20.極點(diǎn)與極線的性質(zhì)

第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 125 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 極點(diǎn)與極線是高等幾何中的基本且重要的概念,雖然中學(xué)數(shù)學(xué)沒有介紹,但以此為背景命制的高考試題經(jīng)常出現(xiàn).掌握極點(diǎn)與極線的初步知識,可使我們“登高望遠(yuǎn)”,抓住問題的本質(zhì),確定解題方向,尋找簡捷的解題途. 定義:已知曲線G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0,則稱點(diǎn)P(x0,y0)和直線l:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0是曲線G的一對極點(diǎn)與極線,點(diǎn)P稱為直線l關(guān)于曲線G的極點(diǎn);直線l稱為點(diǎn)P關(guān)于曲線G的極線.稱點(diǎn)P與直線l有“配極關(guān)系”,或“對偶關(guān)系”,相互為對方的“配極元素”,或“對偶元素”. 特別地,當(dāng)點(diǎn)P在曲線G上時,點(diǎn)P關(guān)于曲線G的極線是曲線G在點(diǎn)P處的切線;圓錐曲線的焦點(diǎn)對應(yīng)的極線是該焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線;圓錐曲線的準(zhǔn)線對應(yīng)的極點(diǎn)是該準(zhǔn)線對應(yīng)的焦點(diǎn). 位置關(guān)系:已知點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線G的極線是直線l,則三者的位置關(guān)系是:若點(diǎn)P在曲線G上,則直線l是曲線G在點(diǎn)P處的切線;若點(diǎn)P在曲線G外,則直線l是由點(diǎn)P向曲線G引兩條切線的切點(diǎn)弦;若點(diǎn)P在曲線G內(nèi),則直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的曲線G的弦的兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)軌跡.如圖: l l l P M P A D M P N C N B 配極原則:如果點(diǎn)P的極線通過點(diǎn)Q,則點(diǎn)Q的極線也通過點(diǎn)P. 證明:設(shè)圓錐曲線G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,點(diǎn)P(xp,yp),Q(xQ,yQ),則點(diǎn)P、Q關(guān)于曲線G的極線方程分別為p:axpx+b+cypy+d+e+f=0,q:axQx+b+cyQy+d+e+f=0,則點(diǎn)P的極線通過點(diǎn)QaxpxQ+b+cypyQ+d+e+f=0點(diǎn)P(xp,yp)在直線q:axQx+b+cyQy+d+e+f=0上點(diǎn)Q的極線也通過點(diǎn)P. 推論1:兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)是此二點(diǎn)極線的交點(diǎn),兩直線交點(diǎn)的極線是此二直線極點(diǎn)的連線; 證明:設(shè)兩點(diǎn)A、B連線的極點(diǎn)是P,即點(diǎn)P的極線經(jīng)過點(diǎn)A、B,由配極原則知點(diǎn)A、B的極線均過點(diǎn)P,即點(diǎn)P是此二點(diǎn)極線的交點(diǎn);同理可證:兩直線交點(diǎn)的極線是此二直線極點(diǎn)的連線. 推論2(共點(diǎn)共線):共線點(diǎn)的極線必共點(diǎn);共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線. 證明:設(shè)點(diǎn)A、B均在直線l上,直線l對應(yīng)的極點(diǎn)為P,由配極原則知點(diǎn)A、B的極線均過點(diǎn)P,即點(diǎn)A、B的極線必共點(diǎn);同理可證:共點(diǎn)線的極點(diǎn)必共線. 推論3(中點(diǎn)性質(zhì)):若圓錐曲線G過點(diǎn)P的弦AB平行于點(diǎn)P的極線,則點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn). 