數(shù)學(xué)建模綜合題影院座位設(shè)計(jì)問題

數(shù)學(xué)模型 張峰華 材料學(xué)院 材料成型及控制工程 04 班 20123631 劉澤 材料學(xué)院 材料成型及控制工程 04 班 20123627 楊海鵬 材料學(xué)院 冶金工程 03 班 20123203 精選文庫 1 一 問題重述 影院座位的滿意程度主要取決于視角和仰角 視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊 緣的視線的夾角 越大越好 仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角 太 大使人的頭部過分上仰 引起不適 一般要求仰角不超過 記影院的屏幕高為 0 30h 上邊緣距離地面高為 影院的地板線通常與水平線有一個(gè)傾角 第一排和最后一排H 與屏幕水平距離分別為 觀眾的平均座高為 指眼睛到地面的距離 已知參數(shù) d Dc 1 8 5 1 1 單位 m hH4 5 19dD c 求解以下問題 1 地板線的傾角時(shí) 求最佳座位的所在位置 0 10 2 地板線的傾角一般超過 求使所有觀眾的平均滿意程度最大時(shí)的地板線 0 20 傾角 二 問題的分析 電影院座位的設(shè)計(jì)應(yīng)滿足什么要求 是一個(gè)非常現(xiàn)實(shí)的問題 根據(jù)題意觀眾對(duì)座 位的滿意程度主要取決于觀看時(shí)的視角和仰角 越大越好 而越小越好 最 佳位置就是要在這兩者之間找到一個(gè)契合點(diǎn) 使觀眾對(duì)兩者的綜合滿意程度達(dá)到最大 本文通過對(duì)水平視角和仰角取權(quán)重 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系 從而建立一個(gè)線形 型滿意度函數(shù) 針對(duì)問題一 已知地板線傾角 求最佳座位所在 即將問題轉(zhuǎn)化求綜合滿意度函 數(shù)的最大值 建立離散加權(quán)的函數(shù)模型并利用數(shù)學(xué)軟件運(yùn)算求解 Matlab 針對(duì)問題二 將所有觀眾視為離散的點(diǎn) 要使所有觀眾的平均滿意程度達(dá)到最大 即將問題轉(zhuǎn)化求滿意度函數(shù)平均值的最大值 對(duì)此利用問題一所建立的滿意度函數(shù) 將自變量轉(zhuǎn)化為地板線傾角 在問題二的基礎(chǔ)上對(duì)地板線形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 使觀眾的平均滿意程度可以進(jìn)一 步提高 本文在滿意度呈線性的基礎(chǔ)上來建立模型的 為使模型簡(jiǎn)化 更好地說明問題 文中將作以下假設(shè) 三 模型假設(shè) 1 忽略因視力或其他方面因素影響觀眾的滿意度 2 觀眾對(duì)座位的仰角的滿意程度呈線性 3 觀眾對(duì)座位的水平視角的滿意程度呈線性 4 最后排座位的最高點(diǎn)不超過屏幕的上邊緣 5 相鄰兩排座位間的間距相等 取為 0 8 m 6 對(duì)于同一排座位 觀眾的滿意程度相同 7 所有觀眾的座位等高為平均座高 8 影院的的地板成階梯狀 精選文庫 2 四 符號(hào)說明 水平視角 視高差 即從眼睛到頭頂?shù)呢Q直距離 仰角 S 觀眾對(duì)水平視角為的滿意程度 地板線與水平線的傾角 S 觀眾對(duì)仰角為的滿意程度 d第一排離屏幕水平距離S平均滿意程度 D 最后一排離屏幕水平距離 cc 視角 仰角在綜合滿意度中的權(quán)重 i S h屏幕的高度l相鄰兩排座位間沿地板線方向的間距 H 屏幕上邊緣離地面的高度 五 模型的建立與求解 5 1 問題一問題一 每一個(gè)到影院看電影的觀眾都想坐在最佳位置 而對(duì)座位的滿意程度主要取決于 兩個(gè)因素 水平視角和仰角 且視角是觀眾眼睛到屏幕上下邊緣的視線的夾角 越大越好 仰角是觀眾眼睛到屏幕上邊緣視線與水平線的夾角 太大使人的頭部過分 上仰 引起不適 要求不超過 0 30 5 1 15 1 1 模型模型 的建立 仰角在滿足條件的范圍內(nèi)的建立 仰角在滿足條件的范圍內(nèi) 觀眾滿意度只取決于視角觀眾滿意度只取決于視角 以第一排觀眾的眼睛為原點(diǎn) 建立平面直角坐標(biāo)系 如圖 1 所示 其中 為屏幕 為地板線 為所有的觀眾的眼睛所在的直線 則由圖ABMSOE 可設(shè)視覺線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為 屏幕上下點(diǎn)的坐標(biāo)分別為OEP tan xx c tanxhcH h hH d dD E S tanx B O M N P 屏 幕 地面 地板 視覺線 x c 圖 1 影院座位設(shè)計(jì)的剖面圖 x y 精選文庫 3 的斜率記為 的斜率記為 cHdA chHdB AP AP kBP BP k 由斜率公式得 1 1 tan tan dx cHx kAP tan tan dx chHx kBP 則直線和的斜率與夾角滿足如下關(guān)系 APBP 1 2 tan tan 1 tan 2 chHxcHxdx dxh kk