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三垂線定理教案 科技工程部數(shù)學(xué)組:柯群英一、教材分析:1、本節(jié)課在教材中的地位和作用:“三垂線定理”是立體幾何中的重要定理,它是在研究了空間直線和平面垂直關(guān)系的基礎(chǔ)上研究空間兩條直線垂直關(guān)系的一個重要定理。它既是線面垂直關(guān)系的一個應(yīng)用,又為以后學(xué)習(xí)面面垂直,研究空間距離、空間角、多面體與旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ),同時本節(jié)課對培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力有重要意義。本節(jié)課的主要內(nèi)容是三垂線定理的引出、證明和初步應(yīng)用。教學(xué)時對教材的知識點安排進行了調(diào)整,把正射影部分的內(nèi)容提前講解,逆定理部分的內(nèi)容安排到下一課時,這樣以便于突出重點。本節(jié)課對定理的引出改變了教材中直接給出定理的做法,通過一道練習(xí)題的結(jié)論引出三垂線定理的內(nèi)容這樣,學(xué)生感到自然,容易接受,例題有所增加,處理方式也有適當(dāng)改變。2、教學(xué)重點、難點:重點:三垂線定理的理解和應(yīng)用。難點:變換位置下的三垂線定理的應(yīng)用。三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理,它在立體幾何中占有重要地位,為后續(xù)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ),因此確定三垂線定理是本節(jié)課的重點。學(xué)生往往習(xí)慣于在水平平面內(nèi)運用三垂線定理,對變換位置下應(yīng)用定理有一定困難,缺乏學(xué)習(xí)的靈活性,因此變換位置下的三垂線定理的應(yīng)用是本節(jié)課的難點。二、學(xué)生分析:立體幾何本身是一門比較抽象的學(xué)科,要求解題過程要嚴(yán)謹(jǐn),而我們的學(xué)生基礎(chǔ)較薄弱,缺乏空間想象能力,不習(xí)慣做證明題,因此學(xué)習(xí)起來有一定困難。學(xué)生的學(xué)是教學(xué)的主要方面,學(xué)是中心,學(xué)會是目的,因此在教學(xué)中要不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。三、教學(xué)目標(biāo):根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)課的特點和學(xué)生對空間圖形的認知特點,本節(jié)課的教學(xué)目的確定如下:知識目標(biāo):理解并掌握三垂線定理及其證明,準(zhǔn)確把握幾個垂直關(guān)系的實質(zhì),初步學(xué)會應(yīng)用三垂線定理解決相關(guān)問題。能力目標(biāo):通過對三垂線定理的探索過程,進一步滲透立體幾何證明中的轉(zhuǎn)化思想,具體體現(xiàn)在線線垂直與線面垂直的辨證關(guān)系上:線線 判定 線面 性質(zhì) 線線情感目標(biāo):通過數(shù)學(xué)嚴(yán)密的邏輯推理教學(xué),使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,體會數(shù)學(xué)的美。四、設(shè)計理念: 本節(jié)課的主要內(nèi)容是三垂線定理的引出、證明和初步應(yīng)用。教學(xué)時對教材的知識點安排進行了調(diào)整,把正射影部分的內(nèi)容提前講解,逆定理部分的內(nèi)容安排到下一課時,這樣以便于突出重點。本節(jié)課對定理的引出改變了教材中直接給出定理的做法,通過一道練習(xí)題的結(jié)論引出三垂線定理的內(nèi)容這樣,學(xué)生感到自然,容易接受,例題有所增加,處理方式也有適當(dāng)改變。五、教具學(xué)具準(zhǔn)備:本節(jié)課內(nèi)容較多,又涉及到很多的空間圖形,所以采用多媒體課件來教學(xué)有助于降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度,提高課堂學(xué)習(xí)效率, 還準(zhǔn)備一把三角尺,建立三垂線定理中幾條直線的模型,幫助理解三垂線定理的實質(zhì)。六、教學(xué)過程:(一) 復(fù)習(xí)提問:1、 線線 判定 線面 性質(zhì) 線線2、何為平面的斜線、何為斜線在平面上的射影?(二)新課講授:練習(xí):已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線,AO是PO在平面上的射影. a,aAO。 AaaOP求證aPO三垂線定理:如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,則它就與這條斜線垂直。(垂影則垂斜)分析定理中的3個垂直關(guān)系: 1、PAa (線面垂直)2、a AO (線影垂直)3、a PO (線斜垂直) 分析定理中的4條直線: PA垂線 PO斜線 AO射影 a平面內(nèi)的直線定理應(yīng)用:PABCDO例1、已知P是平面ABC外一點,PA平面ABC,ACBC,求證:PCBCPABC (例1) (練習(xí)1)(選擇這道例題的主要目的是直接應(yīng)用定理)練習(xí)1:已知:PA正方體ABCD所在平面,O為對角線BD的中點。求證:POBD, PCBDPAPCABPCPMM練習(xí)2:已知: PA平面PBC ,M是BC的中點 ,且PB=PC 求證: BC AM(練習(xí)題設(shè)計意圖:深化對定理的理解)ABCDACDB例2、在正方體AC中,求證 :ACBD , ACBC (例題設(shè)計意圖:培養(yǎng)學(xué)生在變換位置的形式下應(yīng)用三垂線定理的能力)小結(jié)運用三垂線定理證明的一般步驟: 一定(定平面)二找( 找平面的垂線、斜線及其射影) 三證(證平面內(nèi)一直線與斜線垂直)( 解題回顧設(shè)計意圖幫助學(xué)生理順解題思路)練習(xí)3:PABCD填空:如圖,ABCD是矩形,PA平面AC,連接PB、PC、PD。 (1)與PA垂直的直線有 ; (2)與PB垂直的直線有 (3)直角三角形有 (練習(xí)題設(shè)計意圖:培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用定理判定線線垂直的綜合推理能力,鞏固所學(xué)知識)(三)課時小結(jié): 本節(jié)主要學(xué)習(xí)了三垂線定理:如果平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直,則它就與這條斜線垂直。即垂影則垂斜。(設(shè)計意圖:強調(diào)重點) (四)作業(yè)布置: P109 1、 P120 5、 (鞏固基礎(chǔ)知識,反饋教學(xué)信息) (五) 板書設(shè)計: 課題:三垂線定理 例1: 多媒體 練習(xí)1(1): 1

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