證明:設(shè)P(x0,y0),曲線G:ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0,則點(diǎn)P的極線方程:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0,故可設(shè)AB:ax0x+b+cy0y+d+e+=0,由點(diǎn)P(x0,y0)在直線AB上ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+=0=-(ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0)直線AB:ax0x+b+cy0y+d+e=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0ax0x+b+cy0y+d+e+f=ax02+bx0y0+cy02+2dx0+2ey0+f,而該直線為以為P中點(diǎn)的中點(diǎn)弦方程,即點(diǎn)P是弦AB的中點(diǎn). 比例定理:若過點(diǎn)P(x0,y0)的直線l與曲線G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0相交于A、B兩點(diǎn),與直線:ax0x+b+ 126 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) cy0y+d+e+f=0交于點(diǎn)Q,則|PA|QB|=|QA|PB|. 證明:設(shè)直線l:(t為參數(shù)),代入ax0x+b+cy0y+d+e+f=0得:(2ax0cos+bx0sin+by0cos+2cy0sin)t+2(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0t0=-2;代入ax2+bxy+cy2+2dx+2ey+f=0得:(acos2+bcossin+csin2)t2+(2ax0cos+bx0sin+by0cos+2cy0sin)t+(ax02+bx0y0+cy02+dx0+ey0+f)=0t1+t2=-,t1t2=t0=;而|PA|QB|=|QA|PB|t1|t2-t0|=|t1-t0|t2|t0=成立. 面積定理:已知點(diǎn)P關(guān)于圓錐曲線G的極線為l,過點(diǎn)P的直線與圓錐曲線G相交于A、B兩點(diǎn),分別過點(diǎn)A、B的兩條平行線與直線l交于點(diǎn)D、C,記APD、CPD、BPC的面積分別為S1,S2,S3,則:S22=4S1S2. 證明:以橢圓G:+=1(ab0)為例,設(shè)P(x0,y0),則極線l:.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),并分別過點(diǎn)A、B作l的垂線,垂足分別為D1、C1,則=(注意到:a2b2=b2x12+a2y12,a2b2=b2x22+a2y2)=(注意到:=k)=.又因=,以下只需證=1,即|a2ky1+b2x1|=|a2ky2+b2x2|,由b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0b2(x1+x2)+a2k(y1+y2)=0a2ky1+b2x1=-(a2ky2+b2x2)|a2ky1+b2x1|=|a2ky2+b2x2|=,由ADD1BCC1=,設(shè)AC與BD交于點(diǎn)Q,由ADBC=PQBCADSBAC=SBDC,兩邊同減SBQC得SQAB=SQDC,又因SPQA=SPQD,SPQB=SPQCSPCD=SQCD+SPQD+SPQC=SQCD+SPQA+SPQB=SQCD+SQAB=2SQABSQAD=SPAD=S1,SQBC=SPBC=S3,SQAB=SPCD=S2,注意到:=1=SQADSQBCS22=4S1S2.例1:極點(diǎn)與極線的位置關(guān)系.始源問題:(2010年湖北高考試題)已知橢圓C:+y2=1的兩焦點(diǎn)為F1 ,F2,點(diǎn)P(x0,y0)滿足0+y021,則|PF1|+|PF2|的取值范圍為 ,直線+y0y=1與橢圓C的公共點(diǎn)個數(shù)為 .解析:由0+y021知,點(diǎn)P在橢圓C內(nèi),所以直線+y0y=1與橢圓C相離公共點(diǎn)個數(shù)為0;2cPF1|+|PF2|2a2PF1|+|PF2|1(x00),直線l:+=1.()求直線l與橢圓C的公共點(diǎn)個數(shù);()若射線OP與直線l、橢圓C分別交于點(diǎn)Q、M,求證:|OP|OQ|=|OM|2.解析:()因橢圓C:+=1,0,2),所以,直線l與橢圓C的公共點(diǎn)個數(shù)關(guān)于的方程 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 127 cos+sin=1解的個數(shù)直線:x+y=1與圓:x2+y2=1的公共點(diǎn)個數(shù);由圓心O(0,0)到直線:x+y=1的距離d=1直線:x+y=1與圓:x2+y2=1的公共點(diǎn)個數(shù)=2直線l與橢圓C的公共點(diǎn)個數(shù)=2;()因射線OP:y=x(x與x0同號),與+=1聯(lián)立得:+=1x=y=Q(,)|OP|OQ|=;由y=x與+=1聯(lián)立得:+x2=1x2=y2=|OM|2=x2+y2=+=|OP|OQ|=|OM|2.