kk APBP APBP 仰角滿足條件 30 0 所以 33 tan 033tan0 dx cHx 1 3 tantan33 33cH x dcH 由公式 1 1 1 2 得到模型為 tan tan arctanmax 2 chHxcHxdx dxh tantan33 33 0 cH x dcH dDx ts 5 1 2 模型模型 的求解的求解 當(dāng)時(shí) 用軟件運(yùn)算求解 程序見附錄 1 得最大視角為 10 Matlab 仰角為 米 即點(diǎn)的坐標(biāo)為為最佳 9522 13 30 7274 1 xP 3046 0 7274 1 位置 離屏幕的水平距離為 米2274 6 7274 1 5 4 5 1 3 模型模型 的建立 離散加權(quán)模型的建立 離散加權(quán)模型 在地板線上的座位可視為是離散的點(diǎn) 設(shè)兩排座位在地板線方向上的前后間距為 查閱相關(guān)資料間距一般取 0 8 米 則在水平方向的間距為 考慮仰角和視角l cosl 對(duì)觀眾的滿意度為主要因素 對(duì)模型 進(jìn)行修正 將座位連續(xù)情況進(jìn)行離散化可以得到 2 1 cos 1 tancos 1 tan tan dlk cHlk dx cHx tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh 2 2 其中 為地板線上的座位的總排數(shù) 且 nk 3 2 1 n191 cos 5 14 l n 一般說來 人們的心理變化是一個(gè)模糊的概念 本文中觀眾對(duì)某個(gè)座位是否滿意 精選文庫 4 的看法就是一個(gè)典型的模糊概念 由模糊數(shù)學(xué)隸屬度的概念和心理學(xué)的相關(guān)知識(shí) 根 據(jù)題意 在假設(shè)條件下 對(duì)于第排座位 建立觀眾對(duì)視角 仰角的滿意度函數(shù)k 如下 1 2 3 minmax min tantan tantan k k S 2 4 minmax min tantan tantan 1 k k S 式中為第排座位上觀眾視角和仰角 表示在給定的情況下最 kk k maxmax 優(yōu)滿意度 表示在給定的情況下最差滿意度 minmin 視角 仰角在綜合滿意度中的權(quán)重分別為 建立第排座位綜合滿意 k S cc k 度函數(shù)如下 2 5 cc ScSc S kk k 根據(jù)地板線傾角 通過計(jì)算可以得出 10 8975 154210 5 主觀給定權(quán)重 根據(jù)模型的建立 可以得出 9149 400451 4 4 0 6 0 CC 2 6 1357 0tan5025 0 tan1596 3 4 06 0 4 06 0 kk kkkk k SS cc ScSc S 將式 2 1 和式 2 2 帶入公式 2 6 得到優(yōu)化模型為 1357 0 cos 1 tancos 1 5025 0 tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 1596 3 max 2 dlk cHlk chHlkcHlkdlk dlkh Sk 19 3 2 1 cos 1 tantan33 33 0 k lkx cH x dcH dDx ts 5 1 4 模型模型 的求解的求解 用軟件運(yùn)算求解 程序見附錄 2 可得 米 排 最大滿Matlab3635 2 x4 k 意度為 最大視角為 仰角為 最佳位置離屏幕的6176 0 4 S 1282 13 9084 26 水平距離為 米8635 6 3635 2 5 4 5 2 問題二問題二 5 2 1 模型模型 的建立的建立 要使所有觀眾的平均滿意程度達(dá)到最大 即需求的最大值 由模型 可知 第S 排觀眾的滿意度為 則觀眾平均滿意程度函數(shù)為 平均滿意度的kS nSS n k k 1 S 大小由每一排的滿意度所決定 而又是由仰角和視角所決定 所以 要使觀眾的 滿意程度達(dá)到最大 取決于兩個(gè)方面 1 仰角不超過條件的座位所占的比例越大 精選文庫 5 觀眾的平均滿意程度就越大 2 所有座位的視角的均值越大 觀眾的平均滿意程度 就越大 由式 1 1 可知 地板線傾角的改變將同時(shí)使所有座位的仰角和視角的大小發(fā)生 改變 且在某一座位 即取某一定值 在逐漸增大的過程中仰角逐漸減小 視角逐x 漸增大 見圖 2 所示 仰角不超過條件的區(qū)域擴(kuò)大 即地板線傾角越大 仰角不超過 條件的座位所占的比例越大 02468101214161820 6 8 6 85 6 9 6 95 7 7 05 7 1 7 15 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 02468101214161820 0 2 4 6 8 10 12 14 16 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 化 圖 2 視角和仰角隨變化的變化曲線 第一排觀眾的仰角為 不滿足仰角的條件 由模型 可知第排座位 9149 40 k 所對(duì)應(yīng)的仰角的正切值 nk dlk cHlk k 3 2 1 cos 1 