5.4二次函數(shù)與一元二次方程.doc

類比舊知迎新知 同中析異現(xiàn)本質(zhì)利用圖像法對(duì)一元二次方程根的判別式的探究活動(dòng)設(shè)計(jì)江蘇省興化市楚水初級(jí)中學(xué) 張建權(quán)1 教學(xué)現(xiàn)狀分析在蘇科版九年級(jí)下冊(cè)5.4二次函數(shù)與一元二次方程一節(jié)的第1課時(shí)中，教材首先提出了一個(gè)問(wèn)題：二次函數(shù)ybxc與一元二次方程bxc0有怎樣的關(guān)系？針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教材給出了兩個(gè)小貼士，其中一個(gè)從y的取值角度說(shuō)明當(dāng)y的值確定后，就得到一個(gè)一元二次方程，如y0，得到bxc0；另一個(gè)從二次函數(shù)的圖像角度說(shuō)明拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是一元二次方程bxc0的解，隨后教材結(jié)合四個(gè)具體的一元二次方程及對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像，得出一元二次方程的判別式和對(duì)應(yīng)的拋物線與x軸的交點(diǎn)情況的關(guān)系。在一次組內(nèi)教研活動(dòng)中，一位同仁就開了這節(jié)課，這位老師基本按照教材內(nèi)容的編排進(jìn)行講授，數(shù)形結(jié)合和等價(jià)關(guān)系的轉(zhuǎn)化處理得當(dāng)，應(yīng)該說(shuō)效果不錯(cuò)，但在課后評(píng)課時(shí)，點(diǎn)評(píng)意見出現(xiàn)了不統(tǒng)一。部分老師認(rèn)為，前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的求法，令y0，得到關(guān)于x的方程，方程的解就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對(duì)于本節(jié)課，可將此方法直接遷移運(yùn)用，顯得銜接自然，因此本節(jié)課的重點(diǎn)就是理解并熟練運(yùn)用一元二次方程的判別式；另一部分老師認(rèn)為，本節(jié)課中的等價(jià)關(guān)系的轉(zhuǎn)化過(guò)于順暢，似乎沒(méi)有辨析的過(guò)程，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容理解不透徹，同時(shí)也使本節(jié)課只有承前，沒(méi)有啟后，對(duì)第2課時(shí)一元二次方程根的估值沒(méi)有進(jìn)行知識(shí)和方法上的鋪墊。兩個(gè)教師陣營(yíng)似乎都有道理，一方也很難說(shuō)服另一方，筆者認(rèn)為，造成教師意見相左的原因是缺乏一個(gè)契合度很高并且有深度的探究活動(dòng)，將本節(jié)課的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)揭示出來(lái)，從而使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)和掌握。經(jīng)過(guò)苦思冥想，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)探究活動(dòng)，第二天在本班進(jìn)行嘗試，并邀請(qǐng)幾位前輩觀摩指導(dǎo)，事后得到他們很高的評(píng)價(jià)?，F(xiàn)將該探究活動(dòng)整理成文，供同行分享借鑒，不當(dāng)之處，請(qǐng)批評(píng)指正。2 探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)(截選)片斷1：對(duì)拋物線與x公共點(diǎn)軸個(gè)數(shù)的情形討論教師：拋物線ybxc與y軸有幾個(gè)公共點(diǎn)？學(xué)生：一個(gè)。教師：一定存在嗎？學(xué)生：一定存在。教師：一定是一個(gè)嗎？學(xué)生：一定。教師：看來(lái)，準(zhǔn)確地說(shuō)是“有且只有”一個(gè)公共點(diǎn)，這個(gè)公共點(diǎn)為(0，c)。現(xiàn)在不考慮y軸，只考慮x軸(PPT中隱去y軸，呈現(xiàn)出x軸)，拋物線與x軸是不是也有且只有一個(gè)公共點(diǎn)呢？請(qǐng)大家思考一下，進(jìn)行小組討論，并畫出示意圖。經(jīng)過(guò)小組討論、合作交流，最后得出六中情形，如圖1所示。圖1片斷2：類比直線與圓的位置關(guān)系對(duì)六種情形進(jìn)行分類教師：很明顯，這六種情形可以分為幾類？學(xué)生：三類。教師：哪三類呢？學(xué)生1：沒(méi)有公共點(diǎn)、一個(gè)公共點(diǎn)和兩個(gè)公共點(diǎn)三類情形。教師：很好。如何給這三類情形分別命名呢？學(xué)生2：沒(méi)有公共點(diǎn)是相離，一個(gè)公共點(diǎn)是相切，兩個(gè)公共點(diǎn)是相交。教師：這位同學(xué)是通過(guò)類比直線與圓的位置關(guān)系來(lái)命名的，非常棒！片斷3：利用頂點(diǎn)位置和開口方向?qū)θ惽樾芜M(jìn)行分析教師：前面我們學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系的時(shí)候，已經(jīng)知道通過(guò)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷是哪一種情形是不可靠的，因?yàn)橛袝r(shí)候通過(guò)肉眼觀察是不準(zhǔn)確的，于是我們引出了利用數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫位置關(guān)系，哪位同學(xué)來(lái)復(fù)述一下？學(xué)生3：當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)dr時(shí)，直線與圓相交。教師：很好！可是拋物線沒(méi)有半徑，更沒(méi)有所謂的圓心到x軸的距離啊，怎么辦呢？