例2:拋物線中的共線性質(zhì).始源問題:(2010年大綱卷高考試題)已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)K(-1,0)的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D.()證明:點(diǎn)F在直線BD上;()設(shè)=,求BDK的內(nèi)切圓M的方程.解析:()設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線l:y=k(x+1)(k0),則D(x1,-y1),由ky2-4y+4k=0y1+y2=,y1y2=4;所以,點(diǎn)F在直線BD上(x2-1):(x1-1)=y2:(-y1)y1(-2)+y2(-2)=0y1y2-k(y1+y2)=0;()由=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(-2)(-2)+y1y2=(1+)y1y2-(y1+y2)+4=4(1+)-+4=8-=k=;根據(jù)對稱性,不妨設(shè)k=,則直線AB:3x-4y+3=0,且kKD=KF平分AKD圓M的圓心M在x軸上;(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=kBD=直線BD:3x-y-3=0;設(shè)M(t,0)(-1t0)的對稱軸上一點(diǎn)A(a,0)(a0),的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn),自M、N向直線l:x=-a作垂線,垂足分別為M1、N1.()當(dāng)a=時,求證:AM1AN1;()記AMM1、AM1N1、ANN1的面積分別為S1、S2、S3,是否存在,使得對任意的a0,都有S22=S1S3成立.若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解析:()當(dāng)a=時,A(,0),設(shè)M(2pm2,2pm),N(2pn2,2pn),則M1(-,2pm),N1(-,2pn),由(2pm2-):(2pn2-)=2pm:2pnmn=-=p2+4p2mn=0AM1AN1; 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 129 ()由(2pm2-a):(2pn2-a)=2pm:2pn2pmn+a=0;因=;當(dāng)MNx軸時,=;所以,=4p2m2n2=a2成立;當(dāng)MNx軸時,顯然有=;設(shè)MN1與NM1交于點(diǎn)Q(點(diǎn)Q即原點(diǎn)O),由MM1NN1=AQMM1NN1;設(shè)MQM1=,則S1=|QM|QM1|sin,S3=|QN|QN1|sin;又SQMN=S2=+(+)=+(SAQM+SAQN)=+SQMN=2SQMN;S1S3=|QM|QM1|sin|QN|QN1|sin=|QM|QN|sin|QM1|QN1|sin=SQMN=S22S22=4S1S3存在=4,使得對任意的a0,都有S22=S1S3成立.原創(chuàng)問題:已知拋物線C:y2=4x,直線l:y=2x+2,過點(diǎn)P(1,1)的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn),A、B兩點(diǎn)在直線l上的射影點(diǎn)分別為N、M,記PAN、PMN、PBM的面積分別為S1、S2、S3.()當(dāng)AB直線l時,求證:P是AB的中點(diǎn);()求證:S22=4S1S3.解析:()設(shè)A(x1,y1),則y12=4x1;由P是AB的中點(diǎn)B(2-x1,2-y1)(2-y1)2=4(2-x1)y1=2x1+1點(diǎn)A在直線y=2x+1上,同理可得點(diǎn)B也在直線y=2x+1上直線AB:y=2x+1AB直線l;由統(tǒng)一法知,當(dāng)AB直線l時, P是AB的中點(diǎn);()設(shè)直線AB:(t為參數(shù)),代入y2=4x得:t2sin2+2(sin-2cos)t-3=0t1+t2=2,t1t2=-;點(diǎn)A(1+t1cos,1+t1sin)到直線l的距離|AN|=,點(diǎn)B(1+t2cos,1+t2sin)到直線l的距離|BM|=(由點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)2t1cos-t1sin+3與t2cos-t2sin+3同號)=;而=(點(diǎn)A、B在點(diǎn)P的異側(cè))=-;所以,=-2(2cos-sin)t1t2+3(t1+t2)=02(2cos-sin)(-)+32=0成立; 以下同例題可證:S22=4S1S3.