高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.3 數(shù)學(xué)歸納法課件 新人教B版選修22.ppt

2 3數(shù)學(xué)歸納法 1 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單命題 2 理解數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的作用 進(jìn)一步規(guī)范書寫的語(yǔ)言結(jié)構(gòu) 數(shù)學(xué)歸納法一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題 如果 1 當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立 2 在假設(shè)當(dāng)n k k n 且k n0 時(shí)命題成立的前提下 推出當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 那么可以斷定 這個(gè)命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立 名師點(diǎn)撥數(shù)學(xué)歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法 它是一種完全歸納法 是對(duì)不完全歸納法的完善 證明分兩步 其中第一步是命題成立的基礎(chǔ) 稱為 歸納奠基 第二步解決的是延續(xù)性問(wèn)題 又稱 歸納遞推 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn) 1 兩個(gè)步驟缺一不可 2 在第一步中 n的初始值不一定從1取起 也不一定只取一個(gè)數(shù) 有時(shí)需取n n0 n0 1等 證明應(yīng)視具體情況而定 3 在第二步中 證明n k 1時(shí)命題成立 必須使用歸納假設(shè) 否則就會(huì)打破數(shù)學(xué)歸納法步驟間的嚴(yán)密邏輯關(guān)系 造成推理無(wú)效 4 證明n k 1時(shí)命題成立 要明確求證的目標(biāo)形式 一般要湊出歸納假設(shè)里給出的形式 以便使用歸納假設(shè) 然后再去湊出當(dāng)n k 1時(shí)的結(jié)論 這樣就能有效減少論證的盲目性 故當(dāng)n k 1時(shí) 不等式成立 上述證法 a 過(guò)程全部正確b n 1時(shí)驗(yàn)證不正確c 歸納假設(shè)不正確d 從n k到n k 1的推理不正確 解析 因?yàn)閺膎 k到n k 1的證明過(guò)程中沒(méi)有用到歸納假設(shè) 所以從n k到n k 1的推理不正確 答案 d 1 2 1 利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)有哪些注意事項(xiàng) 剖析 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)命題的關(guān)鍵在第二步 即n k 1時(shí)命題為什么成立 n k 1時(shí)命題成立是利用假設(shè)n k時(shí)命題成立 根據(jù)有關(guān)的定理 定義 公式 性質(zhì)等數(shù)學(xué)結(jié)論推證出來(lái)的 而不是直接代入 否則n k 1時(shí)命題成立也成假設(shè)了 命題并沒(méi)有得到證明 2 用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問(wèn)題 但并不是所有的正整數(shù)問(wèn)題都能用數(shù)學(xué)歸納法證明 學(xué)習(xí)時(shí)要具體問(wèn)題具體分析 1 2 2 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤有哪些 剖析 1 對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤 特別是尋找n k與n k 1的關(guān)系時(shí) 項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò) 2 沒(méi)有利用歸納假設(shè) 歸納假設(shè)是必須要用的 假設(shè)是起橋梁作用的 橋梁斷了就通不過(guò)去了 3 關(guān)鍵步驟含糊不清 假設(shè)n k時(shí)結(jié)論成立 利用此假設(shè)證明n k 1時(shí)結(jié)論也成立 是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步 也是證明問(wèn)題中最重要的環(huán)節(jié) 要把推導(dǎo)的過(guò)程和步驟寫完整 注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性 規(guī)范性 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 分析 左邊式子的特點(diǎn)為 各項(xiàng)分母依次為1 2 3 2n 右邊式子的特點(diǎn)為 分母由n 1開始 依次增大1 一直到2n 共n項(xiàng) 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí) 往往通過(guò)拼湊項(xiàng)或拆項(xiàng)用上歸納假設(shè) 再應(yīng)用放縮法或其他證明不等式的方法證得n k 1時(shí)命題成立 題型一 題型二 題型三 題型四 歸納 猜想 證明 例題3 某數(shù)列的第一項(xiàng)為1 并且對(duì)所有的自然數(shù)n 2 數(shù)列的前n項(xiàng)之積為n2 1 寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng) 2 寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明 分析 根據(jù)數(shù)列前五項(xiàng)寫出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)變化的關(guān)系 歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律 同時(shí)還要特別注意第一項(xiàng)與其他各項(xiàng)的差異 必要時(shí)可分段表示 證明這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式可用數(shù)學(xué)歸納法 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 反思先計(jì)算出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng) 用不完全歸納法猜想得到通項(xiàng)公式 再用數(shù)學(xué)歸納法給予證明 這是解數(shù)列問(wèn)題的常見思路 題型一 題型二 題型三 題型四 易錯(cuò)辨析 易錯(cuò)點(diǎn) 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)兩步缺一不可 且在證明由n k到n k 1命題成立時(shí)必須用上歸納假設(shè) 否則證明過(guò)程就是錯(cuò)誤的 題型一 題型二 題型三 題型四 題型一 題型二 題型三 題型四 1 2 3 4 5 1用數(shù)學(xué)歸納法證明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 n n 從 n k到n k 1 左端需增乘的代數(shù)式為 a 2k 1b 2 2k 1 解析 n k時(shí) 左邊 k 1 k 2 k k 而n k 1時(shí) 左邊 k 1 1 k 1 2 k 1 k 1 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k k 2k 1 答案 b 1 2 3 4 5 2平面內(nèi)原有k條直線 它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f k 則增加一條直線后 它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 a f k kb f k 1c f k k 1d kf k 解析 第 k 1 條直線與原來(lái)的k條直線相交 最多有k個(gè)交點(diǎn)