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每日一題:專(zhuān)題1共點(diǎn)力的平衡問(wèn)題例1如圖所示,物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.3, 物體質(zhì)量為m=5.0kg現(xiàn)對(duì)物體施加一個(gè)跟水平方向成=37斜向上的拉力F,使物體沿水平面做勻速運(yùn)動(dòng)求拉力F的大小變式:如果將斜向上的拉力改為斜向下的推力F,、m、均不變,則推力需要多大,才能使物體沿水平面做勻速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)增大到某一個(gè)角度時(shí),不論多大的推力F,都不能推動(dòng)物體。求這個(gè)臨界角。解析:正交分解法。物體受四個(gè)力:mg 、FN、f、F建立坐標(biāo)系如圖所示將拉力F沿坐標(biāo)軸分解Fx = F cos Fy = Fsin 根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件,得X軸: Fx = 0 Fcos f = 0 Y軸: Fy = 0 Fsin + FN mg = 0公式f = FN 將代入 F cos= FN = (mg Fsin ) 解得 F = =歸納解題程序:定物體,分析力建坐標(biāo),分解力找依據(jù),列方程解方程,得結(jié)果變式:F = 23.71N這里的無(wú)論多大,可以看成是無(wú)窮大。則由上式變形為cossin = 當(dāng) F時(shí),則令cossin = 0 所以有 co t = 或 tan = = tan1 例2:如題所示,物體可以自由地沿斜面勻速下滑,當(dāng)沿豎直方向施加一個(gè)壓力F后,物體能否保持勻速運(yùn)動(dòng)變式:如圖所示,一個(gè)空木箱恰好能沿斜面勻速下滑現(xiàn)將質(zhì)量為m的球放到箱子中,這時(shí)木箱能否保持勻速運(yùn)動(dòng),這時(shí)球與木箱之間的相互作用力有多大?解析:物體自由地勻速下滑時(shí),有 mgsin mgcos = 0或變?yōu)?sin cos = 0當(dāng)對(duì)物體施加一個(gè)豎直向下的力F時(shí),將F和mg等效為一個(gè)豎直向下的作用力 G = F + mg 則物體沿斜面方向受的合力為 F = GsinGcos = ( F + mg )sin (F+ mg)cos將式代入得 F = F (sin cos ) = 0即物體仍然做勻速運(yùn)動(dòng)。變式解析:設(shè)木箱的質(zhì)量為M,木箱勻速下滑時(shí),有:gsin gcos = 0在木箱中放一質(zhì)量為m的小球后,整體受合力為F =( M +m) g sin ( M+m) g cos = mg ( sin cos ) = 0木箱仍然能保持勻速運(yùn)動(dòng)。小球與木箱前壁之間存在彈力,對(duì)小球有 FN = mgsin 例3:如圖所示,OA、OB、OC三條輕繩共同連接于O點(diǎn),A、B固定在天花板上,C端系一重物,繩的方向如圖。OA、OB、OC這三條繩能夠承受的最大拉力分別為150N、100N和200N,為保證繩子都不斷,OC繩所懸重物不得超過(guò)多重?變式如圖,不計(jì)重力的細(xì)繩AB與豎直墻夾角為60,輕桿BC與豎直墻夾角為30,桿可繞C自由轉(zhuǎn)動(dòng),若細(xì)繩AB承受的最大拉力為200N,輕桿能承受的最大壓力為300N,則在B點(diǎn)最多能掛多重的物體? 解析:結(jié)點(diǎn)O受三個(gè)力: FAO 、FBO、 FCO 而平衡,根據(jù)任兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等大反向完成矢量圖設(shè)BO 繩恰好拉斷,即 FBO =100N,則FAO = FBO cot 30 = 100N150N,F(xiàn)CO= FBO / sin30= 2 FBO = 200N, CO繩也恰好拉斷。