例5:橢圓中的共線性質(zhì).始源問題:(2012年北京高考試題)已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR).()若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓,求m的取值范圍;()設(shè)m=4,曲線C與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),直線y=kx+4與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證:A,G,N三點(diǎn)共線.解析:()由曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓m-25-m0m0k2;且x1+x2=-,x1x2=;又由直線BM:y=x-2G(,1),即G(,1)kAG=-=-,kAN=k+kAN-kAG=+=+2=+2=0A,G,N三點(diǎn)共線. 第()問是本題的特色與亮點(diǎn),其實(shí)質(zhì)是共軛點(diǎn)的性質(zhì):設(shè)點(diǎn)P與Q是二次曲線G的一對共軛點(diǎn),過點(diǎn)Q的直線AC與曲線G相交于A、C兩點(diǎn),AP與曲線G相交于另一點(diǎn)B,BQ與曲線G相交于另一點(diǎn)D,則P、C、D三點(diǎn)共線.其中共軛點(diǎn)的定義: 130 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 若直線PQ與圓錐曲線G相交于A、B兩點(diǎn),且+=0,則稱點(diǎn)P與Q是圓錐曲線G的一對共軛點(diǎn).原創(chuàng)問題:已知橢圓C:=1(ab0)過點(diǎn)D(-1,e),其中,e是橢圓C的離心率,橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A(-2,0)、B(2,0).()求橢圓C的方程;()過點(diǎn)E(4,0)的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),求證:直線AM與BN的交點(diǎn)P在一條定直線上.解析:()由a=2,+=11+=a2b2=1橢圓C:+y2=1;()設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l:y=k(x-4),由(1+4k2)x2-32k2x+64k2-4=0x1+x2=,x1x2=k2=,x1x2(1+4k2)=64k2-4x1x2=2x1x2=5(x1+x2)-8;又由直線AM:y=(x+2),直線BN:y=(x-2)直線AM與BN的交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足:(x+2)=(x-2)(x+2)=(x-2)x=1點(diǎn)P在一條定直線x=1上.例6:橢圓中的中點(diǎn)性質(zhì).始源問題:(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南初賽試題)如圖,過直線l:5x-7y-70=0上的點(diǎn)P作橢圓+=1的兩條切線PM、PN,切點(diǎn)分別為M、N.()當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動時,證明:直線MN恒過定點(diǎn)Q;()當(dāng)MNl時,定點(diǎn)Q平分線段MN.解析:()設(shè)P(7t+7,5t-5),則直線MN的方程為:x+y=1(x+y)t+(x-y-1)=0,由x+y=0,且x-y-1=0x=,y=-直線MN恒過定點(diǎn)Q(,-);()MNl:=5:(-7)t=直線MN的方程為:5x-7y-=0,代入橢圓方程+=1得:x2-2x+25()2-9=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=定點(diǎn)Q平分線段MN.原創(chuàng)問題:過點(diǎn)Q(1,1)作己知直線l:3x+4y=12的平行線交橢圓C:+=1于點(diǎn)M、N.()分別過點(diǎn)M、N作橢圓C的切線l1、l2.證明:三條直線l1、l2、l交于一點(diǎn);()證明:點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn);()設(shè)P為直線l上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作橢圓C的切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,證明:點(diǎn)Q在直線AB上.