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第八節(jié)函數(shù)與方程1函數(shù)的零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的概念對(duì)于函數(shù)yf(x),把使f(x)0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,若f(a)f(b)0,則yf(x)在(a,b)內(nèi)存在零點(diǎn)2二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系b24ac000)的圖象與x軸的交點(diǎn)(x1,0),(x2,0)(x1,0)無(wú)零點(diǎn)個(gè)數(shù)01判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷),則f(a)f(b)0.()(3)只要函數(shù)有零點(diǎn),我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值()(4)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)()(5)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)且f(a)f(b)0,則函數(shù)f(x)在a,b上有且只有一個(gè)零點(diǎn)()答案:(1)(2)(3)(4)(5)2二次函數(shù)f(x)ax2bxc(xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x32101234y6m4664n6可以判斷方程ax2bxc0的兩根所在的區(qū)間是()A(3,1)和(2,4)B(3,1)和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(1,3)和(4,)解析:選A由表格可得二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x,a0.由f(3)f(1)0,f(2)f(4)0,可得f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(3,1)和(2,4),即方程ax2bxc0的兩個(gè)根所在區(qū)間是(3,1)和(2,4)3函數(shù)f(x)ln x的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()A(1,2) B(2,3)C.和(3,4) D(4,)解析:選B易知f(x)為增函數(shù),由f(2)ln 210,f(3)ln 30,得f(2)f(3)0,故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為(2,3)4函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D3解析:選B函數(shù)f(x)xx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是方程xx0的解的個(gè)數(shù),即方程xx的解的個(gè)數(shù),也就是函數(shù)yx與yx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.5若函數(shù)f(x)axb有一個(gè)零點(diǎn)是2,那么函數(shù)g(x)bx2ax的零點(diǎn)是_解析:由題意知2ab0,即b2a.令g(x)bx2ax0,得x0或x.答案:0,6若函數(shù)f(x)ax12a在區(qū)間(1,1)上存在一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析:當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)1在(1,1)上沒(méi)有零點(diǎn),所以a0.所以函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù),要滿足題意,只需f(1)f(1)0,即(3a1)(1a)0,所以(a1)(3a1)0,解得a1,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案:考什么怎么考高考中對(duì)函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間的考查主要以選擇題、填空題形式出現(xiàn),體現(xiàn)了基本概念的靈活運(yùn)用,難度不大.1(2018煙臺(tái)模擬)函數(shù)f(x)ln(x1)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)解析:選Bf(x)在(0,)上為增函數(shù),且f(1)ln 210,f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2),故選B.2設(shè)f(x)ln xx2,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4) 解析:選B函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)ln x,h(x)x2圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的范圍作出兩函數(shù)圖象如圖所示,可知f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1,2)故選B.3若x0是方程xx的解,則x0屬于區(qū)間()A. B.C. D.解析:選C令g(x)x,f(x)x,則g(0)1f(0)0,gf,gf,結(jié)合圖象可得x0.4函數(shù)f(x)x23x18在區(qū)間1,8上_(填“存在”或“不存在”)零點(diǎn)解析:法一:f(1)123118200,f(1)f(8)0),yln x(x0)的圖象如圖所示由圖可知函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.2函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3解析:選C當(dāng)x0時(shí),令f(x)0,即x22x0,解得x2或x0(舍去)所以當(dāng)x0時(shí),只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x0時(shí),f(x)exx2,而f(x)ex1,顯然f(x)0,所以f(x)在0,)上單調(diào)遞增,又f(0)e00210,f(2)e240,所以當(dāng)x0時(shí),函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上,函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn),故選C.