所以,在BO和CO還達(dá)到承受限度之前,AO繩已被拉斷。應(yīng)設(shè)AO繩恰好被拉斷,由此得到懸持的重物的最大重力為 G = FAO / cos30 = 150 / /2 = 100N/ 0.8=250N300N,CO繩不會(huì)被拉斷。所以,CO繩懸掛的重物的最大質(zhì)量為m, mg = FCOm = FCO / g = 25 kg變式:例4:固定在水平面上的光滑半球,球心O的正上方固定一小定滑輪,細(xì)線一端拴一小球A,另一端繞過(guò)定滑輪,今將小球從圖示的位置緩慢地拉至B點(diǎn),在小球到達(dá)B點(diǎn)前的過(guò)程中,小球?qū)Π肭虻膲毫,細(xì)線的拉力T的大小變化情況是()AN變大,T變大 B.N變小,T變大CN不變,T變小 D.N變大,T變小解析:小球受三個(gè)力:mg、T、N ,如圖所示。由于T與N的合力與mg等大反向,畫(huà)矢量圖如圖所示。力三角形與空間三角形相似,有大, mg、R、h是不變量,小球沿大球面緩慢向上移動(dòng),L減小,所以 T減小,N不變。變式:一球重為G,固定的豎直大圓環(huán)半徑為R,輕彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)(L2R),其勁度系數(shù)為k,一端固定在圓環(huán)最高點(diǎn),另一端與小球相連,小球套在環(huán)上,所有接觸面均光滑。已知小球靜止在如圖所示位置,求該位置彈簧與豎直方向的夾角為多少? 例5:如圖所示,長(zhǎng)為5m的細(xì)繩的兩端分別系于豎立在地面上相距為4m的兩桿的頂端A、B,繩上掛一個(gè)光滑的輕質(zhì)掛鉤,其下連著一個(gè)重為12N的物體,平衡時(shí),問(wèn):繩中的張力T為多少?A點(diǎn)向上移動(dòng)少許,重新平衡后,繩與水平面夾角,繩中張力如何變化?分析與解::因?yàn)槭窃诶K中掛一個(gè)輕質(zhì)掛鉤,所以整個(gè)繩子處處張力相同。而在例7中,OA、OB、OC分別為三根不同的繩所以三根繩子的張力是不相同的。輕質(zhì)掛鉤的受力如圖所示,由平衡條件可知,T1、T2合力與G等大反向,且T1=T2。所以 T1sin +T2sin =T3= G即T1=T2=,而 AOcos+BO.cos= CD,所以 cos =0.8sin=0.6,T1=T2=10N同樣分析可知:A點(diǎn)向上移動(dòng)少許,重新平衡后,繩與水平面夾角,繩中張力均保持不變。變式:如圖(a)所示,將一條輕而柔軟的細(xì)繩一端固定在天花板上的A點(diǎn),另一端固定在豎直墻上的B點(diǎn),A、B兩點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等,繩的長(zhǎng)度為OA的兩倍。圖(b)所示為一質(zhì)量和半徑中忽略的動(dòng)滑輪K,滑輪下懸掛一質(zhì)量為m的重物,設(shè)摩擦力可忽略?,F(xiàn)將動(dòng)滑輪和重物一起掛到細(xì)繩上,在達(dá)到平衡時(shí),繩所受的拉力是多大?解:將滑輪掛到細(xì)繩上,對(duì)滑輪進(jìn)行受力分析如圖,滑輪受到重力和AK和BK的拉力F,且兩拉力相等,由于對(duì)稱(chēng),因此重力作用線必過(guò)AK和BK的角平分線。延長(zhǎng)AK交墻壁于C點(diǎn),因KB =KC,所以由已知條件 AK+ KC = AC=2AO,所以圖中的角度 =30,此即兩拉力與重力作用線的夾角。兩個(gè)拉力的合力R與重力等值反向,所以: 2 F cos30 = R =G, 所以F = mg/2cos30 = mg/3 。點(diǎn)評(píng):本題中的動(dòng)滑輪如果換為光滑掛鉤,則結(jié)果相同。設(shè)繩子長(zhǎng)度為L(zhǎng)=AC,兩懸點(diǎn)之
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