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平面幾何五種模型等積,鳥頭,蝶形,相似,共邊1、等積模型 等底等高的2個(gè)三角形面積相等2個(gè)三角形高相等,面積比=底之比2個(gè)三角形底相等,面積比=高之比夾在一組平行線之間的等積變形(方方模型)等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下:1等底等高的2個(gè)平行四邊形面積相等2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半3 2個(gè)平行四邊形高相等,面積比=底之比;2個(gè)平行四邊形底相等,面積比=高之比2、鳥頭模型(共角定理)鳥頭定理:2個(gè)三角形中,有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這2個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比(夾角2邊 )鳥頭定理的使用要火眼金睛,經(jīng)常需要自己補(bǔ)一條輔助線同時(shí)經(jīng)過2次以上轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)才能得到結(jié)果。 如圖,淺紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的,等于淺紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC里面,注意,鳥頭定理用的是乘積比!不是單獨(dú)的線段比記憶上用夾角2邊 最好記,這里等于 鳥頭定理的證明,寫出來是因?yàn)楹芏囝}目的解題過程,都需要補(bǔ)這么一條輔助線來過度連接2個(gè)看起來無關(guān)的圖形。證明的途徑其實(shí)跟我們?nèi)粘=忸}途徑重合,所以寫出來,仔細(xì)看。經(jīng)由媒介的ABE,聯(lián)系了ADE和大三角形ABCBE輔助線很重要!鳥頭定理是用等高(等于是用等積推算而得)第二種的證明方式將對(duì)頂角壓回來ABC內(nèi),對(duì)頂角性質(zhì)是相等的,所以壓回來的新跟ADE是全等,再做一條輔助線就能用共角的方式證明出對(duì)角的鳥頭定理 互補(bǔ)角的鳥頭定理證明寫了這幾個(gè)證明,其實(shí)說的目的只有一個(gè):連接小三角形和大三角形過度的那條輔助線,特別重要!3蝴蝶模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)任蝴蝶或者【上下比】 = = = 【上上比】 = = 由上述比例可以按數(shù)學(xué)運(yùn)算原則推出很多規(guī)則:如面積交叉相乘的乘積相等 = = 梯形蝴蝶定理(梯蝴蝶)上:下=上:下:左:右=的對(duì)應(yīng)份數(shù)為a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab 有木有4 相似三角形形狀相同,大小不同的三角形,只要形狀不變,無論大小怎么改變,他們都相似。1 相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長(zhǎng)度成比例,并且=它們的相似比2 相似三角形的面積比=相似比的平方3 連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理:三角形的中位線長(zhǎng)=它所對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)的一半就是三角形任2邊中點(diǎn)連出來的中位線就是第三邊長(zhǎng)的一半!出題幾率:多產(chǎn)生于2條平行線造成的相似三角形金字塔模型 沙漏模型 SADE:SABC=AF2:AG2特別注意!相似三角形的面積比是等于相似比的平方5 共邊定理燕尾模型、風(fēng)箏模型、塞瓦定理共邊定理說明如圖一想知道PAB和QAB的面積比?我們就如圖二做個(gè)高,因?yàn)橥祝ň褪枪灿靡粋€(gè)邊)所以面積比=髙之比,再想辦法偷懶,延長(zhǎng)PQ、AB的線相交于M,那么剛學(xué)的相似三角形可以派上用場(chǎng),因?yàn)镻DMQEM如圖三M所以=共邊定理:若直線AB和PQ相交于點(diǎn)M(4種情況)則有=圖一 圖二 圖三 圖四最常應(yīng)用到的其實(shí)是圖一,無論在三角形或四邊形上我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來比出線段比。(圖形不重疊)圖二的比例圖形有重疊,所以線段長(zhǎng)度也是重疊比圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊,所以線段比不重疊。圖四是四邊形,做比的三角形有重疊,而比值是四邊形的頂:延長(zhǎng)線段QM(切記,唯一對(duì)比線段不在圖形內(nèi)的哈)共邊定理的證明=1,M點(diǎn)是PQ和AB延長(zhǎng)后的交點(diǎn)2,取N,使得MN長(zhǎng)度=AB3、=PNM和QNM是等高,塞瓦定理(燕尾定理模型補(bǔ)充) 三邊比例互乘為1在ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O,直線AO、BO、CO分別
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