假設(shè)拋物線開口向上，請(qǐng)大家仔細(xì)觀察下面這個(gè)過(guò)程(PPT中將拋物線從有兩個(gè)公共點(diǎn)的情形上移至沒(méi)有公共點(diǎn)，如圖2)，什么時(shí)候拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)呢？圖2學(xué)生4：只要拋物線在x軸的上方。教師：如何說(shuō)明拋物線在x軸上方呢？(見學(xué)生沒(méi)有反應(yīng))如何保證我們班的學(xué)生的身高都比小明高？學(xué)生：只要班上最矮的學(xué)生比小明高就可以了。學(xué)生5：只要拋物線的頂點(diǎn)在x軸的上方就可以了。教師：為什么？學(xué)生5：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)是它的最低點(diǎn)。教師：非常好！拋物線的頂點(diǎn)在x軸的上方，說(shuō)明什么？學(xué)生6：它的縱坐標(biāo)大于0。教師：由此，你可以得到什么關(guān)系式？學(xué)生6：0。教師：因?yàn)閽佄锞€開口向上，所以a0，從而得到什么呢？學(xué)生：4ac0。教師：好，那開口向下呢？學(xué)生7：0，且a0，也能得到4ac0。教師：由此我們可以得出：當(dāng)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，則4ac0。那么當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，你又能得到什么結(jié)論呢？學(xué)生8：當(dāng)拋物線與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則4ac0。學(xué)生9：當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則4ac0。教師：以上三類情形都出現(xiàn)了4ac，這讓你想起了什么？學(xué)生：一元二次方程。教師：什么樣的一元二次方程？學(xué)生： bxc0。教師：二次函數(shù)ybxc與一元二次方程bxc0有怎樣的關(guān)系？(見學(xué)生沒(méi)有反應(yīng)) 從ybxc到bxc0只需要干什么？學(xué)生10：令y0。教師：我們?cè)谑裁辞闆r下會(huì)令一個(gè)函數(shù)y0？學(xué)生11：求函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(以下教學(xué)過(guò)程按照教材進(jìn)行)片斷4：對(duì)ac異號(hào)必有兩個(gè)公共點(diǎn)的圖像法分析教師：(一組習(xí)題完成后)這一組例題習(xí)題中的系數(shù)有什么共性？學(xué)生12：ac異號(hào)。教師：前面我們學(xué)過(guò)，只要ac異號(hào)，一元二次方程bxc0必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，之前我們是通過(guò)代數(shù)推理得到這個(gè)結(jié)論的，你能用圖像法得到這個(gè)結(jié)論嗎？請(qǐng)大家畫出示意圖進(jìn)行說(shuō)明。學(xué)生13：當(dāng)a0、c0時(shí)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)(如圖3(1)。圖3學(xué)生14：當(dāng)a0、c0時(shí)，拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn)(如圖3(2)。3 兩點(diǎn)心得體會(huì)結(jié)合本人的教學(xué)流程和反思以及同仁們的點(diǎn)評(píng)，筆者有如下幾點(diǎn)心得體會(huì)。3.1 關(guān)于用教材教的問(wèn)題 前文已提過(guò)，本節(jié)課的教材內(nèi)容雖設(shè)置了一些思考活動(dòng)，但學(xué)生容易想到結(jié)合前面所學(xué)知識(shí)，從而快速解決問(wèn)題，使得本節(jié)課的思考量可謂極少。教材主要是從代數(shù)層面，將本節(jié)內(nèi)容和一次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行類比，借助于數(shù)形結(jié)合思想觀察二次函數(shù)圖像與x軸的位置關(guān)系，從而得到相關(guān)結(jié)論。筆者則從幾何層面，將本節(jié)內(nèi)容和直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行類比，一方面加深了這節(jié)課思考的“厚度”，另一方面也延續(xù)了用數(shù)量關(guān)系刻畫位置關(guān)系這一重要的數(shù)學(xué)思想方法。正如一位前輩所說(shuō)，“教材作為一種文本，其內(nèi)容的濃縮性和文本簡(jiǎn)約性往往以犧牲知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程、數(shù)學(xué)建模過(guò)程和思考過(guò)程為代價(jià)，教材不可以有太多的閑筆，但教學(xué)不能沒(méi)有適當(dāng)?shù)拈e趣”。3.2 關(guān)于探究活動(dòng)的思考對(duì)于探究活動(dòng)，筆者認(rèn)為應(yīng)把握三個(gè)方面：契合度、問(wèn)題設(shè)置和思想性。探究活動(dòng)絕不能為了探究而探究，筆者所設(shè)置的探究活動(dòng)的契合度無(wú)疑是非常高的，可謂“直搗黃龍”；類比直線與圓的位置關(guān)系的探究，問(wèn)題設(shè)置緊扣主題、步步為營(yíng)、自然順暢，在不同之處、認(rèn)知障礙之處尋求突破，引導(dǎo)學(xué)生換一種數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫拋物線與x軸的位置關(guān)系是本節(jié)課的一大亮點(diǎn)；完成探究活動(dòng)之后，再引出教材開頭的問(wèn)題，看似迂回曲折，實(shí)則用心良苦，不僅僅是為學(xué)生提供一個(gè)新的角度看問(wèn)題，而是將問(wèn)題的本質(zhì)揭示出來(lái)，以幫助學(xué)生深刻