及，對(duì)應(yīng)于兩種分法：，；，若，則，于是，分別得，對(duì)于，得到三種分法：，；，；，對(duì)于，也得三種分法：，；，；，因此本題的分組方案共八種二、選擇題（每題4分，一共16分）：11.對(duì)于兩個(gè)平面和兩條直線，下列命題中真命題是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】d【解析】分析】根據(jù)線面平行垂直的位置關(guān)系判斷【詳解】a中可能在內(nèi)，a錯(cuò)；b中也可能在內(nèi)，b錯(cuò)；與可能平行，c錯(cuò)；，則或，若，則由得，若，則內(nèi)有直線，而易知，從而，d正確故選d【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直的關(guān)系，在說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤時(shí)可舉一反例說明命題是正確時(shí)必須證明12.學(xué)號(hào)分別為1，2，3，4的4位同學(xué)排成一排，若學(xué)號(hào)相鄰的同學(xué)不相鄰，則不同的排法種數(shù)為( )a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】a【解析】【分析】先排1,2，再將3、4插空，用列舉法，即可得出結(jié)果.【詳解】先排好1、2，數(shù)字3、4插空，排除相鄰學(xué)號(hào)，只有2種排法：3142、2413故選a【點(diǎn)睛】本題主要考查計(jì)數(shù)原理，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.13.的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ）a. 2b. 8c. d. -17【答案】d【解析】【分析】令得各項(xiàng)系數(shù)和，可求得，再由二項(xiàng)式定理求得的系數(shù)，注意多項(xiàng)式乘法法則的應(yīng)用【詳解】令，可得，在的展開式中的系數(shù)為：故選d【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，在二項(xiàng)展開式中，通過對(duì)變量適當(dāng)?shù)馁x值可以求出一些特定的系數(shù)，如令可得展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和，再令可得展開式中偶數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和與奇數(shù)次項(xiàng)系數(shù)和的差，兩者結(jié)合可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和以及偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和14.已知正方體棱長(zhǎng)為2，p是底面上的動(dòng)點(diǎn),，則滿足條件的點(diǎn)p構(gòu)成的圖形的面積等于（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】p是底面上的動(dòng)點(diǎn)，因此只要在底面上討論即可，以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知列出滿足的關(guān)系【詳解】如圖，以為軸在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，由得，整理得，設(shè)直線與正方形的邊交于點(diǎn)，則點(diǎn)在內(nèi)部（含邊界），易知，故選a【點(diǎn)睛】本題考查空間兩點(diǎn)間的距離問題，解題關(guān)鍵是在底面上建立平面直角坐標(biāo)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決三、解答題（10+10+12+12，一共44分）15.袋中有紅、黃、白色球各1個(gè)，每次任取1個(gè)，有放回地抽三次，求基本事件的個(gè)數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計(jì)算下列事件的概率：（1）三次顏色各不相同；（2）三次顏色不全相同；（3）三次取出的球無紅色或黃色【答案】（1）；（2）；（3）；【解析】【分析】按球顏色寫出所有基本事件；（1）計(jì)數(shù)三次顏色各不相同的事件數(shù)，計(jì)算概率；（2）計(jì)數(shù)三次顏色全相同的事件數(shù)，從對(duì)立事件角度計(jì)算概率；（3）計(jì)數(shù)三次取出的球無紅色或黃色事件數(shù)，計(jì)算概率；【詳解】按抽取的順序，基本事件全集為：（紅紅紅），（紅紅黃），（紅紅藍(lán)），（紅黃紅），（紅黃黃），（紅黃藍(lán)），（紅藍(lán)紅），（紅藍(lán)黃），（紅藍(lán)藍(lán)），（黃紅紅），（黃紅黃），（黃紅藍(lán)），（黃黃紅），（黃黃黃），（黃黃藍(lán)），（黃藍(lán)紅），（黃藍(lán)黃），（黃藍(lán)藍(lán)），（藍(lán)紅紅），（藍(lán)紅黃），（藍(lán)紅藍(lán)），（藍(lán)黃紅），（藍(lán)黃黃），（藍(lán)黃藍(lán)），（藍(lán)藍(lán)紅），（藍(lán)藍(lán)黃），（藍(lán)藍(lán)藍(lán)），共27個(gè)（1）三次顏色各不相同的事件有（紅黃藍(lán)），（紅藍(lán)黃），（黃紅藍(lán)），（黃藍(lán)紅），（藍(lán)紅黃），（藍(lán)黃紅），共6個(gè)，概率為；（2）其中顏色全相同的有3個(gè)，因此所求概率為；（3）三次取出的球紅黃都有的事件有12個(gè)，因此三次取出的球無紅色或黃色事件有15個(gè)，概率為無紅色或黃色事件【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是寫出所有基本事件的集合，然后按照要求計(jì)數(shù)即可，當(dāng)然有時(shí)也可從對(duì)立事件的角度考慮16.已知的展開式中有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123，（1）這三項(xiàng)是第幾項(xiàng)？