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用主要是利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理求相關(guān)參數(shù)值或范圍.多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想,題目難度較大.典題領(lǐng)悟已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)a|x2|a,其中a0,且為 常數(shù)若函數(shù)yf(f(x)有10個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是_學(xué)審題可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;由f(x)0,得x1或x3;等價(jià)于函數(shù)yf(x)的圖象與直線y1和y3共有10個(gè)交點(diǎn)解析:當(dāng)x0時(shí),令f(x)0,得|x2|1,即x1或x3.因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(x)的零點(diǎn)為x1或x3.令f(f(x)0,則f(x)1或f(x)3.因?yàn)楹瘮?shù)yf(f(x)有10個(gè)零點(diǎn),所以函數(shù)yf(x)的圖象與直線y1和y3共有10個(gè)交點(diǎn)由圖可知1a3.答案:(1,3)解題師說(shuō)利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍的思路方法及步驟(1)常規(guī)思路已知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),這時(shí)圖形一定要準(zhǔn)確,這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題(2)常用方法(3)一般步驟 沖關(guān)演練1若函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,3)B(1,2)C(0,3) D(0,2)解析:選C因?yàn)楹瘮?shù)f(x)2xa在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)2xa的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi),則有f(1)f(2)0,所以(a)(41a)0,即a(a3)0,解得0a0,f(2)3log2220,f(4)log240,f(3)0,f(5)0時(shí),f(x)3x1有一個(gè)零點(diǎn)x,所以只需當(dāng)x0時(shí),exa0有一個(gè)根即可,即exa.當(dāng)x0時(shí),ex(0,1,所以a(0,1,即a1,0),故選D.7已知函數(shù)f(x)a的零點(diǎn)為1,則實(shí)數(shù)a的值為_解析:由已知得f(1)0,即a0,解得a.答案:8函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)有_個(gè)解析:f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(0)120,函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)答案:19已知f(x)則其零點(diǎn)為_解析:當(dāng)x0時(shí),由f(x)0,即xln x0得ln x0,解得x1;當(dāng)x0時(shí),由f(x)0,即x2x20,解得x1或x2.因?yàn)閤0,所以x1.綜上,函數(shù)的零點(diǎn)為1,1.答案:1,110設(shè)函數(shù)yx3與yx2的圖象的交點(diǎn)為(x0,y0),若x0(n,n1),nN,則x0所在的區(qū)間是_解析:設(shè)f(x)x3x2,則x0是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),在同一平面直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)yx3與yx2的圖象如圖所示因?yàn)閒(1)1110,f(2)8070,所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2)答案:(1,2)B級(jí)中檔題目練通抓牢1已知函數(shù)f(x)則函數(shù)yf(x)x4的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析:選B函數(shù)yf(x)x4的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即函數(shù)yx4與yf(x)的圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)如圖所示,函數(shù)yx4與yf(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),故函數(shù)yf(x)x4的零點(diǎn)有2個(gè)故選B.2(2018云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))已知a,b,c,d都是常數(shù),ab,cd.若f(x)2 018(xa)(xb)的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析:選Df(x)2 018(xa)(xb)x2(ab)xab2 018,又f(a)f(b)2 018,c,d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),且ab,cd,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,由圖可知cabd,故選D.3(2017山東高考)已知當(dāng)x0,1時(shí),函數(shù)y(mx1)2的圖象與ym的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(0,12,) B(0,13,)C(0, 2,) D(0, 