功率譜密度和白噪聲過程

第三次作業(yè)情況 28班 李春月 周元 曲拓 周子晨 施一益 王虎森 王超高工班 蔡文龍 尚文軒 存在問題 積分運算 積分限 三角函數(shù)公式各態(tài)歷經(jīng)性 均值與自相關 步驟太少 作業(yè)雷同 26 27 平穩(wěn)過程的功率譜密度白噪聲過程 主講人 張有光電話 82317226辦公室 新主樓F1018 第五講 主要內(nèi)容 一 平穩(wěn)過程的功率譜密度二 譜密度與自相關函數(shù)三 平穩(wěn)過程的互譜密度四 白噪聲過程 一 平穩(wěn)過程的功率譜密度 1 能量型信號2 信號的頻譜3 信號的能譜4 功率型信號5 平均功率的譜表示和功率譜密度6 平穩(wěn)過程的功率譜密度 1 能量型信號 我們稱有限能量的信號為能量型信號 即 其中 s t 為信號 W為總能量 2 信號的頻譜 在的情況下 能量型信號s t 的傅立葉變換存在 即 我們稱F 為s t 的頻譜 3 信號的能譜密度 能量型信號的能譜E 為 由巴塞伐爾等式 可得到 能量守恒 4 功率型信號 能量無限 平均功率有限的信號稱為功率型信號 即 Ps為信號的平均功率 5 平均功率的譜表示 功率型信號不滿足絕對可積條件 為了能夠利用傅立葉變化給出平均功率的譜表示式 構(gòu)造截尾函數(shù) 平均功率的譜表示 sT t 能夠滿足絕對可積條件 sT t 的頻域結(jié)構(gòu) sT t 的平均功率 平均功率的譜表示 由巴塞伐爾等式 可得到 兩邊同除以2T 并由截尾函數(shù)的定義 得到 平均功率的譜表示 令T趨于無窮 功率型信號s t 在 上的平均功率可表示為 功率型信號的平均功率譜密度 功率譜密度 功率型信號的平均功率譜密度 簡稱功率譜密度 定義為 6 平穩(wěn)過程的功率譜密度 平穩(wěn)隨機過程的樣本函數(shù)是功率型的 我們定義 為平穩(wěn)過程X t 的平均功率 6 平穩(wěn)過程的功率譜密度 由于平穩(wěn)隨機過程的均方值是常數(shù) 平穩(wěn)過程的功率譜密度 定義 為平穩(wěn)隨機過程X t 的功率譜密度 這樣 Px又可以寫成 平均功率譜的表達式 平穩(wěn)過程的功率譜密度 為雙邊功率譜密度 但在實際中 負頻率不存在 故引入單邊譜密度 二 譜密度與自相關函數(shù) 1 功率譜密度與自相關函數(shù)的關系 維納 辛欽公式2 功率譜密度兩種定義的等價條件3 功率譜密度的性質(zhì) 1 譜密度與自相關函數(shù)的關系 平穩(wěn)過程的功率譜密度是它的自相關函數(shù)的傅立葉變換 譜密度與自相關函數(shù)的關系 由傅立葉逆變換公式 有上述兩式統(tǒng)稱為維納 辛欽公式 返回 注釋 對比 信號與系統(tǒng) 中維納辛欽公式 2 功率譜密度兩種定義的等價條件 對于第一種定義 將其展開 功率譜密度兩種定義的等價條件 通過變量置換 最后得到 只要則上式中第二項為零 故此時 也就是說 平穩(wěn)隨機過程在自相關函數(shù)絕對可積的情況下 維納 辛欽公式成立 此時功率譜密度的兩種定義等價 功率譜密度兩種定義的等價條件 功率譜的意義 3 功率譜密度的性質(zhì) 若過程X t 是實平穩(wěn)的 則自相關函數(shù)是實偶函數(shù) 因此功率譜密度也是實偶函數(shù) 即 功率譜密度的性質(zhì) 由于R 和S 都是偶數(shù) 于是維納 辛欽公式還可以寫成 例2 4 1 設隨機相位余波的功率譜密度 其是在區(qū)間內(nèi)均勻分布 解 例2 4 2 隨機電報信號自相關函數(shù)求功率譜密度 例2 4 3 已知功率譜 應用留數(shù)定理 留數(shù)和 例2 4 4 若平穩(wěn)隨機過程功率譜 表2 1 三 互譜密度 1 互譜密度的定義2 互譜密度的維納 辛欽公式形式定義3 互譜密度的性質(zhì) 1 互譜密度的定義 定義設隨機過程X t 和Y t 是聯(lián)合平穩(wěn)的 則定義互譜密度為 2 互譜密度的維納 辛欽公式 隨機過程X t 和Y t 的互譜密度是它們的互相關函數(shù)RXY 的傅立葉變換 2 互譜密度的維納 辛欽公式 當若X t 是一個二端電壓 Y t 是流經(jīng)該器件的電流 則上式左邊就是消耗的功率 兩個正交隨機過程性質(zhì) 隨機過程X t 和Y t 正交 此時有 3 互譜密度的性質(zhì) 1 2 3 奇函數(shù)偶函數(shù) 先證明 令 從定義和施瓦茨不等式 四 白噪聲過程 1 白噪聲過程的定義2 白噪聲過程的自相關函數(shù)3 白噪聲的相關系數(shù) 1 白噪聲過程的定義 若一個均值為零的平穩(wěn)過程具有恒定功率譜密度 則稱W t 為白噪聲過程 其中N0表示單邊功率譜密度 相當于 信號與系統(tǒng) 中的沖擊響應函數(shù) 2 白噪聲過程的自相關函數(shù) 根據(jù)維納 辛欽公式 白噪聲過程的自相關函數(shù) 2 白噪聲過程的自相關函數(shù) 白噪聲的自相關函數(shù)和功率譜密度 3 白噪聲過程的相關系數(shù) 白噪聲的相關系數(shù) 可見白噪聲在任意兩個相鄰時刻的取值都不相關 還句話說 白噪聲隨時間的起伏變化較快 頻域來說頻譜很寬 注釋 白噪聲平均功率 白噪聲是一種理想化的數(shù)學模型 在物理上不可實現(xiàn) 因為按照白噪聲的定義它的平均功率是無限大 由于白噪聲數(shù)學表述上的簡潔性 是很多物理現(xiàn)象的一種近似 如電子管中的散彈噪聲 通信傳播中的信道干擾 顯然白噪聲是各態(tài)歷經(jīng)過程 它可以看成是大數(shù)定律中隨機序列推廣到連續(xù)時間的情形 4 非白噪聲 非白噪聲成為有色噪聲 或相關噪聲 其功率譜密度 其功率譜密度不再是均勻的 而是頻率 的函數(shù) 5 矢量白噪聲 定義