（2）若展開式的倒數(shù)第二項(xiàng)為112，求x的值【答案】（1）第5、6、7項(xiàng)；（2）或；【解析】【分析】（1）先求展開式各項(xiàng)的系數(shù)，由有連續(xù)三項(xiàng)的系數(shù)之比為123，求出及項(xiàng)數(shù)；（2）再由通項(xiàng)公式寫出倒數(shù)第二項(xiàng)，由它等于112求出【詳解】（1）展開式各項(xiàng)系數(shù)為，由題意，即，解得，這三項(xiàng)第5、6、7項(xiàng)（2）倒數(shù)第二項(xiàng)為，112，即，或【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查組合數(shù)公式的計(jì)算，題中難點(diǎn)有兩個(gè)，一個(gè)是把組合數(shù)用階乘表示出來后求解較方便，一個(gè)是解方程時(shí)要先取以2為底的對(duì)數(shù)后才能求解17.如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長(zhǎng)為20cm的正方形，高為30cm，內(nèi)有20cm深的溶液現(xiàn)將此容器傾斜一定角度（圖），且傾斜時(shí)底面的一條棱始終在桌面上（圖、均為容器的縱截面）（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，角的最大值是多少？（2）現(xiàn)需要倒出不少于的溶液，當(dāng)時(shí)，能實(shí)現(xiàn)要求嗎？請(qǐng)說明理由【答案】（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，的最大值是45（2）不能實(shí)現(xiàn)要求，詳見解析【解析】【分析】（1）當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過點(diǎn)b時(shí)，容器內(nèi)溶液恰好不會(huì)溢出，此時(shí)最大（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)剩余的液面為，比較與60的大小后發(fā)現(xiàn)在上，計(jì)算此時(shí)倒出的液體體積，比小，從而得出結(jié)論【詳解】（1）如圖，當(dāng)傾斜至上液面經(jīng)過點(diǎn)b時(shí)，容器內(nèi)溶液恰好不會(huì)溢出，此時(shí)最大解法一：此時(shí)，梯形的面積等于，因?yàn)?，所以?即，解得，所以，要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，的最大值是45解法二：此時(shí)，的面積等于圖中沒有液體部分的面積，即，因?yàn)?，所以，即，解得，所以，要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會(huì)溢出，的最大值是45（2）如圖，當(dāng)時(shí)，設(shè)上液面為，因?yàn)?，所以點(diǎn)f在線段上，此時(shí)，,剩余溶液的體積為，由題意，原來溶液的體積為，因?yàn)?，所以倒出的溶液不滿所以，要倒出不少于的溶液，當(dāng)時(shí)，不能實(shí)現(xiàn)要求【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定傾斜后容器內(nèi)的溶液的液面位置，然后才能計(jì)算解決問題18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析； （2）.【解析】【分析】（1）證明，再證明平面，即可證明；（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，再求平面以及平面的法向量，再求兩個(gè)平面法向量夾角的余弦值，結(jié)合圖像即可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，.因?yàn)樗倪呅问橇庑吻遥瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫妫?，又，所以平面，則.因?yàn)椋? （2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（其中為與的交點(diǎn)），如圖所示，則，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得.所以 ，由圖可知二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理能力.四、附加題（10+10，一共20分）19.在六條棱長(zhǎng)分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論【答案】；證明見解析【解析】【分析】根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（a）3,3；（b）5,5；（c）4，5；（d）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長(zhǎng)為2的棱為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（i）（a）與（b），（ii）（a）與（c）；（iii）（b）與（c），于是問題轉(zhuǎn)化為對(duì)棱長(zhǎng)分別為（i）（ii）（iii）的四面體來計(jì)算體積的最大值（或估計(jì)）.【詳解】由三角形兩邊之差小于第三邊這個(gè)性質(zhì)，按題設(shè)數(shù)據(jù)，所有一邊是2的三角形其余兩邊只可能是（a）3,3；（b）5,5；（c）4，5；（d）3,4，從而題設(shè)四面體中，以棱長(zhǎng)為2為公共邊的兩個(gè)面的其余兩邊只可能是下列三種情形：（i）（a）與（b），（ii）（a）與（c）；（iii）（b）與（c）.對(duì)情形（i）（a）與（b），四邊形沿ab折疊后使，則由得，即是四面體以為底面的高，體積為；對(duì)情形（ii）（a）與（c）四邊形沿ab折疊后使，有兩種情形，它們體積相等，記為，為鈍角，與平面斜交，；對(duì)情形（iii），（b）與（c），這樣的四面體也有兩個(gè)，體積也相等，記為，.最大體積為.【點(diǎn)睛】本題考查四面體的體積，解題關(guān)鍵是找到以棱