瑪麗蓮問題趣解.doc

瑪麗蓮問題(Monty Hall problem)問題：你參加電視臺的一個(gè)抽獎節(jié)目。臺上有三個(gè)門，一個(gè)后邊有汽車，其余后邊是山羊。主持人讓你任意選擇其一。然后他打開其余兩個(gè)門中的一個(gè)，你看到是山羊。這時(shí)，他給你機(jī)會讓你可以重選，也就是你可以換選另一個(gè)剩下的門。那么，你換不換？ 這道題目的標(biāo)準(zhǔn)答案是換選二號門。（一）條件概率：全概率和貝葉斯公式解游戲開始，設(shè)P(X)為A、B、C三道門后面有車的概率，則P(A)=P(B)=P(C)=1/3假定：游戲者任選了一道門A，而主持人（HOST）打開一道后面是羊的門，事實(shí)上有兩種情況。1 主持人了解所有門后面的東東，他一定要打開一扇“羊”門如果車在A門后面，主持人有B、C兩種選擇，打開C門（“羊”門）的概率為P(Host opens C|A) = 1/2如果車在B門后面，主持人沒有選擇，只能打開C門P(Host opens C|B) = 1如果車在C門后面，主持人一樣沒得選擇，絕對不能開C門P(Host opens C|C) = 0所以，主持人打開C門的概率為P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)= 1/6 + 1/3+ 0 = 1/2根據(jù)貝葉斯公式，在主持人打開C門的條件下，A、B兩門后面是車的概率分別為P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)= (1/6) / (1/2)= 1/3P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)= (1/3) / (1/2)= 2/3這就是為什么要換二號門的原因。2 主持人和游戲者一樣蒙在鼓里，他是碰巧打開一扇“羊”門，那么如果車在A門后面，主持人有B、C兩種選擇，打開C門的概率為P(Host opens C|A) = 1/2如果車在B門后面，主持人一樣有B、C兩種選擇，打開C門的概率還是P(Host opens C|B) = 1/2如果車在C門后面，主持人還是有B、C兩種選擇，只是打開C門不可能看到羊P(Host opens C|C) = 0所以，主持人打開C門見到羊的概率為P(Host opens C) = P(A)*P(H.o. C|A) + P(B)*P(H.o. C|B) + P(C)*P(H.o. C|C)= 1/6 + 1/6+ 0 = 1/3根據(jù)貝葉斯公式，在主持人打開C門見到羊的條件下，A、B兩門后面是車的概率分別為P(A|Host opens C) = P(A)*P(Host opens C|A) / P(Host opens C)= (1/6) / (1/3)= 1/2P(B|Host opens C) = P(B)*P(Host opens C|B) / P(Host opens C)= (1/6) / (1/3)= 1/2在這種情況下，用一個(gè)簡單的條件概率式P(A|C.sheep)一樣可以得出1/2的結(jié)果。這就是“不換”的原因。遺憾的是，從游戲的設(shè)置來看，主持人不知情的可能性很小。（二） 另一種思路，瑪麗蓮問題的拓展在三道門的瑪麗蓮問題中，對游戲者的策略進(jìn)行觀察，他要贏得汽車，可以通過如下途徑：1第一次選錯，主持人打開一道門之后換選第一次選錯的概率為2/3，然后，換選選對的概率為100%，就是說，第一次選擇之后再換選，得獎得概率為2/3*100%=2/32第一次選對，主持人打開一道門之后不換。第一次選對的概率為1/3，不換則得獎率100%。1/3*100%=1/3就是“不換”策略的勝算。這個(gè)方法可以推廣到三道門以上的瑪麗蓮問題拓展，譬如，在四道門的游戲里，主持人依次打開兩扇“羊門”，每一次游戲者都有權(quán)選擇“換”或者“不換”。游戲共有三個(gè)步驟，步驟一是“初選”，在步驟二和步驟三，分別有“不換不換”、“不換換”、“換不換”和“換換”四種策略組合，中獎可能分別為：1/43/4(3/4)*(1/2)=3/81/4（換兩次之后換回初選的得獎率）+(3/4)*(1/2)(換兩次之后不換回初選)=5/8可見