復(fù)變函數(shù)第四版(第三章).ppt

Home 目錄 3 2柯西 古薩基本定理 3 3柯西積分公式 3 4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 3 1復(fù)積分的概念 第3章復(fù)變函數(shù)的積分 3 1復(fù)積分的概念 1復(fù)變函數(shù)的積分定義 定義 設(shè)函數(shù)w f z 定義在區(qū)域D內(nèi) C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線 把曲線C任意分成n個(gè)弧段 設(shè)分點(diǎn)為 2復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件 復(fù)積分的計(jì)算方法 一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分 1線性性 3復(fù)積分的性質(zhì) 例題1 2 C 左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針?lè)较虻膯挝话雸A周 解 1 2 參數(shù)方程為 可見積分與路徑有關(guān) 例題2 解 例如 例題3 解 可見 積分僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān) 而與路徑無(wú)關(guān) 例題4 證明 定理1 Cauchy Goursat 如果函數(shù)f z 在單連通域D內(nèi)處處解析 則它在D內(nèi)任何一條封閉曲線C的積分為零 注1 定理中的曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D 3 2柯西 古薩基本定理 注2 如果曲線C是D的邊界 函數(shù)f z 在D內(nèi)與C上解析 即在閉區(qū)域D C上解析 甚至f z 在D內(nèi)解析 在閉區(qū)域D C上連續(xù) 則f z 在邊界上的積分仍然有 推論 與路徑無(wú)關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān) 如果函數(shù)f z 在單連通域D內(nèi)處處解析 C屬于D 柯西 古薩基本定理還可推廣到多連通域 假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線 C1在C內(nèi)部 設(shè)函數(shù)f z 在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析 在邊界上連續(xù) 則 定理2 復(fù)合閉路定理 證明 取 這說(shuō)明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值 閉路變形原理 推論 復(fù)合閉路定理 互不包含且互不相交 所圍成的多連通區(qū)域 例題1 C如圖所示 解 存在f z 的解析單連通域D包含曲線C 故積分與路徑無(wú)關(guān) 僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān) 或 現(xiàn)設(shè)z it t從 3變化到1 例題2求 C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線 解 現(xiàn)分別以z 0 1為圓心 在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2 練習(xí) 計(jì)算積分 解 現(xiàn)分別以z 1 2為圓心 在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2 由復(fù)合閉路定理知 3 3柯西積分公式 若f z 在D內(nèi)解析 則 分析 在上節(jié)的基礎(chǔ)上 我們來(lái)進(jìn)一步探討如下積分 定理 柯西積分公式 如果f z 在區(qū)域D內(nèi)處處解析 C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線 它的內(nèi)部完全含于D z0為C內(nèi)的任一點(diǎn) 則 解析函數(shù)可用復(fù)積分表示 證 由于f z 在z0連續(xù) 任給e 0 存在d e 0 當(dāng) z z0 d時(shí) f z f z0 e 設(shè)以z0為中心 R為半徑的圓周K z z0 R全部在C的內(nèi)部 且R d 從而有 例題1計(jì)算 解 因?yàn)閒 z cosz在復(fù)平面上解析 又 i在內(nèi) 所以 例題2計(jì)算 解 方法1 因?yàn)閒 z sinz在復(fù)平面上解析 又 1 1均在內(nèi) 所以 解 方法2 利用復(fù)合閉路定理 分別以 1 1為圓心 作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1 C2 練習(xí)計(jì)算 解 因?yàn)楸环e函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn) 所以 例題3 解 一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù) 而且有各高階導(dǎo)數(shù) 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過(guò)積分來(lái)表示 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo) 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定 更不要說(shuō)它有高階導(dǎo)數(shù)存在了 3 4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 定理解析函數(shù)f z 的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù) 它的n階導(dǎo)數(shù)為 其中C為在函數(shù)f z 的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線 而且它的內(nèi)部全含于D 證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn) 先證n 1的情形 即 因此就是要證 按柯西積分公式有 因此 現(xiàn)要證當(dāng)Dz 0時(shí)I 0 而 f z 在C上連續(xù) 則有界 設(shè)界為M 則在C上有 f z M d為z0到C上各點(diǎn)的最短距離 則取 Dz 適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足 Dz d 2 因此 L是C的長(zhǎng)度 這就證得了當(dāng)Dz 0時(shí) I 0 即 再利用同樣的方法去求極限 依此類推 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明 高階導(dǎo)數(shù)公式的作用 不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo) 而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分 例1求下列積分的值 其中C為正向圓周 z r 1 解 1 函數(shù)在C內(nèi)的z 1處不解析 但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的 練習(xí) 求下列積分的值 其中C為正向圓周 z 2 解 因?yàn)閦 1在 z 2包圍的區(qū)域D內(nèi) 又f z 5z2 3z 2在復(fù)平面上解析 練習(xí) 求下列積分的值 其中C為正向圓周 z 3 2 解 由于 在 z 3 2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z 0 z 1 分別分別以0 1為圓心 作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1 C2 由復(fù)合閉路定理知 I1和