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分式方程的增根與無(wú)解的區(qū)別分式方程的增根與無(wú)解是分式方程中常見(jiàn)的兩個(gè)概念,同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)分式方程后,常常會(huì)對(duì)這兩個(gè)概念混淆不清,認(rèn)為分式方程無(wú)解和分式方程有增根是同一回事,事實(shí)上并非如此分式方程有增根,指的是解分式方程時(shí),在把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的變形過(guò)程中,方程的兩邊都乘了一個(gè)可能使分母為零的整式,從而擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍而產(chǎn)生的未知數(shù)的值;而分式方程無(wú)解則是指不論未知數(shù)取何值,都不能使方程兩邊的值相等它包含兩種情形:(一)原方程化去分母后的整式方程無(wú)解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但這個(gè)解卻使原方程的分母為0,它是原方程的增根,從而原方程無(wú)解現(xiàn)舉例說(shuō)明如下:例1 解方程 解:方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2)解這個(gè)方程,得x=2經(jīng)檢驗(yàn):當(dāng)x=2時(shí),原方程無(wú)意義,所以x=是原方程的增根所以原方程無(wú)解【說(shuō)明】顯然,方程中未知數(shù)x的取值范圍是x2且x-2而在去分母化為方程后,此時(shí)未知數(shù)x的取值范圍擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)所以當(dāng)求得的x值恰好使最簡(jiǎn)公分母為零時(shí),x的值就是增根本題中方程的解是x2,恰好使公分母為零,所以x2是原方程的增根,原方程無(wú)解例2 解方程解:去分母后化為x13x2(2x)整理得0x8因?yàn)榇朔匠虩o(wú)解,所以原分式方程無(wú)解【說(shuō)明】此方程化為整式方程后,本身就無(wú)解,當(dāng)然原分式方程肯定就無(wú)解了由此可見(jiàn),分式方程無(wú)解不一定就是產(chǎn)生增根例3(2007湖北荊門)若方程=無(wú)解,則m=解:原方程可化為=方程兩邊都乘以x2,得x3=m解這個(gè)方程,得x=3m因?yàn)樵匠虩o(wú)解,所以這個(gè)解應(yīng)是原方程的增根即x=2,所以2=3m,解得m=1故當(dāng)m=1時(shí),原方程無(wú)解【說(shuō)明】因?yàn)橥瑢W(xué)們目前所學(xué)的是能化為一元一次方程的分式方程,而一元一次方程只有一個(gè)根,所以如果這個(gè)根是原方程的增根,那么原方程無(wú)解但是同學(xué)們并不能因此認(rèn)為有增根的分式方程一定無(wú)解,隨著以后所學(xué)知識(shí)的加深,同學(xué)們便會(huì)明白其中的道理,此處不再舉例例4當(dāng)a為何值時(shí),關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根?解:方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得2(x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 若原分式方程有增根,則x2或2是方程的根把x2或2代入方程中,解得,a4或6【說(shuō)明】做此類題首先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,然后找出使公分母為零的未知數(shù)的值即為增根,最后將增根代入轉(zhuǎn)化得到的整式方程中,求出原方程中所含字母的值若將此題“會(huì)產(chǎn)生增根”改為“無(wú)解”,即:當(dāng)a為何值時(shí),關(guān)于x的方程無(wú)解?此時(shí)還要考慮轉(zhuǎn)化后的整式方程(a1)x10本身無(wú)解的情況,解法如下:解:方程兩邊都乘以(x+2)(x-2),得2(x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 若原方程無(wú)解,則有兩種情形:(1)當(dāng)a10(即a1)時(shí),方程為0x10,此方程無(wú)解,所以原方程無(wú)解。(2)如果方程的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程無(wú)解原方程若有增根,增根為x2或2,把x2或2代入方程中,求出a4或6綜上所述,a1或a一或a6時(shí)
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