解析:()設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),切線l1、l2交于點(diǎn)P(x0,y0),由切線l1:x+y=1,切線l2:x+y=1均過點(diǎn)P(x0,y0)x0+y0=1,x0+y0=1直線MN:x+y=1;又由直線MN過點(diǎn)Q(1,1)+=13x0+4y0=12點(diǎn)P在直線l上三條直線l1、l2、l交于一點(diǎn);()由直線MN直線l:=:,又+=1x0=y0=直線MN:3x+4y=7點(diǎn)Q是線段MN的中點(diǎn);()設(shè)P(x0,y0),則直線AB:3x0x+4y0y=123x0x+(12-3x0)y=12點(diǎn)Q在直線AB上. 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 131 例7:橢圓中的比例性質(zhì).始源問題:(2011年山東高考試題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+y2=1.如圖所示,斜率為k(k0)且不過原點(diǎn)的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為E,射線OE交橢圓C于點(diǎn)G,交直線x=-3于點(diǎn)D(-3,m).()求m2+k2的最小值; D y()若|OG|2=|OD|OE|. G A(i)求證:直線l過定點(diǎn); E(ii)試問點(diǎn)B,G能否關(guān)于x軸對稱？若能,求出 -3 O x此時ABG的外接圓方程;若不能,請說明理由.解析:()設(shè)E(-3,m),A(-3+t,m+kt),則B(-3-t,m-kt).由點(diǎn)A、B都在橢圓C上,兩式相減得mk=1m2+k22mk=2,當(dāng)且僅當(dāng)m=k=1時等號成立,所以m2+k2的最小值=2.()(i)設(shè)直線OG與橢圓C相交于另一點(diǎn)T,則由橢圓C關(guān)于原點(diǎn)對稱得:|OT|=|OG|.所以,|OG|2=|OD|OE|+=0,由軌跡1知,點(diǎn)E在直線-x+my=1上,即直線l的方程為:-x+my=1直線l過定點(diǎn)(-1,0);(ii)若點(diǎn)B,G關(guān)于x軸對稱點(diǎn)G(-3-t,-m+kt),由點(diǎn)G在直線OE上(-3-t):(-3)=(-m+kt):m6m+mt=3kt(注意到mk=1)m2(6+t)=3tt=,又由點(diǎn)E在直線l上3+m2=1=B(-,-)()2+()2=1m=1,k=1,=,t=A(0,1),B(-,-),G(-,)ABG的外接圓方程:(x+)2+y2=.原創(chuàng)問題:已知橢圓C:=1(ab0)內(nèi)一點(diǎn)P(2,1),射線OP與橢圓C交于點(diǎn)N,與直線l0:x+y-12=0交于點(diǎn)M,滿足|OP|OM|=|ON|2,且橢圓C在N處的切線平行于直線l0.()求橢圓C的方程;()過點(diǎn)P的任意一條直線l與直線l0交于點(diǎn)Q,與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)(A在P與Q之間),求證:|QA|PB|=|QB|PA|.解析:()由射線OP:y=x(x0),直線l0:x+y-12=0M(8,4);設(shè)N(2t,t)(t0),由|OP|OM|=|ON|2=4t2+t2t=2N(4,2)+=1,橢圓C在N處的切線:+=1;由切線平行于直線l0=a2=2b2b2=12,a2=24橢圓C:+=1;()設(shè)直線l:(t為參數(shù)),代入+=1得:(2sin2+cos2)t2+4(sin+cos)t-18=0t1+t2=-,t1t2=-;代入x+y-12=0得:(sin+cos)t-9=0tQ=;而|QA|PB|=|QB|PA|(tQ-t1)(-t2)=(tQ-t2)t1(t1+t2)tQ-2t1t2=0-2(-)=0成立.原創(chuàng)問題:已知橢圓C:=1(ab0)內(nèi)一點(diǎn)P(2,1),過點(diǎn)P且平行于x軸直線被橢圓C截得的弦長為4,過點(diǎn)P且平行于y軸直線被橢圓C截得的弦長為2.()求橢圓C的方程;()過點(diǎn)P的任意一條直線l與直線l0:x+y-12=0交于點(diǎn)Q,與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),若=,=.求證:+ 132 第15講:極點(diǎn)與極線的性質(zhì) 為定值.解析:()由=1,令y=1得:|x|=;令x=2得:|y|=;由題知,=2,=a2=,(a2-4)=10(-4)=10b2=12a2=24橢圓C:+=1;()設(shè)直線l:(t為參數(shù)),代入+=1得:(2sin2+cos2)t2+4(sin+cos)t-18=0t1+t2=-,t1t2=-;代入x+y-12=0得:(sin+cos)t-9=0tQ=;由=,=,=+=2-tQ=2-=0.例8:橢圓中的共線性