計數(shù)問題講義.doc

學生“一對一”個性化輔導講義（2010 - 2011 學年 第二學期）任教科目 數(shù) 學 授課題目 計數(shù)問題年 級 六年級 任課教師 教學部編教研組長簽名：_ 時間：_“一對一”個性化輔導學案授課教師授課對象授課時間2011.4.15授課題目 計數(shù)問題 課 型新課使用教具講義、筆、紙教學目標 1.掌握加法原理和乘法原理2. 熟練運用加法原理和乘法原理解題3. 掌握其他一些計數(shù)問題的解決方法 教學重難點 在運用中加法原理與乘法原理的區(qū)別參考教材 教學內容知識縱橫 計數(shù)問題是數(shù)學競賽中常見的問題。最基本的計數(shù)辦法是把所有要計數(shù)的東西一一列舉出來，如數(shù)籃子里的雞蛋一樣，計數(shù)時只須不重復，也不遺漏就可以了，但是有些問題是不易一一列舉的。例如： 1.某城市電話號碼從7位升至8位，可以增加多少個電話號碼？ 2.法國的郵政編碼用5位數(shù)字，中國的郵政編碼用6位數(shù)字，兩國的郵政編碼各有多少個？ 顯然這里靠一一列舉是難以數(shù)清的，下面我們介紹兩種常用的計算辦法。1.加法原理 問題1 從甲地到乙地，有火車、汽車、輪船三種交通工具，一天中，有火車5班，汽車4班，輪船3班，問一天中從甲地到乙地乘坐這些交通工具，共有幾種不同的走法？ 解：因為每一種走法都可以從甲地到乙地，我們只要把從甲地到乙地的乘火車、汽車、輪船的每一類中的走法相加，共有（種）不同走法。一般地，有下面加法原理 做一件事情，完成它可以有幾類辦法，第一類辦法中有種不同的方法，第二類辦法中有種不同的方法，第n類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事情共有種不同的方法。2. 乘法原理 問題2 由A村去B村有2條路可走，由B村去C村有4條路可走，問從A村經B村去C村，共有多少種不同的走法？ 解： 從A村到C村必須經過B村，即必須分2步：先從A村到B村，再從B村到C村，才能滿足要求。所以把每一步走法相乘，共有（種）不同的走法。一般地，有下面乘法原理 做一件事情，完成它要分n步，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同方法，那么完成這件事情共有種不同的方法。例題講解例1 在所有四位數(shù)中，數(shù)字和是34的數(shù)有多少個？分析 由于四位數(shù)的數(shù)字和不超過，而34比36小2，所以四位數(shù)中至少有二個9，這樣可以把符合條件的數(shù)枚舉出來。舉一反三 三個圓A、B、C在同一條直線上，如圖所示，一只青蛙在這三個圓之間跳來跳去，它先從A開始，跳了4次以后又回到了A，問：它有多少種不同的跳法。CAB例2 自然數(shù)的平方按大小排成： 4 9 16 25 36 49 問：第612個位置的數(shù)字是幾？分析 把平方數(shù)分成一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)等，分別計算他們所占的位置數(shù)。舉一反三 印刷某一本書的頁碼時，所用頁碼的個數(shù)是975個（如23也用2個數(shù)碼，第100頁用3個數(shù)碼），那么這本書應有的頁數(shù)是多少？例3 分子小于6而分母小于60的不可約真分數(shù)有多少個？分析： “不可約真分數(shù)”的意義是：分子小于分母且分子與分母互質，由于分子的取值范圍是從1到5，因此可以分別對分子是1、2、3、4、5的情形逐一考慮，然后利用加法原理求出總個數(shù)。例4 在一次比賽中，每個代表隊要從小學、初一、初二年級各兩名選手中選派3人。規(guī)定小學生至少出1人，初二學生至多派一名。問一個比賽隊按年級的組成方式有多少種？舉一反三 用0、1、2、3、4、5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復數(shù)字且能被5整除的四位數(shù)。例5 在1、2、3、100這100個數(shù)中取出不同的兩數(shù)，要使取出的兩數(shù)相加的結果是3的倍數(shù)，有多少種不同的取法？分析： 兩數(shù)的和是3的倍數(shù)，則這兩個數(shù)除以3的余數(shù)或者都是0，或者一個是1、另一個是2.例6 將化成小數(shù)等于0.5，是有限小數(shù)；化成小數(shù)等于0.0909，是純循環(huán)小數(shù)，簡記為；化成小數(shù)等于0.1666，是混循環(huán)小數(shù)，簡記為?，F(xiàn)在將2004個分數(shù)化成小數(shù)，其中純循環(huán)小數(shù)有多少個？分析 若是純循環(huán)小數(shù)，則p中沒有2也沒有5作為因子。例7 有6個同學要站成一排，其中甲乙兩人必須相鄰，共有多少種站法？ 分析 把甲、乙兩人捆在一起，當作一個人站隊，再考慮甲、乙互換站位，可以利用乘法原理。例8 小于10且分母為36的最簡分數(shù)共有多少個？分析 設滿足題設條件的數(shù)為x，則，其中。R取小于36且與36互質的自然數(shù)1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，共12個。例9 兩條直線相交可得一個交點，在同一平面上6條直線最多可得多少個交點？分析 兩條直線最多一個交點，三條直線可以看成兩條直線的基礎上又增加一條直線，要使交點最多，必須使第三條與前兩條直線都相交，且不能有三線共點的情況出現(xiàn)，可用遞推法求解。舉一反三 一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為四部分，問：五條直線最多分一張平面為多少部分？課后作業(yè)設計1. 把37分拆成若干個不同的質數(shù)之和，有多少種不同的拆法？2.1995的數(shù)字和是1+9+9+5=24.問：小于2000的四位數(shù)中數(shù)字和等于24的數(shù)共有多少個？3. 如圖所示，有6個點9條線段，一只甲蟲從A點出發(fā)，要沿著幾條線段爬到F點。行進中，同一點或同一線段只能經過一次，這只甲蟲最多有多少種不同的走法？4. 從1到10000之間有多少個整數(shù)，它們的各位數(shù)字之和都等于5？5. 在所有的兩位數(shù)中，十位數(shù)字比個位數(shù)字大的兩位數(shù)有多少個？6.