tancos 1 tan 其中為地板線上的座位的總排數(shù) 隨著地板線傾角的變化 n1 cos 5 14 l n 相鄰兩排座位間的間距 不變 但相鄰兩排座位間的水平間距會(huì)發(fā)生改變 由于地板線l 傾角不超過 所以 并限制最后一排觀眾的視高不要超過屏幕的上邊 202019 n 緣 即 0543 15 由模型 可求出第排座位所對(duì)應(yīng)的水平視角的正切值為 k tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 tan 2 chHlkcHlkdlk dlkh 5 2 2 模型模型 的求解的求解 讓地板線傾角在內(nèi)逐一取值 步長(zhǎng)為 讓在內(nèi)逐一取值 步 20 0 01 0 x 5 14 0 長(zhǎng)為 0 01 對(duì)一個(gè)取定的 判斷所在的位置仰角是否超過 若超過 則該座位的綜合 x 30 滿意度必須同時(shí)考慮仰角和視角的取值 否則 只需要考慮視角的取值 把所 有座位的綜合滿意度相加 并求出觀眾的平均綜合滿意度 判斷此時(shí)的平均滿意度是 否最大 最后一排的高度是否超過屏幕的上邊緣 并記下最大值時(shí)的取值 當(dāng)取地板線傾角為變化時(shí) 通過計(jì)算可以得出 8975 151143 5 精選文庫 6 9149 400 由模型 的 2 5 式得 4 06 0 4 06 0 kkkk k SS cc ScSc S 3 1 所以 將式 2 1 和式 2 2 帶入公式 3 1 得到平均滿意度的優(yōu)化模型為 n S S n k k 1 max 取整數(shù)其中nnk lkx dDx n ts 2 1 cos 1 0 0543 150 2019 用軟件計(jì)算 程序見附錄 3 可得 最大平均滿意度為 對(duì)應(yīng)地Matlab6572 0 S 板線的傾角為 0543 15 5 3 在問題二的基礎(chǔ)上對(duì)地板線形狀進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 使觀眾的平均滿意程度可以進(jìn)一步 提高 5 3 1 模型的建立與求解模型的建立與求解 由上兩問可知 觀眾的滿意程度與仰角 視角和地板線傾角都有關(guān) 而每一座位到 屏幕的水平距離基本固定不變 考慮觀眾的滿意度 就要考慮仰角 視角隨著的變 化情況 引理引理 地板線不管設(shè)計(jì)成什么形狀 各排的間距不變 區(qū)別在于各排的高度差如何變化 若豎直方向上的兩定點(diǎn) 在與它們相距一定水平距離的豎直方向上有一動(dòng)點(diǎn) 當(dāng)該動(dòng) 點(diǎn)位于兩定點(diǎn)的垂直平分線上時(shí) 動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)形成的視角最大 動(dòng)點(diǎn)距兩定點(diǎn)的垂 直平分線越近 動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)形成的視角越大 要使每一個(gè)座位所對(duì)應(yīng)的視角取最大值 對(duì)應(yīng)的 y 值應(yīng)在直線上 設(shè)計(jì)地板線應(yīng)考 慮以下幾個(gè)方面 1 第排座位所在的位置應(yīng)高于第排座位所在的高度 2 前k1 k 一排的觀眾不會(huì)擋住后一排觀眾的視線 3 視角盡可能大 即眼睛的位置應(yīng)盡可能分 布在垂直平分線的附近 4 仰角的座位所占的比例盡可能大 假設(shè)每排座位所在的點(diǎn)構(gòu)成一條折線 任意相鄰兩排座位水平間距為 第排座lk 位地板線傾角為 第排座位與第排座位地板線傾角變化為 從而可得 k k1 k 故 1 0k k 1 1tan 1 tan 1 tan 11 dlk cHkl dlk cHlk n k n k k k 同理可得 精選文庫 7 1tan cos 1tan cos cos 1 cos 1 tancos 1 tancos 1 cos 1 cos 1 tan 11 2 2 chHkllcHklldlk dlkh chHlkcHlkdlk dlkh n k n k 觀眾平均滿意程度函數(shù)為 nSS n k k 1 可算出地板線上的座位的總排數(shù)為 則可計(jì)算得當(dāng)時(shí) 1 cos 5 14 l n 5 2 6692 0 max S 但此時(shí) 根據(jù)一般習(xí)慣 要求地板線傾角 但此時(shí) 455 2 119 20 求得最后一排座位的地板線傾角為 這大大超過觀眾的心理范圍 因此文中將 45 對(duì)此進(jìn)一步的修改 當(dāng)時(shí) 令 當(dāng)時(shí) 即將問題轉(zhuǎn) 20 1 i 20 1 i 20 化為問題二中所建立的模型 由于 則地板線傾角增加到第 8 排到達(dá) 然 5 2 20 后保持不變 對(duì)于這兩種情況 分別代入不同的函數(shù) 利用數(shù)學(xué)軟件求得 滿意度函數(shù)matlab 的最大值 6572 0 6643 0 max S 可以通過利用軟件來描點(diǎn) 如圖 3 