3,)解析:選B在同一平面直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)f(x)(mx1)2m22與g(x)m的大致圖象分兩種情形:(1)當(dāng)01時(shí),01,如圖,要使f(x)與g(x)的圖象在0,1上只有一個(gè)交點(diǎn),只需g(1)f(1),即1m(m1)2,解得m3或m0(舍去)綜上所述,m(0,13,)4已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:作出f(x)的圖象如圖所示由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖象得0m1,即m(0,1)答案:(0,1)5方程2x3xk的解在1,2)內(nèi),則k的取值范圍為_解析:令函數(shù)f(x)2x3xk,則f(x)在R上是增函數(shù)當(dāng)方程2x3xk的解在(1,2)內(nèi)時(shí),f(1)f(2)0,即(5k)(10k)0,解得5k0,f(3)0,f(5)0,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知,f(x)在區(qū)間(2,3),(3,4),(4,5)上均至少含有一個(gè)零點(diǎn),故函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,6上的零點(diǎn)至少有3個(gè)3.(2018四川雙流中學(xué)必得分訓(xùn)練)函數(shù)f(x)2x2x的零點(diǎn)所處的區(qū)間是()A2,1 B1,0C0,1 D1,2解析:選Bf(2)222(2)0,f(1)212(1)0,由零點(diǎn)存在性定理知,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間1,0上故選B.4.(2018甘肅天水一中月考)已知函數(shù)f(x)ln xax2ax恰有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(,0) B(0,)C(0,1)(1,) D(,0)1解析:選C由題意,顯然x1是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn),取a1,則f(x)ln xx2x,f(x)0恒成立則f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,排除A、D;取a1,則f(x)ln xx2x,f(x),令f(x)0,得x1,則f(x)在(0,1)上遞增,在(1,)上遞減,f(x)maxf(1)0,即f(x)僅有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意,排除B,故選C.5(2018云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))已知a,b,c,d都是常數(shù),ab,cd.若f(x)2 018(xa)(xb)的零點(diǎn)為c,d,則下列不等式正確的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd解析:選Df(x)2 018(xa)(xb)x2(ab)xab2 018,又f(a)f(b)2 018,c,d為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),且ab,cd,所以可在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示,由圖可知cabd,故選D.6函數(shù)f(x)exx2的零點(diǎn)有_個(gè)解析:f(x)在R上單調(diào)遞增,又f(0)120,函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)答案:17已知f(x)則其零點(diǎn)為_解析:當(dāng)x0時(shí),由f(x)0,即xln x0得ln x0,解得x1;當(dāng)x0時(shí),由f(x)0,即x2x20,解得x1或x2.因?yàn)閤0,所以x1.綜上,函數(shù)的零點(diǎn)為1,1.答案:1,18已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析:作出f(x)的圖象如圖所示由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖象得0m1,即m(0,1)答案:(0,1)9.已知函數(shù)f(x)x3x2.求證:存在x0,使f(x0)x0.證明:令g(x)f(x)x.g(0),gf,g(0)g0.又函數(shù)g(x)在上是連續(xù)不斷的曲線,存在x0,使g(x0)0,即f(x0)x0.10已知yf(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),當(dāng)x0,)時(shí),f(x)x22x.(1)寫出函數(shù)yf(x)的解析式(2)若方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解,求a的取值范圍解:(1)設(shè)x0,則x0,所以f(x)x22x.又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(x)f(x)x22x.所以f(x)(2)方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解,即yf(x)與ya的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)作出yf(x)與ya的圖象如圖所示,故若方程f(x)a恰有3個(gè)不同的解,只需1a1,故a的取值范圍為(1,1)B級(jí)拔高題目穩(wěn)做準(zhǔn)做1.已知x0是f(x)x的一個(gè)零點(diǎn),x1(,x0),x2(x0,0),則()Af(x1)0,f(x2)0 Bf(x1)0,f(x2)0Cf(x1)0,f(x2)0 Df(x1)0,f(x2)0解析:選C因?yàn)閤0是函數(shù)f(x)x的一個(gè)零點(diǎn),所以f(x0)0,因?yàn)閒(x)x在(,0)和(0,)上是單調(diào)遞減函數(shù),且x1(,x0),x2(x0,0),所以f(x1)f(x0)0f(x2)2.設(shè)函數(shù)f(x)exx2,g(x)lnxx23.若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)0,g(b)0,則()Ag(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C0g(a)f(b) Df(b)g(a)0解析:選A因?yàn)楹瘮?shù)f(x)exx2在R上單調(diào)遞增,且f(0)120,所以f(a)0時(shí),a(0,1)又g(x)ln xx23在(0,)
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