重積分的應(yīng)用ppt課件

1,柱面坐標(biāo)系,球面坐標(biāo)系,重積分計算的基本方法,累次積分法,2,第六節(jié),一、平面圖形的面積及立體體積,二、曲面的面積,三、物體的重心,四、物體的轉(zhuǎn)動慣量,五、物體的引力,重積分的應(yīng)用,3,解：,所求立體的體積為,4,解：,另解：,1.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn),所求量是,對區(qū)域具有可加性.,分布在有界閉域上的整體量.,2.用重積分解決問題的方法,-元素法,問題：滿足什么條件的量可用重積分解決？,5,元素法的步驟：,把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中.,元素法也可推廣到三重積分上,6,設(shè)曲面S的方程為,曲面S在xoy面上的投影為區(qū),域D，,如圖，,設(shè)小區(qū)域,點(diǎn)(x,y),為S上過點(diǎn),M(x,y,z)的切平面，,以,的邊,界為準(zhǔn)線，,母線平行于z軸的,小柱面，,截曲面S為,為,則有,7,-曲面S的面積元素,8,a,b,9,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,設(shè)曲面的方程為：,曲面面積公式為：,同理可得,曲面面積公式為：,即設(shè)曲面的方程為：,10,解：,曲面方程：,由對稱性知：,11,面積為：,12,二、重心,V上連續(xù).為求得V的重心坐標(biāo),先對V作分割T,物體就可用這n個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系來近似代替.由于,質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)公式為,13,14,的重心坐標(biāo):,15,重心坐標(biāo):,16,例2求密度均勻的上半橢球體的重心.,故得,即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為,17,因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和,故,連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算.,18,得：,19,例3.求半徑為a的均勻半圓薄片對其直徑的轉(zhuǎn)動慣量.,解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量,20,21,22,23,G為引力常數(shù),推廣到空間立體：,設(shè)物體占有空間區(qū)域,物體對位于原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力,利用元素法,其密度函數(shù),24,曲線積分,對弧長的曲線積分,對坐標(biāo)的曲線積分,定義,聯(lián)系,計算,三代一定,二代一定(與方向有關(guān)),25,與路徑無關(guān)的四個等價命題,條件,等價命題,(3)在G內(nèi)，,在單連通區(qū)域G上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的,26,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓-萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系,格林公式,27,第二類曲線積分,28,計算中涉及的有關(guān)公式