所示 Matlab 024681012141618 0 0 5 1 1 5 2 2 5 圖 3 從上圖可以看出 報(bào)告廳座位的前 排呈折線狀 以遞增 當(dāng)傾角增加到8 5 2 時(shí)保持不變 且第一排應(yīng)抬高米 20 2 1 六 模型的評(píng)價(jià)與推廣 6 16 1 模型的評(píng)價(jià)模型的評(píng)價(jià) 6 1 16 1 1 模型的優(yōu)點(diǎn)模型的優(yōu)點(diǎn) 模型抓住影響觀眾滿意程度的主要因素 仰角和視角 合理構(gòu)造滿意度函數(shù) 過程 清晰明了 結(jié)果科學(xué)合理 模型具有較好的通用性 實(shí)用性強(qiáng) 對(duì)現(xiàn)實(shí)有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義 6 1 26 1 2 模型的不足以及需要改進(jìn)的地方模型的不足以及需要改進(jìn)的地方 模型主觀假設(shè)同一排座位觀眾的滿意程度相同 實(shí)際情況并非如此 這就使得我們 的模型對(duì)解決實(shí)際問題時(shí)有一定的局限性 模型建立的過程中 以觀眾眼睛所在的點(diǎn)為坐高點(diǎn) 沒有考慮前排觀眾額部對(duì)后排 精選文庫 8 觀眾的遮擋 需要進(jìn)一步的考慮在內(nèi) 6 26 2 模型的推廣模型的推廣 本文中所建立模型的方法和思想對(duì)其他類似的問題也很適用 所建立的模型可用于 大型場(chǎng)所的座位的設(shè)計(jì)與安排 以及彩民對(duì)中獎(jiǎng)率的滿意程度等問題上 同時(shí)對(duì)于已 知剖面來分析物體的形狀這一類型問題的處理有很好的參考價(jià)值 例如 運(yùn)用該模型去 解決會(huì)議廳 報(bào)告廳的布局 燈塔高度的設(shè)計(jì)等相關(guān)的問題 因此具有很強(qiáng)的實(shí)用性和 推廣性 八 附 錄 附錄一 clear clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 l 0 8 pi 3 1415926 f 10 for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi A d x h d x 2 H c T x H h c T x if f A f A end end end for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi A d x h d x 2 H c T x H h c T x if f A fprintf Q is d n Q fprintf k is d n l end end end f 附錄二 clear 精選文庫 9 clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 l 0 8 pi 3 1415926 t 10 for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi B H c T x d x if t B t B end end end for Q 0 0 1 20 for l 1 floor 14 5 cos Q 180 pi 1 x l 1 cos Q 180 pi T tan Q 180 pi B H c T x d x if t B fprintf Q is d n Q fprintf k is d n l end end end t 附錄三 clear clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 Q 0 1763 tan 10 180 pi s 0 for x 2 3635 3 1514 3 9392 4 7271 5 5149 6 3028 7 0906 7 8785 8 6663 9 4542 10 2420 11 0298 11 8177 12 6055 13 3934 14 1812 精選文庫 10 t 3 1596 h x d x d 2 x Q H c x Q H h c 0 5025 x Q H c x d 0 1357 if s t s t end end for x 2 3635 3 1514 3 9392 4 7271 5 5149 6 3028 7 0906 7 8785 8 6663 9 4542 10 2420 11 0298 11 8177 12 6055 13 3934 14 1812 t 3 1596 h x d x d 2 x Q H c x Q H h c 0 5025 x Q H c x d 0 1357 if s t fprintf nX is d x fprintf nk is d x 0 8 cos 10 180 pi 1 fprintf na is d atan h x d x d 2 x Q H c x Q H h c pi 180 fprintf nb is d n atan x Q H c x d pi 180 end end s 附錄四 clear clc H 5 h 1 8 D 19 d 4 5 c 1 1 l